導彈儲運狀態新指標及其短期預測ARMA模型＊

郝建忠 楊鎖昌

（軍械工程學院 石家莊 050003)

1 引言

對于可靠性、機動性要求較高而又頻繁處于不同儲運環境的導彈裝備，研究導彈儲運狀態監測技術，采取更加完善的狀態監測方式獲取導彈儲運過程中溫濕度、姿態、振動沖擊、位置等信息，判斷導彈裝備實時狀態，預測導彈裝備狀態變化趨勢，對降低管理維護成本，延長服役周期，保障我軍導彈裝備的完好性、可靠性和全壽命周期的出勤率等方面具有重要的研究意義和軍事實用價值。

本文對采集的大量原始狀態數據進行分析處理，提出了導彈儲運狀態的新指標：預警率（Missile Predictive Rate，MPR)，用以衡量導彈裝備的全壽命儲運狀態；同時利用時間序列分析技術建立小容量預警率樣本的短期預測ARMA模型，實現預警率的短期預測和趨勢分析。

試驗結果表明ARMA模型能夠對預警率的發展趨勢進行快速跟蹤預測，預測結果為導彈裝備管理人員的日常維護提供參考，有助于實現對經歷復雜儲運環境的導彈性能狀況進行區別化質量管理。

2 導彈儲運狀態新指標

目前我軍導彈裝備的維修方式主要有預防性維護、校正性維護、適應性維護和應急維護（即排除故障)組成（參見國軍標GJB368.2－87)。預防性維護采用定期檢查保養的方式，校正性維護主要是對工作不正常的系統設備進行校正處理，適應性維護根據環境變化調整系統設備，這三種方式都屬于計劃性的預防性維修，而應急維護屬于非計劃性的事后維修。相鄰兩次預防性維修的平均時間間隔稱為預防性維修周期（MTBMpt)，可分為連續監視型、固定型和更新型。

圖1 典型的超閾值事件

為了更好地利用和分析導彈儲運狀態監測系統豐富而詳實的監測數據，必須建立相應的評價指標。以先驗知識及國軍標等作為參照，可以對不同類型導彈裝備在儲運過程中的各類監測參數劃分相應等級，當參數超過規定或正常閾值時，稱為超閾值事件（Out of Specs，OOS)，如圖1所示為幾種常見的超閾值事件。

定義 單發導彈包裝箱/桶內的監測微系統在一個固定型的預防性維修周期內（通常在檢修的同時全面調閱監測數據)監測到的某類參數發生超閾值事件持續時間（或次數)稱為預警率（MPR)，其表達式為

對預警率的預測可以有效地分析其變化規律及相關趨勢，為下一預防性維修周期甚至是全壽命的預防性維修工作安排提供參考。但是預警率與預防性維修周期長度，維修周期內存儲、運輸時間比，不同任務導彈裝備所經歷的作戰、訓練強度，突發情況等很多因素有關，由于影響因素多，各因子所占權值復雜，直接對預警率進行基于影響因子的預測十分困難。而基于歷史數據，利用時序分析方法，對預警率進行預測是一種更為直接有效的手段。

3 時間序列分析與ARMA模型

3.1 時間序列分析

時間序列分析主要是指采用參數模型對所觀測到的有序的隨機數據進行分析與處理的一種數據處理方法。時間序列分析的目的是為了提取序列內包含的信息，即為了揭示時間序列本身的結構和規律，了解系統的特性，掌握系統同外界的關系，推斷系統及其行為的未來情況，從而能為認識客觀世界、適應、預測或改造客觀世界提供條件。

時序分析起源于預測，特別是市場經濟的預測。隨著對時序分析理論與應用的深入研究，時序分析在自然學科、工程技術、社會經濟等領域已取得不少重大成果。目前時序的工程應用可分為六個方面：1)系統辨別［1］；2)系統分析［2］；3)譜分析［3］；4)模式識別，尤其是工況監測、故障診斷等［4］；5)模態參數分析［5］；6)預測與控制［6］。

3.2 ARMA模型原理

為分析ARMA模型原理，先從簡單的AR模型入手。AR模型描述的是時間序列｛xt｝自身某一時刻和前p個時刻之間的相關性，可表示為

at～NID（0，)表示：當t固定時，at為正態分布N（0，)；當t變動時，各at之間彼此獨立。式（2)中當模型滿足一定條件時稱為p階自回歸模型，記作AR（p)。

AR（p)模型對于at有兩個假設：對于不同的t值at是獨立的，at和前時刻的序列觀測值xt－1、xt－2、……等不相關。即｛at｝是白噪聲序列。

當殘量序列｛at｝本身的相關性很強，且at與xt之間也有較強的相關性時，AR（p)模型不再適用，此時可用如下線性模型來描述：

即t時刻的數值可表示為以前p個時刻的數值xt－1，和現時及以前q個時刻的白噪聲的線性組合。假設｛xt｝是平穩、正態、零均值序列。

此時數學模型式（3)稱為p階自回歸q階滑動平均混合模型，記作ARMA（p，q)。也可用B算子簡記為如下形式：

當q＝0時的特例記作AR（p)模型，簡記為

當p＝0時的特例記作MA（q)模型，簡記為

以上各式中p稱為自回歸階數，q稱為滑動平均階數，都可以在正整數范圍內任??；φj稱為自回歸系數，是AR部分的特征根；θi稱為滑動平均系數，是MA部分的特征根，兩者均為實參數。

3.3 ARMA模型建模方法

采用ARMA模型進行系統辨識包括以下步驟：數據的采集、檢驗與預處理、模型形式、階數確定、模型參數φj和θi的估計、模型的適用性檢驗、模型參數的實時遞推估計、預測與控制等。

3.3.1 數據的采集、檢驗與預處理

該過程主要采集系統的輸出信號，得到觀測時間序列｛xt｝，按照 ARMA模型對｛xt｝的要求進行平穩性檢驗、正態性檢驗和零均值檢驗。數據預處理是為了得到平穩、正態、零均值的時序，通常包括提取趨勢項、零化處理和標準化處理。

3.3.2 模型形式階數確定

參數估計總是在某一階次下進行的，故需要先對模型形式、階數進行預估或確定。常見的識別方法如BoxJenkins法，即根據樣本自相關、偏相關函數的截尾、拖尾性初步判斷系列所適合的模型類型，這種方法可以對AR、MA、以及低階ARMA模型進行初步識別，如表1所示。

表1 ARMA模型形式判定與ACF、PACF關系

模型形式選定后，需要對模型階數進行確定。常用的模型階數選擇準則有F檢驗法、白噪聲檢驗準則、殘余平方和檢驗準則、延伸自相關函數定階法、Akaike信息檢驗準則的FPE（Final Prediction Error)、AIC（Akaike Information Criterion)、BIC（Bayesian Information Criterion)。通過給定的一系列（p，q)值，計算對應的殘差方差、FPE、AIC及BIC值，其最小值時對應的（p，q)即為模型最佳階次。

AIC最小信息準則適用于樣本數據量較少的AR、MA、ARMA模型的定階。設｛xt：1≤t≤N｝為一隨機時間序列，AIC準則利用似然函數估計值最大的原則來確定模型的階數，其階數上限 Max（N)一般取為（N/3)～（2 N/3)之間的整數、N/10、ln（N)或 N（1/2)，視具體序列而定。

3.3.3 模型參數φj和θi的估計

ARMA模型參數估計方法大致可分為三類：時序理論估計方法，優化理論估計方法，控制理論估計方法［7］。根據時間序列特點進行選擇。ARMA模型參數估計中最為困難的是MA部分θi的估計，相關研究可參考文獻［8～9］。

3.3.4 模型適用性檢驗

模型適用性檢驗的實質是正確地確定出模型階次p、q，最根本的檢驗準則是檢驗｛at｝是否為白噪聲?？衫幂^為便捷的頻譜分析法對時間序列ARMA模型進行檢驗，比較實際樣本的譜密度與ARMA模型生成的譜密度的一致性，所以用頻譜分析法驗證模型需要首先估計時間序列樣本的功率譜和模型生成的功率譜，然后根據兩者功率譜的異同來判斷模型設定是否正確。

3.3.5 模型參數的實時遞推估計

指在采集數據后，根據新數據所提供的信息修改原來估計的模型參數，而不是再重新進行參數估計，常用于工況監測、故障診斷、追蹤時變系統等場合。實時估計不斷地引入系統輸出的新數據，修改上一步建模得到的模型參數，使得參數的估計值不斷接近真值，提高模型的準確度。

3.3.6 預測與控制

與控制理論結合，用于工程系統的預測與控制是建模的實用價值體現，而對于ARMA模型的最佳預測與最佳控制常作為時序方法在工程應用中的主要目的［10］。

記t＋l時刻的實際值為xt＋l，又由于一個平穩時間序列總可以由一系列白噪聲｛at｝的線性組合表示，即：

式中，Gj是ARMA模型的Green函數。

改寫xt為xt＋l并展開可知：

式（8)中，et（l)不可計算，為向前第l步的預測誤差（l)可計算，為向前第l步的預測值，也稱為最佳預測，取值等于在t時刻對xt＋l的數學期望。

圖2 ARMA模型建模流程

在基于ARMA模型的預測方法中，l步預測表示根據當前時刻t及以前各時刻序列預測未來t＋l時刻的序列取值估計。由于l步預測即為l次一步預測值的遞推計算結果，雖預測步數l越大預測長度越長，但如果預測的步數越大，預測值與實際值誤差越大。較為常用的一步預測的預測誤差即為模型的殘差at，其方差即為模型殘差的方差，故一步預測時間序列未來取值的預測值與ARMA模型對已知時間序列的擬合值在計算方法上來說是等效的。多步預測可由一步預測遞推計算，在Matlab系統識別工具箱內主要有predict.m和compare.m函數等可實現對序列未來取值的預測。

綜上，ARMA模型建模方法可總結為如圖2所示流程。

4 基于ARMA模型的小容量預警率樣本的短期預測

針對現有預警率數據量較少的數據特征，根據預警率時間序列數據（超閾值事件次數)，基于ARMA預測模型對導彈預警率數據特征進行分析預測，結合后續實際預警率數據驗證模型的可靠性和準確度。

圖3 預警率樣本序列（a)及其相關函數（b)

以圖3某類預警率樣本序列為例，由于樣本預警率數據較少并且現有數據尚未形成曲線特征等原因，對樣本序列尚無法應用分解分析法或回歸分析法進行預測，這正是ARMA模型的優勢所在。觀察預警率樣本及其相關函數，發現數據沒有明顯的周期性變化趨勢，因此僅需進行零均值化處理；并且序列所有自相關函數都落入了置信區間，且逐漸趨向于0，可見該序列具有隨機性和平穩性的結論，并得知該序列的偏自相關函數具有截尾特性，可以建立AR（p)模型。

利用樣本前20個MTBMpt數據作為建模樣本，采用Levison算法和AIC準則進行AR建模和模型的適用性檢驗，估計 AR（1)、AR（2)、AR（3)、AR（4)模型參數如表2所示。

表2 樣本容量20時AR（p)模型參數估計

由表2可知AR（1)模型是AIC準則下的最佳模型。在樣本容量20不變的條件下使用該模型進行多步預測，測試其平均相對誤差如表3所示。

表3 預測步數與平均相對誤差的關系

由表3可知，由于預警率樣本容量較小，在進行多步預測時，預測的平均相對誤差隨著步數增加而增大。這是由于若對前一步預測值進行校正則已建立的模型的適用性降低，若不校正則前一步預測誤差會積累，兩種情況下預測誤差都會變大。步數較大時誤差過大，對小容量序列的預測結果沒有實際意義。

下面討論該模型在樣本容量變化過程中一步預測，即小容量預警率的短期預測。此時由于引入的新樣本相對于較小容量的原序列其對于模型參數估計的影響不可忽略，應進行重新建模。

表4 樣本容量與預測誤差的關系

由表4可知，隨著預警率樣本的積累，AR模型參數逐漸增大，說明序列數據之間的相關性逐漸顯現；同時一步預測精度逐步提高，預測結果的參考價值也隨著增大。上述結果表明AR（1)模型能夠對預警率數據表現出的發展趨勢，在保證較高預測精度的同時能夠快速跟蹤預測。

5 結語

本文以大量導彈儲運狀態監測數據為基礎，提出了導彈儲運狀態的預警率指標，利用ARMA模型建立該指標的預測模型，論述了AR（p)模型的階數判斷和參數估計方法，分析了模型一步預測及多步預測的預測精度，試驗結果表明AR（1)模型能夠對預警率的發展趨勢進行快速跟蹤預測，并保證12%左右的較高預測精度。預測結果有助于部隊預先對導彈裝備的檢修保養工作進行更加及時、合理地安排計劃，有助于實現導彈裝備的區別化質量管理。

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