利用誤差變量聯立方程組建立南方杉木一元立木材積模型和胸徑地徑回歸模型

曾偉生

(國家林業局調查規劃設計院，北京100714)

利用誤差變量聯立方程組建立南方杉木一元立木材積模型和胸徑地徑回歸模型

曾偉生

(國家林業局調查規劃設計院，北京100714)

利用我國南方的杉木實測數據，采用誤差變量聯立方程組方法，同時建立了胸徑一元材積模型、地徑一元材積模型和胸徑—地徑回歸模型。結果表明:地徑與胸徑之間相關緊密，其回歸模型的確定系數可以達到0．96以上;地徑一元材積模型的預估精度要明顯低于胸徑一元材積模型。

一元材積表;地徑材積表;胸徑—地徑回歸模型;誤差變量聯立方程組;杉木

一元立木材積表是常用的森林調查數表，也是重要的林業基礎數表。一般意義的一元立木材積表是指反映胸徑與材積之間相互關系的數表，這方面已經有很多的研究成果可供參考［1－9］。另外，反映地徑(或根徑、基徑)與材積之間相互關系的地徑材積表也可以稱為一元立木材積表。關于地徑一元材積表，近年來也已經有不少成果值得借鑒［10－12］。本文所稱一元立木材積表包括胸徑一元表和地徑一元表，由于地徑與胸徑之間存在緊密相關，地徑一元表與胸徑一元表也應該是高度相關的。為此，筆者利用誤差變量聯立方程組方法(也稱度量誤差模型方法)［9，13］，對同時建立胸徑一元材積模型、地徑一元材積模型和胸徑—地徑回歸模型的方法進行探討，試圖為各地編制地徑材積表提供理論依據和技術指南。

1 數據與方法

1．1 數據資料

所用數據為我國南方的杉木實測數據，采集自杉木主要分布區的浙江、安徽、福建、江西、湖北、湖南、廣東、廣西、重慶、四川、貴州11省(市、區)。樣木數按6 cm，8 cm，12 cm，16 cm，20 cm，26 cm，32 cm，38 cm以上8個徑階均勻分配;每個徑階樣木不少于30株，共計242株。樣木按胸徑、地徑、材積3項因子統計的主要指標見表1。材積與胸徑、材積與地徑、胸徑與地徑之間的關系見圖1、圖2、圖3?？梢灾庇^看出，材積與胸徑的關系比材積與地徑的關系更為緊密，而胸徑與地徑之間也是高度相關的。

表1建模樣本主要統計指標

圖1 材積與胸徑散點圖

圖2 材積與地徑散點圖

1．2 方法簡介

從目前已經發表的有關研究成果看，一元立木材積模型多采用如下冪函數形式［2，6－7，9］:

圖3 胸徑與地徑散點圖

式中:V為材積;D為直徑;c0，c1為參數。而地徑材積表的編制，一般是先建立地徑與胸徑之間的回歸模型，再將其代入一元材積公式進行導算［10－11］。也有直接建立材積與地徑之間的回歸模型來編制地徑材積表的［12］，但這種情況相對而言要少一些。

從圖1和圖2看，材積隨地徑的變化與材積隨胸徑的變化規律是類似的，只是變動更大一些。前面也說到，胸徑材積表和地徑材積表都可以稱為一元表。所以，(1)式可以作為一元材積模型的通式，D為胸徑就是胸徑一元材積模型，D為地徑就是地徑一元材積模型。

關于地徑與胸徑之間的回歸關系，從現有研究成果看，以線性模型為主［10，12］，但也有采用其它模型的［11］。從圖3看，地徑與胸徑的關系也近似為線性。本研究采用以下3種形式:

式中:D為胸徑;D0為地徑;b0，b1，b2為參數。由于地徑與胸徑之間存在上述關系，因此地徑材積表與胸徑材積表之間并不是相互獨立的，而是相互關聯的。為此，可以利用誤差變量聯立方程組方法［9，13］，同時建立一元立木材積模型和胸徑—地徑回歸模型。以胸徑—地徑回歸模型(2)式為例，與一元立木材積模型(1)構成的聯立方程組如下:

利用D0，D和V的成對數據;采用Forstat軟件進行擬合［13］，即可同時得到(5)式中的bi和ci參數估計值。由于材積數據具有明顯的異方差性，在求解模型參數時還要采用權函數來消除異方差的措施，具體可參見文獻［9］。對不同模型的對比，采用6項統計指標:R2(確定系數)，SEE(估計值的標準誤)，TRE(總相對誤差)，MSE(平均系統誤差)，MPE(平均預估誤差)和MPSE(平均百分標準誤差)。具體計算公式也參見文獻［9］。

2 結果與分析

利用242株杉木的實測數據，對不同胸徑—地徑回歸模型(2)，(3)和(4)與一元立木材積模型(1)構成的聯立方程組進行擬合。其參數估計結果見表2。

表2 聯立方程組的擬合結果

通過聯合估計，相當于同時得到了胸徑—地徑模型及胸徑一元材積模型和地徑一元材積模型，對這3個模型的統計指標進行計算，結果見表3。

表3 不同聯立方程組模型的統計指標

從表3可以看出，3種不同聯立方程組模型中，胸徑一元材積模型C差異很小，而地徑一元材積模型B及胸徑—地徑模型A則以模型(4)所對應的為最好。另外，還可從殘差圖的對比來評定模型的優劣。圖4和圖5分別反映了模型(2)和模型(4)的胸徑估計值的相對誤差隨地徑的變化情況?？梢悦黠@看出，模型(2)對胸徑的估計在小徑階和大徑階明顯偏大，而在中間徑階又明顯偏小，存在一定的系統誤差，尤其是當地徑小于4 cm時還會出現推算的胸徑大于地徑的異常情況;而模型(4)則不同徑階的相對誤差大體是正負相抵的，近似為隨機分布，效果比較理想。

圖4 模型(2)相對誤差分布圖

圖5 模型(4)相對誤差分布圖

從表3的3項統計指標R2，MPE和MPSE還可以看出:在胸徑—地徑模型、地徑一元材積模型和胸徑一元材積模型這3類模型中，以胸徑—地徑模型的精度為最高，胸徑一元材積模型次之，地徑一元材積模型精度最低。

上述精度指標MPE和MPSE只是針對模型的平均狀況而言，具體應用時的誤差大小還取決于待估對象的統計特征。分為兩種情況:一是對林木單株的估計誤差，這時需要計算單一預估值的置信區間;二是對林木群體(如林分)的估計誤差，這時需要計算條件均值的置信區間。關于單一預估值和條件均值置信區間的計算，詳見參考文獻［14］。據計算，對于表2中的模型(4)，在建模樣本的自變量取值范圍內，其胸徑一元材積模型的單一預估值置信區間最小為±37．48%、最大為 ±38．14%，條件均值置信區間最小為 ±2.40%、最大為±7．47%;而地徑一元材積模型的單一預估值置信區間最小為±60．63%、最大為±61.91%，條件均值置信區間最小為 ±3．89%、最大為 ±13.14%?？梢钥闯?，單一預估值的置信區間隨自變量的變化不大，而條件均值的置信區間則變化較大。只有當待估對象的條件均值與建模樣本的均值相等時，其置信區間才最小，預估精度最高;當待估對象的條件均值與建模樣本的均值存在差異時，隨著差異的增大，其置信區間也會隨之變大，預估精度就會逐漸降低。

3 結論與討論

本文通過利用我國南方的杉木實測數據，建立了一元立木材積模型和胸徑—地徑回歸模型，同時可以得出以下結論:

1)地徑與胸徑之間存在緊密相關，地徑一元表與胸徑一元表也高度相關，采用誤差變量聯立方程組方法，可以同時建立胸徑一元材積模型、地徑一元材積模型和胸徑—地徑回歸模型，確保三者之間協調一致;

2)在胸徑一元材積模型、地徑一元材積模型和胸徑—地徑回歸模型這3類模型中，以胸徑—地徑回歸模型的精度為最高，胸徑一元材積模型次之，地徑一元材積模型精度最低;

3)一元立木材積模型應用于材積估計時，其精度高低除了取決于所建模型本身的統計指標以外，還與待估對象的統計特征有關;待估對象的條件均值與建模樣本的均值相差越小，其預估精度就越高。

本文所述方法，主要適用于需要同時編制胸徑一元材積表和地徑一元材積表的情形。如果有適用的胸徑一元材積表，編制地徑一元材積表的簡易方法是只建立胸徑—地徑回歸模型，從而僅需采集胸徑與地徑的成對數據即可，無需測定樣木材積，也就不要采伐林木，可以節省大量成本。從現有編表成果看，也有以二元材積模型為基礎，通過建立胸徑與地徑及樹高與地徑的回歸模型，并以此為基礎導算出地徑材積模型的［12］。對于此種情形，從方法論講，也可考慮采用誤差變量聯立方程組，同時建立二元立木材積模型及胸徑與地徑和樹高與地徑之間的回歸模型。但由于編制一元表與編制二元表對樣本選擇的要求是不同的，因此筆者并不主張基于二元材積表來編制地徑材積表。本文所用數據，來自森林生物量調查建模項目所收集的樣本，該樣本主要用于建立二元立木生物量模型及二元立木材積模型，嚴格講對于建立一元立木材積模型并不是很合適的，但作為方法研究是可行的。各地若要新編或重編一元立木材積表，建議采用本文的方法，利用誤差變量聯立方程組，同時建立胸徑一元材積模型、地徑一元材積模型和胸徑—地徑回歸模型。

致謝:國家林業局華東林業調查規劃設計院森林生物量調查建模項目組及相關省(市、區)林業主管部門，為本研究提供了杉木的實測數據資料，在此深表謝意。

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［3］曾偉生．論一元立木材積模型的研建方法［J］．林業資源管理，2004(1):21－23．

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［5］李建斌．四川巨桉短周期工業原料人工林一元材積表的編制［J］．四川林業科技，2007，28(4):113 －114．

［6］陳華，龔萬鵬，韓永美，王萬政，向陽．四川巨桉短周期工業原料人工林一元材積表的編制［J］．湖北林業科技，2007(5):25－26．

［7］周旭，杜傳奇，唐雪海，陳龍勇．楊樹一元立木材積表的編制研究［J］．安徽農業大學學報，2008，35(4):486－489．

［8］魏建祥，曾偉生．論北京市一元立木材積表的數式化方法［J］．林業資源管理，2009(6):44－45．

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［14］曾偉生，唐守正．立木生物量方程的優度評價和精度分析［J］．林業科學，2011，47(11):106－113．

Using Error-in-Variable Simultaneous Equations Approach to Construct One-way Tree Volume Models and Diameter at Breast Height-Diameter on Root Collar Regression Model for Chinese Fir(Cunninghamia lanceolata)in Southern China

ZENG Weisheng
(Academy of Forest Inventory and Planning，State Forestry Administration，Beijing 100714，China)

Based on the data of Chinese fir(Cunninghamia lanceolata)in southern China，three models，DBH(Diameter at Breast Height)-based volume model，DRC(Diameter on Root Collar)-based volume model，and DBH-DRC regression model，were constructed using the error-in-variable simultaneous equations approach．The results showed that DBH is closely related to DRC，determination coefficient of the regression is more than 0.96;and the prediction precision of DRC-based volume model is clearly lower than that of DBH-based volume model．

one-way volume table;DRC-based volume table;DBH-DRC regression model;error-in-variable simultaneous equations;Chinese fir

S 757．2

A

1003—6075(2012)04—0001—04

2012—08—16

曾偉生(1966—)，男，湖南漣源人，博士，教授級高工，主要從事森林資源調查與監測工作。