考慮彎曲剛度的懸索自由振動解析解

肖 一，卓衛東，范立礎

(1.福州大學 土木工程學院，福建 福州 350108；2.同濟大學 橋梁工程系，上海 200092)

懸索的自由振動是一個古老的問題，而自1940年Tacoma橋風毀后，其又吸引了眾多學者的關注。Pugsley，Saxon，Goodey等人[1]對懸鏈的自由振動進行了深入研究 ，Simpson[2]，Irvine[3]，Triantafyllou[4]等人則推導了彈性索的自由振動解析解，尤其是Irvine的工作對其后的研究影響深遠。但是，這些研究均未考慮彎曲剛度的影響。為更準確地計算懸索的自振頻率，有時應計入彎曲剛度的影響，尤其對于截面較大的拉索[5-6]，而關于振動法測索力的研究[7-9]一般均考慮了彎曲剛度的影響。文獻[10-11]則用半解析方法對考慮彎曲剛度的斜索固有振動問題進行了研究。

最近，文獻[6]在拋物線假設下推導了考慮彎曲剛度的懸索面內自由振動解析解，但其僅考慮了兩端固接邊界條件；文獻[12]在其已有研究基礎上計入彎曲剛度影響推導了斜索面內固有振動解析解，但其僅考慮了兩端鉸接邊界條件。從文獻[13]的圖中可知，錨固端的約束條件可能為固接(直接錨固連接)，也可能為鉸接(如錨頭和錨板采用鉸接形式)，如文獻[5，14]就對兩種情況進行了分析，而實際的情況往往是處于兩種狀態之間[8]。

當不考慮彎曲剛度對靜力構形的影響時，懸鏈線是較拋物線更接近實際情況的表達。本文以懸鏈線為索靜力構形，分別考慮兩端固結和兩端鉸接兩種邊界條件對考慮彎曲剛度影響的懸索自由振動解析解進行了推導，對已有的結果進行了補充并糾正了文獻[6，12]中的不當之處，最后對結果進行了討論。

1 理論推導

如圖1所示的做微幅運動的空間懸索，其坐標原點置于左端點。

圖1 懸索計算圖示

當考慮彎曲剛度時，在不計阻尼和動力荷載情況下，懸索的面內和面外線性運動方程分別為[6]:

其中:w和v分別為索z和y方向運動分量；H為索靜拉力水平分量；h為H的動力增量；EI為截面抗彎剛度；m為單位長度質量。這里假設索截面在面內和面外有相同的抗彎剛度。由式(1)和式(2)可知，面內和面外運動不耦合。

由于索以承受軸向力為主，這里僅考慮由軸力產生的應變而忽略彎曲應變，此時有線性化的索方程[3]:

其中:u為x方向運動分量；s表示弧長。對其進行無量綱化并考慮到兩端為固定的邊界條件可得:

其中，λ2=(mgl/H)2l/(HLe/EA)為 Irvine[3]引入的參數，其反映了索彈性效應和幾何效應的影響；Le為索有效長度[3]；EA為索軸向剛度。

1.1 面外振動

文獻[6，12]中并未給出面外振動解，這里首先對其做一個補充，以便于后文的討論。

易知式(4)的通解為:

其中:

兩端固接時有:

兩端鉸接時有:

可見，其解與受拉梁的結果[15-16]一致。這也體現了線性振動時，垂度效應對面外運動是無影響的。

1.2 面內振動

由于結構和邊界條件是對稱的，分別按反對稱和對稱兩種情況討論。當振型為反對稱形式時=0[3，6，12]，此時式(3)的通解為:

文獻[6]也給出了兩端固接索面內反對稱振動解析解，通過對比發現，其頻率方程與本文相同，但振型函數并不滿足兩端的邊界條件。經驗證，本文結果是正確的。

這與文獻[12]中的結果是不同的，由于采用了不合適的邊界條件，其頻率和振型中實際上包含對稱和反對稱部分，而式(15)和式(16)則僅為反對稱部分。

這里順便指出，由于實際上沒有考慮垂度的影響，這里求出的反對稱解實際上就是受拉梁在相應邊界條件下的反對稱振動部分，當把上面的中點處的邊界條件換為(1/2)=(1/2)=0時，就可得到受拉梁固有振動解的對稱部分。當兩端固接時有:

兩端鉸接時則有:

把相應的對稱和反對稱頻率方程相乘即可得到受拉梁固有振動的完整解，由于這里假設面內和面外彎曲剛度相同，其就是式(8)和式(10)，這也進一步體現了上面結果的正確性。

當振型為對稱形式時，如圖1所示，為求解方便，首先將坐標原點移至弦的中點，并沿用原來的符號表示。與文獻[6，12]采用的拋物線不同的是，這里采用更為準確的懸鏈線索形。此時，懸鏈線表達[17]經坐標變換和無量綱化后得:

其中，k=mgl/H。由此可得式(3)的一個特解為:

則其通解可表示為:

而C2=C4=0，將其帶入通解中即可得到振型函數。然后，將所得振型函數帶入索方程中(此時由于坐標系的移動，需要修改積分限)并消去≠0后，可得頻率方程為:

而C2=C4=0，將其帶入通解中即可得到振型函數，而相應的頻率方程為:

值得指出的是，式(24)和式(26)只是一種表達形式 ，利用關系式 ξ2=α2-β2，ξ?ω=α β 和k4-ξ2k2-ξ2=(k2-α2)(k2+β2)，其還可以有其它等效的表達形式。

2 討 論

文獻[6]和文獻[12]分別對兩種邊界條件下的結果進行了數值驗證，在λ2的實際取值范圍內都有良好的精度。其中，文獻[12]的數值方法采用的索靜力構形與本文相同。但實際上，由于他們得到的是解析解，這種驗證不但是對解的驗證，更是對近似運動方程的驗證，所以這里就不再對此進行重復。

2.1 邊界條件的影響

圖2表示參數 ξ分別取20、50、75和200[5-6]四種情況時，兩種邊界條件下前六階無量綱頻率(?ω/π)隨參數 λ2的變化情況。CC表示兩端固接，HH表示兩端鉸接，Irvine表示文獻[3]的解。從圖中可見，考慮彎曲剛度的懸索同樣會發生Crossover現象[6，10]；顯然，考慮彎曲剛度的頻率要高于不考慮彎曲剛度的情況，兩端固結情況則要高于兩端鉸接情況；頻率階數越高，三者之間的差別越大；參數 ξ越小，也就是彎曲剛度的比重越大時，兩種邊界條件下的頻率差別越大。

由此可見，對于需要考慮彎曲剛度的懸索的動力分析，考慮不同形式的邊界條件是必要的。

另外，正如文獻[8]指出的，拉索的實際約束情況往往處于固接和鉸接之間。本文的兩端固結和兩端鉸接情況相當于實際約束情況的上下界，當需要考慮更精確的約束條件時，由此可以對實際的拉索頻率進行近似估計。

2.2 懸鏈線解與拋物線解對比

文獻[6，12]采用的靜力解實際上與Irvine[3]相同，其并未考慮彎曲剛度的影響。在忽略該影響的假定下，由于本文采用的是更準確的懸鏈線索，所以從理論上講，其精度要高于文獻[6，12]的結果。

令文獻[12]中的參數ε=0時，就可得到相應的水平索的頻率方程。這樣，在本文的無量綱表示下，考慮彎曲剛度的拋物線索的兩端固接和兩端鉸接面內對稱頻率方程分別為[6，12]:

相比于其原始表示，式(27)、式(28)略為簡潔。

圖2 兩種邊界條件下參數ξ取不同值時前六階頻率對比

圖3 兩種邊界條件下參數k取不同值時前四階對稱頻率對比

圖3給出了 ξ=75時 ，k取 0.1、0.5、0.85和1.0時與拋物線解的前四階對稱無量綱頻率(?ω/π)隨參數λ2的變化情況。由圖3可見，兩種構形表達的結果相差很小，僅上升段略有差別，其基本可以忽略(所以圖中未標出各曲線的意義)，對于ξ取其它值的情況，也可得出類似的結果，這從另一個角度也驗證了式(27)和式(28)的正確。所以，相比而言，在實際應用中可以采用式(27)和式(28)。

3 結 語

本文在已有研究基礎上考慮了更準確的懸索靜力構形——懸鏈線，推導了在兩端固接和兩端鉸接邊界條件下考慮彎曲剛度的懸索面外和面內自由振動解析解，對已有文獻結論進行了補充并修正了其不當之處。通過討論認為，當分析中需要計入懸索的彎曲剛度時，應該要考慮不同邊界條件的影響，而本文結果可以看作是實際情況的上下界。通過與已有結果對比發現，本文結果雖從理論上更精確，但其與已有結果的差別在實際應用中基本可以忽略，從這個角度來講，本文結果也可以看作是對已有理論的一個補充。

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