汪志宏 王 鵬
(陸軍軍官學院 合肥 230031)
在現實生活中我們經常碰到對一組方案進行排序的問題,投票表決是經常用到的方法。投票表決方法[1]歷史悠久,形式繁多,并且有效易操作。該方法實質是一種序數群決策方法,也就是由多個人共同作決策,利用相應的社會選擇函數,將各成員的偏好集結成社會的偏好,從而確定方案的排序。利用Borda分排序的方法[1]就是一個典型的序數類群決策方法,它是將m-1,m-2,…,1,0分別賦值予m個方案中排在第一位、第二位直到最后一位的方案,然后統計各方案的得分,依分數大小排序。然而,利用Borda分排序常會遇到幾種方案得分一樣的情況,要將方案嚴格排序[3],有必要對Borda函數進行改進。
設有m個專家,n個方案,方案的集合為A={x}n。
定義2隨機變量X的分布律為
定義3函數
定義4函數
定理1各方案利用第1類Borda分進行排序同利用Borda分進行排序結果是一致的。
證明:方案x的第1類Borda分
定理2若兩方案的第1類Borda分相同,只要其得票情況不完全一樣,則它們一定可以利用第k(k=2,3,…,n)類Borda分中的一個進行排序。
證明:假設方案a的賦值隨機變量X的分布律為P{X=n-k}=pk,k=1,2,…,n。方案b的賦值隨機變量Y的分布律為P{Y=n-k}=qk,k=1,2,…,n。則兩方案的第1類Borda分差:
假設對于其它的類Borda分,也有相似的結果,即有方程組:
…,n,其中pj-qj,j=1,2,…,n看作未知量。
方程組的系數矩陣為
利用范德蒙行列式[2]知系數矩陣有一n-1階子式:
利用該函數進行群決策方案排序的一般方法:
1)根據專家偏好確定每個方案的各勝選票數;
2)求出每個方案賦值隨機變量的期望,也就是第1類Borda分;
3)根據方案的第1類Borda分排序,若有幾個方案的分相同,求其第2類Borda分,對這幾個方案排序;
4)若再有幾個方案的分相同,再求它們的第3類Borda分,直到全部排序完成為止。
例 設有7個專家,將4個方案A={a,b,c,d}進行排序。已知他們的偏好次序為
滿足a?b?c?d的,2人;滿足b?c?a?d的,2人;滿足c?b?d?a的,1人;滿足d?a?c?b的,2人。
例題求解:
設a,b,c,d的賦值隨機變量分別為X1,X2,X3,X4,所以四個方案得分分別為
方案a,b分數一樣,結果是a~Gb?Gd?Gc。
方案a,b的第二類Borda分:
所以最終結果:b?Ga?Gd?Gc。
上文通過引入賦值隨機變量的期望或其函數的期望引入類Borda函數,用嚴密的數學語言證明了利用函數排序的可行性,方法容易理解便于運用。
利用該群決策方法主要解決各方案得票情況不完全一樣的排序問題,若排序中遇到兩種或多種方案得票情況完全一樣,可以將這兩種或多種方案重投票然后綜合排序。
[1]徐玖平,陳建中.群決策理論與方法及其實現[M].北京:清華大學出版社,2009:237-246.
[2]同濟大學數學系.線性代數[M].北京:高等教育出版社,2007:18-19.
[3]岳超源.決策理論與方法[M].北京:科學出版社,2003:75-82.
[4]劉長賢,田厚平.決策者具有重要性大小的群體沖突決策方法[J].工業工程與管理,2006(3)86-90.
[5]侯芳,郭亞軍.面向決策局部環境的群決策方法[J].系統工程與電子技術,2010(8):41-46.
[6]宋杰,黨耀國.剔除無效決策的灰色群決策方法[J].系統工程與電子技術,2011(3):62-65.
[7]Tong hongxia,Zhang shensheng.Multi-attribute group decision making algorithm for web services selection based on QoS[J].Joumal of Southeast University(English Edition),2006(3):302-305.
[8]Viedma E H,Alonso S,Chiclana F.et al.Aconsensus model for group decision making with incompiete fussy preference relations[J].IEE Trans on Fussy Systems,2008(515):866-872.
[9]Soung HK,Chang HH.An interactive produre for multi-attribute group decision making with incomplete information[J].Computers & Operations Research,1999,26:755-770.
[10]陳孝新.對屬性有偏好的多屬性決策方法[J].決策參考,2007(4):36-39.
[11]羅勇,夏丹,徐丹.基于可靠性評估的維修診斷輔助決策系統研究[J].計算機與數字工程,2011(11).
[12]徐南榮,仲偉俊.科學決策理論與方法[M].南京:東南大學出版社,1995,12:80-83.