基于二維非絕熱模型的脈管損失機理研究

植曉琴，邱利民，甘智華，俞益波，曹強

（浙江大學 制冷與低溫研究所，浙江 杭州，310027）

脈管制冷機具有低溫端無運動部件的優點，近年來，在空間技術、國防軍事、醫學醫療等領域得到廣泛應用[1]。作為制冷機的核心部件之一，脈管的理想功能是將冷端PV功無損失地傳到熱端，并且使這一過程無熵產[2]。而實際上，脈管內不可避免地存在管壁與氣體之間的穿梭損失、管壁導熱損失、邊界層泵氣損失、氣體自身導熱損失、氣體溫度非均勻（冷熱混合）損失、環流損失以及阻力損失等[3?6]。Yang[5]計算出僅脈管內的穿梭和泵氣損失占毛制冷量的20%～60%，嚴重削弱了脈管的制冷性能。研究表明：脈管損失和其結構尺寸密切相關，合適的脈管體積和長徑比可以降低其損失，提高膨脹效率[7?9]。與回熱器相比，脈管僅為1根空管，作用機理看似簡單，目前與之相關的研究也較少，并存在一些不足。Kirkconnell等[9]的實驗結果表明脈管體積越大損失越小，但由于實驗范圍有限，并沒有找出脈管的最佳體積。Junseok等[10]通過實驗發現體積小的脈管雖然能提高電功轉化效率，增大壓比，但脈管內膨脹損失產生的負效應更大，反而使整體性能變差。該實驗中只采用了3種不同體積的脈管，并且改變了長徑比，無法確定哪一個因素對制冷性能產生了影響。Jeheon等[11]推導了脈管體積的計算公式，對脈管設計有一定的指導意義，但該模型進行了過多簡化，不可避免地引起計算誤差?？傮w來說，關于脈管結構與膨脹效率的研究很少，也沒有研究指出脈管結構對其熱損失的影響機制。尋找最佳脈管結構尺寸需要進行大量嘗試，探索其損失機理需要對內部氣體的瞬態參數進行分析，實驗方法不適用。而脈管內溫度分布和流動的非線性特征也使得理論分析較困難。而數值模擬方法操作方便，并且對計算結果更容易分析。目前，脈管的數值模擬方法多為一維或假設管壁絕熱，包括脈管制冷機設計軟件Sage也是一維模型。一維模型忽略了管內的溫度非均勻性和二次流，不能計算由附加環流以及溫度不均勻引起的熱損失。而常用的回熱器設計軟件Regen在計算脈管制冷量時，僅采用經驗性的脈管系數對其膨脹效率進行估算，脈管的體積則根據經驗取冷端掃氣容積的3～5倍。以上對脈管損失考慮不足都會使脈管的結構設計偏離實際最佳值，因此，采用更符合實際的數值模型研究脈管的結構尺寸對脈管制冷機的設計具有重要的指導意義。為此，本文作者結合實際中脈管的非絕熱性（管壁與管內氣體間存在非絕熱換熱損失）和管內氣體溫度的非均勻性，基于 CFD方法建立80～300 K溫區脈管的二維非絕熱模型，研究一定冷端掃氣容積下與之匹配的最佳脈管體積，并根據脈管內的溫度分布現象分析脈管體積對其熱損失的影響機理。

1 脈管的CFD模型

1.1 物理模型

本文建立的脈管模型參數來自現有的單級斯特林型脈管制冷機，包括冷端連管、冷端換熱器、脈管、熱端換熱器和熱端連管，如圖1（a）所示。絕熱模型假設無壁厚，即忽略管壁與管內氣體間的換熱；非絕熱模型中脈管和兩端換熱器壁厚為0.34 mm，即考慮管壁與管內氣體間的換熱。冷、熱端換熱器與連管之間采用錐形結構過渡，內部填料直徑為0.18 mm的銅絲網。脈管體積的取值Vpt與冷端掃氣容積Vexp關系如下：

其中：冷端掃氣容積Vexp指1個周期內單向流入（或流出）脈管冷端的氣體總體積，此處為2.86×10?6m3。所有脈管的長徑比固定為5，各部件參數如表1和表2所示（其中：Dpt，Lpt和Vpt分別為脈管直徑、長度和體積）。

脈管的網格模型如圖1（b）所示。在錐形過渡區采用三角形網格，其他部位采用四邊形網格。為了更準確地描述邊界層流動特性，對脈管近壁面區域網格進行加密處理。網格總數為3 472～4 280，網格的最大長寬比小于3。

圖1 脈管結構示意圖Fig.1 Schematic of pulse tube model

表1 脈管模型中的結構參數Table 1 Structural parameters of pulse tube model

表2 圖1中D段脈管尺寸（長徑比Lpt/Dpt=5）Table 2 Pulse tube dimension for part D in Fig.1

在80～300 K溫區，工質氦氣作理想氣體處理。充氣壓力為2 MPa，工作頻率為40 Hz。進口邊界條件采用正弦壓力波，溫度為80 K；出口邊界條件采用正弦質量流，溫度為300 K，表達式如下：

其中：pm為周期壓力振幅；f為運行頻率；mamp為周期質量流振幅；φ為進口壓力波與出口質量流之間的相對夾角。對于所有模型，以上參數均為定值。冷、熱端換熱器采用多孔介質模型，假設溫度恒定，分別為80 K和300 K。換熱器和進出口連管壁面均為等溫邊界條件，脈管外壁面與外界為絕熱邊界條件。

1.2 基本控制方程

本模型流動區域分為多孔介質區域（冷熱端換熱器、錐形結構）和非多孔介質區域（進出口連管和脈管），求解的連續性方程、動量方程和能量方程如下[12?13]：

其中：φ為多孔介質的空隙率；Sx和Sy分別表征軸向和徑向上由阻力損失引起的動量損失；kf和ks分別為氣體和固體的導熱系數。對于非多孔介質區域，φ=1，

Sx（y）=0；對于多孔介質區域，阻力源項表示如下：

Dh為絲網填料水力直徑；C為絲網填料阻力系數。目前，關于絲網填料徑向的阻力特性研究很少。假設絲網阻力各向同性，徑向和軸向的阻力系數均采用文獻[14]中推薦的經驗公式：

其中：Re為雷諾數。本文選擇適合較寬范圍雷諾數的標準k-ε湍流模型計算。利用有限體積法采用全隱格式離散控制方程，求解器選擇壓力和速度耦合的PISO算法，離散格式對流項取二階迎風格式，擴散項為中心差分，對源項進行線性化處理；殘差收斂標準氣體能量項和填料能量項為10?6，其他參數均為 10?3。當脈管冷端溫度和焓流連續 10個周期內的變化值均小于1%時，認為計算穩定。1個周期內的時間步為100，所有模型大約計算200個周期后趨于穩定。

1.3 后處理參數

在膨脹過程中，若各種損失引起的不可逆熵產越小，則脈管的焓流越大，制冷量越大?；贑FD模型的計算結果，1個周期內脈管的聲功和焓流進行如下處理：

其中：τ為時間；N為1個周期內迭代的時間步數；pi，vi，mi和hi分別為第i個時間步的壓力、體積流速、質量流速和比焓。

2 結果分析

2.1 脈管膨脹效率及損失分布

不同體積的脈管膨脹效率計算結果如圖2所示。從圖2可見：對于絕熱模型，脈管的最佳體積為冷端掃氣容積的5倍，對應的膨脹效率為77.3%；當脈管的最佳體積為冷端掃氣容積的3～5倍時，脈管膨脹效率隨體積的增大而增大；為5～11倍時，膨脹效率隨著體積增大開始緩慢減小，可以推斷在此范圍內脈管已經起到了較好的軸向絕熱和氣流隔離效果；隨著體積的增大，其效率主要受阻力損失的影響；當大于 11倍時，脈管膨脹效率急劇減小。這是因為隨著脈管體積的增大，過渡區錐度也變大，在脈管熱端造成了較強的射流損失；此外，較大的體積也增大了脈管的阻力損失。

圖2 體積比n與膨脹效率的變化關系Fig.2 Relationship between expansion efficiency and volume ratio

對于非絕熱模型，脈管的最佳體積范圍為冷端掃氣容積的10～11倍，11倍體積對應的最高膨脹效率為67.7%，與絕熱模型相差較大。圖 3所示為非絕熱模型管壁熱損失隨脈管體積的變化關系。從圖3可以看出：在脈管體積為冷端掃氣容積的3～11倍時，脈管效率主要受管壁熱損失的影響；在5倍以下時，管壁熱損失可達總損失的 50%以上；當大于 11倍時，增大體積對熱損失已無明顯影響，反而使得脈管內射流損失急劇增大，與絕熱模型有相同趨式?？梢姡号c絕熱模型相比，實際脈管需采用更大的體積減小管壁熱損失，提高其膨脹效率。在相同條件下，非絕熱模型計算的最佳脈管體積比理想絕熱模型的大。假設冷端聲功和回熱器冷端焓流相同，若以絕熱模型的最佳體積5倍來設計脈管，則與實際非絕熱模型的最佳體積11倍相比，80 K的制冷量將比實際最佳值降低4.9 W，對應的脈管效率將減小 17.2%。因此，傳統觀點認為的脈管體積取冷端掃氣體積的3～5倍以及一維或絕熱模型都不能準確地給出脈管的最佳膨脹體積。

圖3 體積比n與管內損失的變化關系（非絕熱）Fig.3 Relationship between pulse tube losses and volume ratio in non-adiabatic case

2.2 不同體積脈管內氣體溫度分布特性與熱損失分析

圖4中a，b，c和d點表示脈管冷端進口壓力的4個狀態，圖5給出了其中a和c（分別代表壓縮過程、膨脹過程）狀態下脈管內的溫度分布。對于理想的脈管，氣流為層流狀態，同一截面上溫度處處相等。然而，在實際脈管中（如圖 5所示），由于黏性邊界層的作用等溫線在近壁處產生明顯的彎曲，在近壁以外的主流區域，由于流動不均勻，等溫線也出現彎曲。同一截面上溫度的非均勻性無疑增加了管內氣體之間的不可逆換熱損失。

圖4 脈管冷端進口壓力波Fig.4 Inlet pressure wave at pulse tube cold head

圖5 不同時刻脈管內的溫度分布情況Fig.5 Temperature distribution at different moments

與斯特林制冷機相似，脈管中的熱損失主要包括氣體進、出邊界層產生的泵氣損失和氣柱移動導致的穿梭損失[15]。穿梭損失和泵氣損失與氣柱位移長度、管壁溫度梯度有關[5?6]。對于相同的冷端掃氣容積，較小體積的脈管內氣柱位移大，同時較短的脈管溫度梯度大，兩者都會使氣柱運動時氣體與管壁的溫差變大，增大穿梭損失。同樣，管內氣體溫度梯度高且氣柱的位移大，導致邊界層內氣體與管內主流氣體溫差較大，從而產生更大的泵氣損失。

圖6所示為狀態a和c時，不同體積脈管內近壁線（距管壁0.1 mm，屬于邊界層內）和軸線上的溫度分布。從圖6可見：在壓縮、膨脹過程中，3倍體積脈管的近壁線和軸線的平均溫差分別為 15.3 K和 18.3 K，而11倍體積脈管內兩者的溫差分別為5.5 K和8.6 K，明顯比3倍體積的脈管溫差小，11倍體積脈管內的溫度分布更均勻。圖7所示為a和c狀態時，不同體積脈管內近壁線和壁面的溫度分布。從圖7可見：對于3倍體積的脈管，氣體與壁面的溫差分別為13.1 K的12.7 K，遠大于11倍體積脈管內兩者的溫差。由上可知：3倍體積的脈管具有更大的泵氣損失和穿梭損失。

表3列出了非絕熱模型中不同體積脈管內的平均溫差。當n＜11時，隨著體積的增大，脈管內各項溫差均逐漸變小，可見：較小體積脈管內溫度存在更大的非均勻是其效率低于較大體積脈管效率的內在原因；而當 n=13時，在壓縮過程中，由于熱端射流的影響，脈管軸線與近壁處氣體的溫差變大，造成效率急劇減小。

圖6 非絕熱下狀態a和c時軸線和近壁處溫度分布Fig.6 Temperature distribution at axes and near wall region in non-adiabatic case at status a and c

圖7 非絕熱下狀態a和c時壁面與近壁處的溫度分布Fig.7 Temperature distribution at wall and near wall region in non-adiabatic case at status a and c

表3 非絕熱模型中不同體積脈管內的平均溫差Table 3 Average temperature difference of non-adiabatic pulse tubes with different volumes K

圖8所示為絕熱條件下3倍體積脈管內的溫度分布情況。從圖6和圖8可以看出：對于相同體積的脈管，絕熱模型內氣體的溫差要比非絕熱模型小得多；在壓縮、膨脹過程中，絕熱模型內軸線和近壁面的平均溫差分別為0.7 K和1.6 K，同一截面上氣體的溫度更均勻?？梢姡悍墙^熱模型中管壁與氣體的換熱影響了管內氣體的溫度分布，使得近壁面氣體與內部氣體的溫差變大。因此，管壁的非絕熱不僅帶來了穿梭熱損失，同時增大了近壁面的泵氣損失。而一維或絕熱模型無法反映這種溫差以及因溫差所產生的熱損失。

圖8 絕熱下狀態a和c時軸線與近壁處的溫度Fig.8 Temperature distribution at axes and near wall region in adiabatic case at status a and c

3 結論

（1）建立了 80～300 K溫區脈管的二維非絕熱模型。通過計算得出實際非絕熱脈管的最佳體積范圍為冷端掃氣容積的10～11倍，不同于絕熱模型得出的3～5倍；管壁與氣體間非絕熱損失的存在使得脈管要達到較高的膨脹效率需采用更大的體積。脈管的非絕熱損失可占其總損失的50%以上，不可忽略，傳統的一維或絕熱模型都不能正確地給出脈管的最佳體積。

（2）在研究范圍內，體積較小的脈管管壁與管內氣體存在較大的溫差；同時，管內氣體具有更強的溫度不均勻性，因而導致更大的熱損失，致使其脈管效率降低。

（3）與絕熱脈管相比，非絕熱脈管管壁與管內氣體的換熱不僅造成穿梭損失，同時，改變了近壁氣體與中心氣體的溫差，增大了近壁面的泵氣損失。

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