傳遞矩陣法在結構振動響應分析中的應用

武 鵬

（中國航空工業集團公司沈陽發動機設計研究所，遼寧沈陽110015）

0 引言

經典傳遞矩陣法是20 世紀20 年代建立起來的用于研究彈性構件組成的一維線性系統振動問題的方法。 經過多年的發展和完善，已經可以用于求解多圓盤軸的扭轉振動問題、梁的彎曲振動模態、軸的橫向振動問題、系統的靜態響應和扭矩載荷響應問題、以及一維結構的振動特性分析和復合梁的振動特性等結構動力學問題。 并且，由于傳遞矩陣法建模靈活、計算效率高等優點，已在包括光學、聲學、電子學、機器人學、機械、兵器、航空、航天等諸多現代工程技術領域中得到了廣泛應用[1]。

應用傳遞矩陣法進行分析的一般步驟為：1）結構離散化；2）建立系統傳遞矩陣；3）特征方程求解。

1 結構離散化

航空發動機低壓轉子結構簡化模型見圖1：

圖1 低壓轉子結構簡化模型

其主要組件為壓氣機、渦輪和低壓軸。 低壓轉子通過前、中、后3個支點與發動機轉子系統相連[2]。

將該結構進行離散化處理[3－5]，并將各支點簡化為線彈性體后，得到圖2 所示模型。

圖2 離散化模型及節點編號

離散化處理后， 整個低壓轉子的質量將被轉換為分布式質量節點。 表1 給出了離散化后各質量節點的質量分布情況。

表1 模型質量分布

2 建立系統傳遞矩陣

將連續結構進行離散化處理后，實體結構將被簡化成等剛性無質量梁單元及分布質量點。

圖3 梁單元及分布質量點[6]

如圖3 中所示，梁單元位于相鄰的兩個質量點i-1 和i 之間，長度為li。

無質量懸臂梁的受力及變形如圖4 所示。

圖4 中，w 為撓曲變形量，φ 為撓曲變形角度；V 為切向力，M 為彎矩。

由梁單元兩端受力平衡條件可得出如下方程：

工業視頻內窺鏡檢測設備主要由光導纖維、插入管和視頻成像系統組成，從而實現對管材內部視場范圍內的監視、記錄、存儲和圖像分析。

應用基本梁變形計算公式可得如下方程：

將節點jL和節點j-1R之間受力及撓曲變形關系用矩陣形式表示為：

分布質量點mi兩端的無質量梁間，梁的撓曲變形、撓曲角度及彎矩時連續傳遞的，由此可得:

當分布質量點處于振動狀態時，會產生與質量和振動角速度相關的內力，如圖5 所示，這將導致節點兩端的無質量梁間切向力不連續。

圖5 自由狀態下分布質量單元受力示意圖[6]

此時，由力平衡方程可得：

將其轉化為矩陣形式，表示為：

當梁支承在彈簧上時（圖6），可得另一種節點傳遞矩陣。

圖6 彈性支承上的梁[6]

轉化為矩陣形式為：

下一步是消除中間節點向量并選擇頻率因子。

將關系式（3）、（6）、（7）應用于整個轉子，可得：

從而得出轉子兩端的節點向量之間的關系式：

將方程式（9）以矩陣形式表示為：

然后將邊界條件帶入方程式（10）以求得頻率因子。

簡支梁兩端的邊界條件為：

wn＝0，Mn＝0，w0＝0，M0＝0

3 特征方程求解

以轉子轉速做為變量，在不同剛度參數下對特征值進行求解。 在某一給定剛度下轉速在0RPM～10000RPM 區間內，對特征值的計算結果如圖7 所示。

圖7 給定剛度下臨界轉速計算結果(Matlab)

在圖7 中，給定的轉速區間內，特征值為“0”的點有4 個，這4 個“0”點對應的轉速即為在此支承剛度下轉子的臨界轉速。通過改變支承剛度，得到如下結果：

表2 模型臨界轉速

圖8 轉子臨界轉速

如圖8 中所示，此模型在0RPM～20000RPM 轉速范圍內共存在四階臨界轉速，隨支承剛度變化，各階臨界轉速呈現以下變化趨勢：

1）K＜1.0×107N/m 時，第一階和第二階臨界轉速隨支承剛度上升而逐漸上升，第三階和第四階臨界轉速基本保持不變；

2）1.0×107N/m＜K＜1.0×109N/m 時， 各階臨界轉速都隨支承剛度增加而上升；

3）1.0×109N/m＜K 時，前3 階臨界轉速趨于穩定，第四階臨界轉速仍隨支承剛度增加而增加。

4 小結

本文以發動機低壓轉子為例， 建立了發動機轉子離散化模型，通過求解系統傳遞矩陣得出轉子在不同支承剛度下的臨界轉速。在計算中未考慮風扇軸與渦輪軸間套齒聯軸器、軸承阻尼特性和陀螺力矩等影響， 并且為簡化計算步驟將三個支點的支承剛度設置為了相同值。在后續的深入研究過程中， 將以發動機的整個轉子系統為分析對象，通過離散化處理，建立整個轉子系統的傳遞矩陣，以求得轉子-支承-機匣的復合振動響應特征。

［1］芮筱亭，戎保.多體系統傳遞矩陣法研究進展[J].力學進展，2012,42(1)：4-17.

［2］Rolls-Royce Ltd. The Jet Engine[M].6thedition, Rolls-Royce, 2005.

［3］Pilkey W D, Chang P Y. Modern Formulas for Statics and Dynamics [M]. New York: McGraw-Hill Book Company, 1978.

［4］蔣書運，陳照波，須根法，等.用整體傳遞矩陣法計算航空發動機整機臨界轉速特性[J].哈爾濱工業大學學報，1998,30(1):32-38.

［5］Lee U. Vibration analysis of one-dimensional structuresusing the spectral transfer matrix method[J]. Engineering Structures, 2000,22: 681-690.

［6］Pestel, Eduard C., Matrix Methods in Elastomechanics[M].McGraw-Hill, 1963.