基于分形理論的公交網絡空間結構復雜性研究——以武漢市中心城區為例

段德忠，劉承良，3＊，陳欣怡

（1.華中師范大學城市與環境科學學院，湖北 武漢 430079；2.華中師范大學武漢城市圈研究院，湖北 武漢 430079；3.湖北大學中國旅游案例教學與研究中心，湖北 武漢 430062；4.英國肯特大學商學院）

0 引言

分形理論自產生以來即已成為描述復雜現象空間分布的有力工具［1，2］，交通網絡的結構與城市的演化和區域的發展是一種空間的互動過程［3］，因此利用分形理論探討交通網絡分布的復雜性具有重要意義。國外對交通網絡的分形研究始于20世紀80年代，研究尺度多集中于城市內部，研究內容多側重于解讀路網的分形性質［4－7］。國內交通網絡的分形特征研究在20世紀90年代末期開始活躍［8］，主要是通過借鑒國外成熟的分形理論和分維模型［9］，揭示國內主要城市及區域交通網絡的自相似性、無標度性和動態性特征［10－15］。

從研究方法看，大量采用長度維數、分枝維數、計盒維數三大分維模型，其存在兩大缺陷：第一，在上述分形模型中，將區域（或城市）內的交通線網視為同一級別，這與現實中道路等級層次性相悖，加權等級的分形模型應受到關注［16］。第二，交通網絡的分形研究側重道路線網研究，忽視節點（或站點）的研究，對節點重要性的研究更少［17］。從研究視角看，大量區域或城市交通網絡分形研究中，關于城市公交網絡空間結構的分形研究鮮有提及；僅有的公交線網評價研究［18］仍然沒有避免上述兩個缺陷，且計盒維數應用在測算城市公交線網覆蓋度上有待商榷。所以，作為城市交通網絡的基本骨架，城市公交網絡空間形態分形機制及空間差異研究仍需加強。

截至2012年，武漢市中心城區公交網絡共擁有公交站點1 389個，公交線路271條，其中普線48條（城區38條、郊區10條），專線223條（城區182條、遠城區13條、郊區28條）。然而，公交線路在設置上過度依賴城市主干道，通行路徑重復率過高（平均每條線路僅覆蓋5.13個站點），在很大程度上使公交成為武漢通行高峰期交通擁堵的主要因素之一，不僅沒有為市民提供便利，反而成為負擔。

本文針對傳統分形模型的缺陷，構建加權分形模型，從網絡均衡性、站點可達性、站點—線路異速生長性多視角揭示了武漢市中心城區公交網絡的空間異質性及其復雜特征，一方面為充實和完善公交網絡分形理論和方法研究、解決當前公交網絡結構不合理提供借鑒和指導；另一方面力求找出武漢市公交網絡發展不合理的結構性內核機理，為武漢市公共交通發展規劃提供戰略依據。

1 研究方法與數據處理

1.1 加權分形模型

1.1.1 加權站點—半徑模型 假定一個區域內的公交站點按某種自相似規則圍繞中心城區呈凝聚態分布，且公交站點的分形體在各個方向均勻變化，則可借助幾何測度關系確定半徑r的圓周內公交站點數量N（r）與半徑的關系，即有：

式中：冪指數D即為站點—半徑分形維數。

考慮公交站點存在等級差異，在半徑為r的區域內，根據等級差異將公交站點分為i等：N0（r）、N1（r）、…、Ni（r），同時由于各等級的公交站點對公交網絡的貢獻不同，應賦予不同的權重：P0（r）、P1（r）、…、PN（r），則半徑為r的區域內，公交站點總數為NW（r）＝P（r）×N（r），則式（1）可變換為：

1.1.2 加權線路—半徑模型 同理，假定一個區域內的公交線路也按某種自相似規則圍繞中心城區呈凝聚態分布，則半徑r的圓周內公交線路數量M（r）與半徑r也存在M（r）∝rD關系。但因公交線路長度各異，不同長度的公交線路對區域公交網絡的貢獻度不同，設其權重依次為P0（r）、P1（r）、…、PM（r），故可構建公交網絡加權線路—半徑模型：

式中：MW（r）為半徑r范圍內公交線路加權總數量，冪指數即為加權線路—半徑分形維數。

1.1.3 加權公交站點計盒模型 用網格邊長為R的方格網覆蓋所分析的區域，設其中有公交站點的網格數為X（R），當R變化時，X（R）也隨之變化，這樣就形成R－X（R）曲線。根據分形理論有下式成立：。通過加權站點等級：，定義加權站點覆蓋度為：

式中：Ri和Ri－1分別為第i次和第i－1次細分公交站點網絡后的網格邊長，XRi和XRi－1分別為第i次、第i－1次細分公交站線網絡后有公交站點的網格數，DWRi是加權公交站點分維數。

同時，引入覆蓋深度（是相對于Dr＝1.585的臨界值r）來描述網絡覆蓋形態。覆蓋深度表示當網絡中平均有約3／4的小區內有公交站點存在的最小網格邊長，反映出每隔多少距離就有一個公交站點，該指標能深入、具體、直觀地描述公交站點的可達性。

根據式（4）計算出公交站點分維值DWRi后，Ri與DWRi將形成一條曲線，它可描述出分維（即覆蓋度）隨網格邊長變化的關系，稱為覆蓋度曲線。根據最小二乘法擬合出該曲線的方程，表示為：

針對目前我國農村水利的立法工作相當滯后的狀況，應在近期的水利立法工作中將農田水利法、農村供水條例列為重點項目，盡快頒布施行；應加快制訂節水灌溉補償及激勵辦法等法規；同時加快編制縣級農田水利建設規劃，盡快將農田水利基礎設施建設和管理、農村供水工程的建設和管理納入法制化和依據規劃管理的軌道。

式中：A是曲線斜率，S為常數。將臨界值Dr＝1.585代入式（5），計算出R值，該值就是公交網絡中公交站點的覆蓋深度。

1.1.4 加權公交線路－站點異速生長模型 異速生長是城市地理學理論研究中重要的規律，其一般形式為：。式中，αij為標度指數（即異速生長系數）。這個方程具有廣義的分形性質，因為標度指數隱含有維數意義。令xi＝N表示公交站點數量，xj＝M表示公交線路數量，將參數α、β表示為a、b，可得：M＝aNb，標度指數b具有維數性質。

結合式（1）－式（3），從分形幾何學的角度對公交線路—站點的異速生長關系進行重新解釋，可得基于加權的公交網絡異速生長分形模型：

1.2 數據處理

1.2.1 測算中心選擇與緩沖分析 長江與其最長支流漢江交匯，將武漢市劃分為三鎮（漢陽、漢口和武昌），故取漢江主航道中心線與長江主航道中心線的交點作為測算中心。雖然測算中心落在江面（半徑400m范圍內公交線網密度為0），但做緩沖區分析時，是以3km為基準，以3km為間隔將整個武漢市中心城區劃分為系列圓形區域（圖1）。3km半徑范圍已覆蓋武漢長江大橋、解放大道、武勝路、鸚鵡大道、中山大道、沿江大道、臨江大道、武珞路等城市主干道，同時漢口武勝路與解放大道路口及其周邊地區是武漢市傳統的中央商務區，是武漢市政府所在地，經濟發達，道路網絡四通八達。

圖1 武漢市中心城區公交網絡與回轉半徑Fig.1 The PTN in WCCA and the radial distances

1.2.2 公交站點、線路賦權 采用直線型無量綱化方法對原始數據進行同度量處理，運用 MATLAB7.0熵值賦權法獲取不同等級公交站點和公交線路的權重［19］（表1），以避免主觀因素帶來的偏差，計算每個半徑范圍內公交站點數量N（r）和公交線路數量M（r），以及加權公交站點數量NW（r）和加權公交線路數量 MW（r）（表2、圖1）。

表1 武漢市中心城區公交網絡評價指標體系及其權重Table 1 Evaluation index and its weight of PTN in WCCA

1.2.3 加權站點覆蓋深度數據處理 利用ArcGIS軟件，采用矢量轉柵格形式，以50m為起始步長、50m為間隔的標度將研究對象轉換為柵格圖形式。分別統計邊長為50m、100m、150m、200m、250m、300m、350m、400m、450m、500m時各個行政區加權公交站點柵格數目XW（R），將XW（R）和R取雙對數并標繪到lgXW（R）－lgR關系圖中，最后用最小二乘法進行擬合，直線斜率即是公交站點的覆蓋度。根據式（4）和式（5），以起始特征尺度R＝50，以2倍遞增（基于可公度性要求）至R＝1 600，選取最佳無標度區間（R2最大），繪制Di隨Ri變化的趨勢圖，用最小二乘法擬出站點R－D方程。將D＝1.585代入方程中，得到武漢市中心城區各行政區的站點覆蓋深度（表3）。

表2 武漢市中心城區公交網絡常規分形與加權分形站點、線路數量Table 2 The number of bus stops and buslines based on general fractal and weighted fractal model of PTN in WCCA

表3 武漢市中心城區各行政區公交站點覆蓋深度Table 3 The covering depth of bus stations of PTN in WCCA

2 武漢市中心城區公交網絡的復雜性

2.1 武漢市中心城區公交網絡的均衡性

分別對基于常規分形模型和基于加權分形模型的站點－半徑、站線－半徑進行擬合，即考察區域內公交網絡是否具有分形性質，同時比較加權模型相對于常規模型的優越性（表1、圖2）。

圖2 武漢市中心城區公交網路常規分形與加權分形雙對數坐標Fig.2 The log－log plot based on general fractal and weighted fractal model of PTN in WCCA

2.1.1 點列的第一點均偏離下方，測算中心設定合理 無論是常規分形還是加權分形，公交站點和公交線路點列的第一點均不同程度偏離擬合直線，且都位于擬合直線下方（圖2），作為測算中心，其附近區域的公交網絡半徑維數高于區域整體水平，公交線網密集，站點通達性好，是武漢市中心城區的核心樞紐，一方面表明武漢市中心城區公交網絡的密度重心很可能位于3km半徑范圍內，另一方面也說明將漢江主航道中心線與長江主航道中心線的交點作為測算中心較為合理。

2.1.2 分形不具嚴格意義，存在一定的空間尺度依賴性 按照城市分形演化的時空范圍判據［6］：當維數D的標準誤差低于臨界值δ＝0.04時（相當于模型的擬合度達到0.996以上），即認為城市形態是分形的。不難看出整個空間序列的公交網絡分形距離嚴格意義上的分形判據相差不小，模型擬合度均未“達標”，同時兩種模型得出的公交站點和公交線路半徑分維值均小于1，遠遠小于［1.67，1.75］的最優區間。表明在當前武漢市中心城區空間尺度范圍內，整個公交網絡并未演化成嚴格意義上的分形，說明空間尺度對分形發育具有重要影響。

2.1.3 公交網絡等級層次性明顯，公交站點覆蓋形態較優 基于加權站點－半徑分形模型得出的武漢市中心城區公交站點－半徑分維值為0.7841，低于常規分維值（0.8405），說明武漢市中心城區低等級站點數量較多，顯示出公交站點等級對公交站點分維值測算影響較大；而加權線路—半徑分維值（0.2943）較常規分維值（0.2297）高，表明武漢市中心城區遠距離公交線路數量占絕對優勢。由此可以看出，加權分形模型測算充分考慮了武漢市中心城區公交網絡的等級層次性，能夠全面反映常規分形模型無法反映出的結構特征。

2.1.4 公交線路分布向心性顯著，呈現出核心－邊緣結構 加權線路—半徑模型測算出的公交線路分維值為0.2943，明顯低于公交站點分維值，表明公交線網分布向心性特征極其顯著，網絡發育極不成熟。這是因為，公交線網密度與道路網布局結構指數之間具有顯著的線性正相關［20］，而武漢市中心城區的主干道主要分布在測算中心6km的半徑范圍內，勢必造成公交線網密度從中心向周邊急速下降。公交線路－半徑分維值低也在一定程度上反映了武漢市中心城區公交網絡在連通性上具有更大的發展空間。

2.2 武漢市中心城區公交站點的可達性

2.2.1 公交站點覆蓋形態空間不均，呈現出圈層格局 由圖3可以看出，武漢市中心城區及各行政區公交站點的XW（R）－R在雙對數圖上表現出很好的相關性，擬合優度雖均在0.9以上，但都低于0.996，表明分形發育具有空間尺度依賴。整個武漢市中心城區的站點覆蓋度為0.609，各行政區以江漢區最大，為0.7375，其后依次為硚口區（0.6666）、江岸區（0.6596）、武昌區（0.6352）、漢陽區（0.5892）、洪山區（0.5136），最小的是青山區，為0.4436。

圖3 武漢市中心城區各行政區公交站點XW（R）、R雙對數關系Fig.3 The log－log plot of XW（R）and Rof PTN in WCCA

武漢市中心城區的加權站點覆蓋深度為1 676.3m，即中心城區平均每隔1 676.3m就有一個公交站點。中心城區7個行政區中，加權公交站點覆蓋深度空間差異顯著，可達性最好的是江漢區（為1 215.9m），站點覆蓋深度較差的是洪山區（表3）。這表明，公交站點對武漢市中心城區整個空間的填充和占據不夠，覆蓋形態空間分布不均，受地形和水系等自然條件發育的影響作用明顯（尤其是洪山區多湖泊、山地），公交站點覆蓋形態較差，存在大量伺服“空隙”和“空洞”。

2.2.2 公交站點可達性與社會經濟發展表現出空間共軛性 為進一步探討各行政區加權公交站點可達性與社會經濟發展狀況之間的關系，以《武漢市2011年統計年鑒》為數據源，計算各區的人均生產總值、單位面積生產總值及人口密度，將其作為社會經濟指標與公交網絡分維值的差異進行對比（表4）。據表4，武漢中心城區各行政區的公交站點覆蓋度與社會經濟發展狀況有很好的對應關系，呈現出空間共軛形態，社會經濟發展水平越高，公交網絡越發達。

表4 武漢中心城區各行政區公交站點盒子分維與社會經濟狀況Table 4 The value of box dimension of bus stations and the economic condition in each district of WCCA

2.3 武漢市中心城區公交站點－線路異速生長特征

將武漢市中心城區按回轉半徑（r＝3、6、9、12、15、18、21、24、27）測算出的9對加權站點－線路（NW（r），MW（r））數據標繪在雙對數坐標圖上（圖4）。結果顯示，武漢市中心城區公交網絡服從異速生長方程，其中標度指數b大于1，表明每增加一個公交站點會增加不止一條公交站線，反之每增加一條公交站線，就增加不到一個公交站點，說明增加的公交線路是在原有站點上重復建設（兩條線路經過的站點重復率達100%，如武漢901路內環和901路外環）。這也反映了武漢公交線網重復率過高，公交線網發展存在諸多不協調因素。

圖4 武漢市中心城區加權公（交）線路－（站）點雙對數坐標Fig.4 The ln－ln plot of weighed MWRand NWRof PTN in WCCA

表5 武漢市中心城區公交網異速生長系數Table 5 The allometric factor of PTN in WCCA

基于武漢市公交線路－站點異速生長分析結果，中心城區公交網絡系統優化之公交線路未來發展重點有二：第一，加強6km半徑范圍外的建設，即增加城郊線路，這些線路以6km半徑呈環帶放射性分布，所有線路不經過6km半徑范圍內；第二，適時撤銷中心城區重復、擁擠的公交線路，增加短程公交，降低公交線路對城市主干道的依賴性。

3 結論與討論

3.1 結論

（1）傳統交通網絡分形研究一般不考慮節點—線路要素的等級特征，這并不意味著交通路網的空間結構與等級組織無關；引入加權分形模型，通過賦權將所有站點、線路折算為同一規格計算的分維值往往較普通（不加權）情況下小，導致這一結果的根本原因是高等級的公交站點（或公交線路）分維值普遍較低等級公交站點（或公交線路）小，表明加權折算后的高等級公交站點（或公交線路）往往對整體分形性質發育具有“放大”效應。通過加權半徑維數的計算均表明，武漢中心城區公交網絡并未演化成嚴格意義上的分形，公交網絡正處于幾何混沌和歐氏幾何之間的臨界狀態，具有空間復雜性。

（2）城鄉路網分形存在一定最優區間，但公交網絡有別于交通路網，其最優區間（自組織臨界值或系統演化的混沌邊緣）有待更多的研究確認。半徑維數表明，兩大維數分維值都小于1，即公交網絡整體空間維數還未突破線性拓撲維數，存在一定的線狀組織結構。城市公交網絡分形系統存在著內部子系統的差異性。加權半徑維數表明：公交站點具有較佳伸展結構形態，可以預見隨著時間的推移，其發育日臻完善，但加權計盒維數顯示，武漢中心城區公交站點具有較大伺服空間效應；公交線路受城市主干道“拖累”，表現出空間分布的集聚和收斂，“核心－邊緣”結構突出。

（3）公交網絡分形存在一定空間尺度依賴，即在空間上，存在一個無標度區間：尺度太大或太小，自相似性都會出現“溢出”而失效。武漢中心城區公交站點－線路異速生長表明，在6km的半徑范圍內，公交線路和公交站點呈現出很好的分維匹配關系，公交網絡最具多樣性和復雜性；在6～27km范圍內，公交線路和公交站點建設空間極不匹配，αij一度降到0，公交網絡系統結構變得單一。這在一定程度上指明了武漢市公交網絡未來發展方向是：重點建設6km半徑范圍外的城郊線路，同時撤銷城內重復線路，增加短程公交，降低對城市主干道的依賴程度，提高公交網絡的空間穩定性。

3.2 討論

（1）分形是演化的分形，是其自組織和他組織機制共同作用、相互影響的結果，而上述討論的公交網絡分維數的計算是靜態的，是在某個時間點上的分析（公交時間序列數據難以查詢）。因此，如何確定在一段時期內公交網絡空間形態的變化狀況（即時間序列分維數的確定），并根據一定時期內網絡特征的變化規律預測和模擬今后一定時期內網絡形態的演化趨勢，是值得深究的問題。

（2）盡管注重分維值的空間分析，但空間分異及內在影響機理分析薄弱。分析武漢中心城區公交路網的分形發育特征，一定程度上揭示出公交網絡分形發育的空間分異特征，采用相關分析法，嘗試揭示這種分異與經濟發展水平、人口密度等因素的相關性，但對這種分異規律的內在影響機制分析仍不夠。

（3）盡管考慮等級變量的影響，但賦權方法仍不夠科學?？紤]不同等級影響，通過賦以一定權重，納入統一尺度進行分維測算，結果更符合客觀公交狀況，具有更強的可比性；但公交網絡評價指標體系有待深入拓展，需要納入更多的影響因素（如人口密度），同時部分權重的賦值采用主觀評價法，有待通過大量時序數據，開展權重賦值算法的革新。

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