改進的參數活動輪廓模型*

潘改 高立群

(東北大學信息科學與工程學院，遼寧沈陽110819)

參數活動輪廓模型又稱為Snake模型［1］，是偏微分方程應用在圖像分割中的一種經典模型，主要用于邊緣提?。?-5］和目標跟蹤［6-9］，其基本思想是將分割問題轉化為求取能量泛函最小值問題，通過求取能量泛函的最小值來驅使輪廓曲線運動到目標的邊界，并停止在目標的邊界上．

經典參數活動輪廓模型具有如下特點:①外力場作用范圍小，輪廓曲線難以進入凹陷區域，曲線的初始位置必須接近目標邊緣;②難以得到弱邊界的梯度信息，使梯度信息難以向四周擴散，能量泛函的最小值難以驅使輪廓曲線停止在目標的弱邊界上，因而容易造成誤分割;③噪聲擴散的作用范圍小，具有較強的抗噪性．

為擴大參數活動輪廓模型外力場的作用范圍，學者們提出了許多改進的方法．如Xu等［10］提出了梯度矢量流(GVF)模型，該模型從圖像邊界開始向光滑區域擴散，逐漸形成一個全局的向量場;Li等［11-12］將卷積向量場(VFC)作為參數活動輪廓模型的外力場，即向量場的核函數卷積梯度圖像;文獻［13-14］中將由向量場的核函數卷積Harris矩陣得到的梯度圖像作為活動輪廓模型的外力場(HVFC)．GVF、VFC和HVFC模型均擴大了Snake模型外力場的捕獲范圍，能夠驅使輪廓曲線進入凹陷區域．相對于GVF模型，VFC和HVFC模型的計算更簡單，能夠克服噪聲對強邊界分割效果的影響;相對于VFC模型，HVFC模型既能很好地獲取弱邊界的梯度信息，使其向光滑區域擴散，又能分割含有弱邊界的目標．GVF、VFC和HVFC模型均是改進的參數活動輪廓模型，但無法解決含有噪聲和弱邊界的分割問題，難以驅使輪廓曲線停止在目標邊界上．

為擴大Snake模型外力場的捕獲范圍，解決噪聲對弱邊界分割效果的影響，文中結合Snake模型的外力場可以限制噪聲擴散和VFC模型的外力場可以擴大邊界向光滑區域擴散的特點，提出了一種新的參數活動輪廓模型，即融合Snake模型的外力場和卷積向量場作為文中模型的外力場．該模型首先采用Harris矩陣計算梯度圖像，然后估計局部區域的噪聲概率，確定Snake模型的外力場和卷積向量場在文中外力場的作用權重，最后得到相應的全局向量場驅使輪廓曲線進行運動．

1 參數活動輪廓模型和卷積向量場

1．1 參數活動輪廓模型

Kass等［1］提出的參數活動輪廓模型通過給定的一條輪廓曲線 C(p)=(x(p)，y(p))，p∈［0，1］，構建關于輪廓曲線的能量泛函，將分割問題轉化為求取能量泛函最小值問題，其能量泛函為

式中，Eint(C(p))是依賴于輪廓曲線C(p)的內部能量項，Eext(C(p))是依賴于圖像特征的外部能量項．

Eint(C(p))是關于輪廓曲線伸縮和彎曲的能量泛函，定義為

Eext(C(p))是關于梯度圖像的能量泛函，定義為式中，是固定系數，是梯度算子，I是要分割的灰度圖像．

由變分原理知，要使Esnake最小，輪廓曲線C(p)應滿足歐拉方程:

式中:fint=αC″(p)-βC?(p)，是輪廓曲線C(p)的內力;fext=- Eext，是輪廓曲線C(p)的外力．

最小化Eint(C(p))就是要求輪廓曲線盡可能短并且盡可能光滑，最小化Eext(C(p))就是要求輪廓曲線盡可能停止在達到極大值的位置，即圖像目標的邊界上．參數活動輪廓模型采用梯度圖像作為外力場，捕獲范圍小，難以驅使輪廓曲線進入凹陷區域，對輪廓曲線的初始位置比較敏感，即初始位置必須設置在目標的邊緣處．由于外力場的捕獲范圍小，噪聲的捕獲范圍也小，因此參數活動輪廓模型具有較強的抗噪性．

1．2 卷積向量場

Li等［11-12］將VFC作為參數活動輪廓模型的外力場，通過梯度圖像卷積向量場核函數實現，即式中:f(x，y)是梯度圖像;*代表卷積;k(x，y)是向量場核函數，定義為

uk(x，y)和 vk(x，y)分別是向量場核函數 k(x，y)的水平分量和垂直分量;n(x，y)是指向k(x，y)到點(0，0)的單位向量)是像素點(x，y)到點(0，0)的距離;m(x，y)是像素點(x，y)的向量模，m(x，y)=(r+ ε)-γ，γ 是給定的系數，調節向量模m(x，y)的遞減程度．

由VFC模型的核函數卷積梯度圖像能夠得到全局向量場，擴大了Snake模型外力場的捕獲范圍，但同時也擴大了噪聲的捕獲范圍．雖然強邊界的捕獲范圍大于噪聲，一定程度上降低了噪聲對分割的干擾，但當待分割的圖像目標同時含有噪聲和弱邊界時，弱邊界的捕獲范圍小于噪聲，噪聲嚴重干擾圖像分割，難以得到理想的分割效果．相對于VFC模型，HVFC模型能更好地獲得弱邊界的梯度信息，但難以解決噪聲對弱邊界分割的影響．

2 混合參數活動輪廓模型

經典參數活動輪廓模型采用梯度圖像作為外力場，雖然捕獲范圍小，但能很好地限制噪聲的擴散，一定程度上可以減少噪聲對圖像分割的影響，具有較強的抗噪性;采用卷積向量場作為活動輪廓模型的外力場，擴大了外力場的捕獲范圍，但同時也擴大了噪聲的捕獲范圍．為擴大參數活動輪廓模型外力場的捕獲范圍，同時盡量縮小噪聲的捕獲范圍，減少噪聲對圖像分割的影響，文中結合參數活動輪廓模型和卷積向量場的優點，提出了一種新的參數活動輪廓模型，融合Snake模型的外力場和卷積向量場作為文中模型的外力場，即

式中，μ是局部區域的噪聲概率，用于調節fVFC和fext在文中外力場的作用．當μ=1時，fPVFC=fext，參數活動輪廓模型的外力場是文中向量場的一個特例，難以得到理想的分割效果;當μ=0時，fPVFC=fVFC，卷積向量場是文中向量場的一個特例，難以得到理想的分割效果．

向量場fVFC和fext的形成都與圖像梯度有關．為了更好地得到弱邊界的梯度信息，文中采用Harris矩陣［13-14］來求取梯度圖像．Harris矩陣為

記Harris矩陣M對應的特征值分別為1和，則

任意像素點(x，y)的噪聲概率μ(x，y)應該滿足以下條件:

(1)噪聲概率 μ(x，y)應該與點(x，y)的局部區域(即均值和方差)有關，均值表示局部區域期望的灰度值，方差表示局部區域灰度值與均值的偏離程度，偏離程度越小，噪聲概率μ(x，y)越小，偏離程度越大，噪聲概率μ(x，y)越大;

(2)當局部區域的中心像素點(x，y)是噪聲時，μ(x，y)的取值較大，否則，μ(x，y)的取值較?。?5］．

采用高斯函數計算μ(x，y)能夠滿足噪聲概率的條件，因此，概率μ(x，y)的計算公式為

從式(10)可以看出:當 I(x，y)≈ (x，y)時，接近于 0，這說明局部區域的中心像素點是噪聲的概率非常低;而當I(x，y)＞ (x，y)或者 I(x，y)＜ (x，y)時，接近于 1，這說明局部區域的中心像素點是噪聲的概率非常高．

文中外力場融合了參數活動輪廓模型的外力場和卷積向量場，因此如何確定參數活動輪廓模型的外力場和卷積向量場在文中模型中的作用非常重要，應使其既可以擴大外力場的捕獲范圍，又可以縮小噪聲的作用范圍，減少噪聲對圖像分割的影響．根據局部區域的均值和方差計算噪聲的概率，能夠有效地調節參數活動輪廓模型和卷積向量場在文中模型中的作用:當平坦區域沒有噪聲時，參數活動輪廓模型的外力場忽略不計，卷積向量場起主要作用，擴大外力場的捕獲范圍;當平坦區域存在噪聲時，參數活動輪廓模型外力場的作用增強，卷積向量場的作用減弱，起到限制噪聲擴散的效果．

3 仿真實驗

為說明文中模型的有效性，分別對合成梯度圖像和醫學圖像(http:∥www．china-radiology．com/portal．php)進行仿真對比實驗，實驗平臺是操作系統為Windows XP的個人計算機(Intel D820 CPU、2GB內存)，采用Matlab 7．04編寫程序．

在仿真試驗中，對于給定相同位置的輪廓曲線，將文中模型的分割效果與GVF、VFC和HVFC模型的分割效果進行了對比，其中參數設置如下:α=0．5，β =0．1，r=1．8，局部區域的大小是3 ×3．

為說明噪聲對弱邊界分割的影響，對于給定相同位置的初始輪廓曲線、密度為0．045的脈沖噪聲和不同目標邊界的梯度(目標邊界的梯度值是噪聲梯度值的0．5倍，目標邊界的梯度值等于噪聲的梯度值)，采用GVF、VFC、HVFC和文中模型對合成梯度圖像進行分割，結果如圖1所示．圖1表明:GVF模型得到了錯誤的分割結果，說明強邊界和弱邊界的捕獲范圍等于或者小于噪聲，難以克服噪聲的干擾;VFC和HVFC模型的分割效果較理想，說明強邊界的捕獲范圍大于噪聲的捕獲范圍，而弱邊界的捕獲范圍小于強邊界的捕獲范圍，噪聲的捕獲范圍相對增大，容易吸引輪廓曲線停留在噪聲上而得到錯誤的分割結果;文中模型得到了準確的分割結果，說明強邊界或弱邊界的捕獲范圍均大于噪聲的捕獲范圍．文中模型能夠準確地分割含有凹形的圖像目標，說明其外力場能夠擴散到凹形區域，從而解決圖像的凹陷問題．

圖1 幾種模型對合成梯度圖像的分割結果比較Fig．1 Comparison of segmentation results for synthetic edge images among several models

圖2 原始的醫學圖像Fig．2 Initial medical images

輪廓曲線1的初始位置設置在圖2(a)所示的腦膜瘤內部(腦膜瘤是待分割的目標)，幾種模型的分割結果如圖3(a)所示．該圖像目標灰度不均勻，存在噪聲和弱邊界，噪聲產生不需要的梯度信息，而弱邊界難以得到需要的梯度信息，從而影響圖像的分割．從圖3(a)可知:在GVF模型中，噪聲的擴散能夠吸引輪廓曲線向噪聲方向運動，而弱邊界的擴散難以吸引輪廓曲線向弱邊界方向運動并停止在弱邊界上，故得到錯誤的分割結果;雖然VFC和HVFC模型的目標邊界在一定程度上能夠限制噪聲梯度的擴散，但目標邊界是弱邊界或噪聲距離目標邊界較遠時，目標邊界限制噪聲梯度擴散的能力有限，因而得到錯誤的分割結果;文中模型采用參數活動輪廓模型的外力場來擴散噪聲的梯度，因此能夠限制噪聲梯度的擴散，得到準確的分割效果．

圖3 幾種模型對醫學圖像的分割結果比較Fig．3 Comparison of segmentation results for medical images among several models

輪廓曲線2的初始位置設置在圖2(b)所示的腦膜瘤的外部(腦膜瘤是待分割的目標)，存在噪聲，目標邊界距離脊髓液的邊界較近，而脊髓液是強邊界．從圖3(b)可知:在 GVF、VFC和 HVFC模型中，脊髓液邊界的擴散范圍不同程度地大于目標邊界的擴散范圍，從而吸引輪廓曲線運動到脊髓液的邊界上;文中模型能夠吸引輪廓曲線向目標邊界運動，從而得到準確的分割效果．

為說明噪聲對文中模型的影響，對于給定相同位置的初始輪廓曲線，分別添加密度為0．10、0．15、0．20和0．30的脈沖噪聲，然后采用文中模型進行分割，結果如圖4所示．從圖中可以看出，文中模型具有一定的抗噪性，但隨著噪聲的增多，圖像的分割效果越來越差．

圖4 噪聲對文中模型分割結果的影響Fig．4 Effect of noise on segmentation results obtained by the proposed model

為進一步比較GVF、VFC、HVFC和文中模型的優劣，將這4種模型的分割結果與理想的分割結果進行比較，計算其準確率，結果如表1所示．準確率越高，誤分割越少，分割效果越好．準確率的定義為

式中，SP為分割出來的目標輪廓圖像中像素點集合與理想輪廓圖像中像素點集合的交集，SN為分割出來的背景像素點集合與理想輪廓圖像中背景像素點集合的交集，STP為理想輪廓圖像中目標像素點集合，STN為理想輪廓圖像中背景像素點集合，P(S)表示集合S中的元素個數．

表1 幾種模型對圖2的分割準確率比較Table1 Comparison of segmentation accuracies for Fig．2 among several models

從表1可知，文中模型的分割準確率高于GVF、VFC、HVFC模型，因此其分割效果更優．

綜合上述分析可知，對于合成梯度圖像和醫學圖像，文中模型能夠準確地分割出目標，即輪廓曲線停止在目標邊界上，分割準確率優于GVF、VFC和HVFC模型．因此，文中模型既能擴大外力場的捕獲范圍，驅使輪廓曲線進入凹陷區域，又能分割出含有弱邊界的目標，同時消除噪聲對弱邊界分割的影響．

4 結語

為擴大Snake模型外力場的捕獲范圍，解決噪聲對弱邊界分割效果的影響，文中提出了一種新的參數活動輪廓模型，融合了Snake模型的外力場和卷積向量場作為文中模型的外力場，使其能夠擴大外力場的捕獲范圍，縮小噪聲的捕獲范圍，進而得到全局向量場．文中模型能夠驅使輪廓曲線向凹陷區域運動，對輪廓曲線的初始位置有很好的適應性，同時克服了噪聲對弱邊界分割效果的影響．仿真實驗結果表明，文中模型能夠解決傳統參數活動輪廓模型無法解決的含有噪聲和弱邊界的分割等問題，獲得更準確的分割結果．將文中模型的外力場應用于圖像跟蹤，擴大其應用范圍，是下一步研究的重點．

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