有效逼近MIMO信道容量的軟解調算法*

蔡曙 黑永強

(西安電子科技大學 綜合業務網理論及關鍵技術國家重點實驗室，陜西 西安 710071)

多輸入多輸出(MIMO)系統在不增加系統帶寬的前提下，能夠極大地提高無線通信的數據傳輸速率，因而被視為下一代無線通信極具潛力的核心技術之一.發送端采用比特交織編碼調制、接收端采用基于比特軟信息迭代的解調器和譯碼器［1-8］的Turbo-MIMO 系統［2，4］，因能夠逼近MIMO 信道的香農容量限而引起了國內外學者的廣泛關注.然而，困擾Turbo-MIMO 系統的一大難題是缺乏高效的軟解調算法.由于最優軟解調最大后驗概率(MAP)準則的復雜度隨著問題維數呈指數增長［1］，因此，低復雜度高性能的軟解調算法成為研究的一大熱點.

為降低軟解調算法的復雜度，學者們提出了一系列復雜度較低的近似最優的解調算法［1-3，9-10］.其中，對MAP 準則進行Max-Log-MAP 近似是降低復雜度的關鍵.在此基礎上，文獻［10］中提出了基于半正定松弛的低復雜度正交相移鍵控(QPSK)信號的軟解調算法，但其誤碼率較高.為降低計算復雜度，文獻［1］中提出了一種列表球形譯碼(LSD)算法，文獻［3］中將軟解調問題轉變成一系列球形譯碼(SoD-HSD)問題再求解.這類基于球形譯碼的軟解調算法的解調復雜度有所降低，約為Nt(Nt為發射天線數)次球形譯碼的復雜度.然而，當信噪比較低或問題的維數較高時，球形譯碼本身可能呈現指數級的復雜度［11-12］，并且對于不同的信道實現，其運行時間差別會很大.PSK 信號系統采用QML-PSK檢測算法［11，13］進行軟解調［9］，是進一步降低解調復雜度的一種有效求解思路，但QML-PSK 檢測算法不適用于高階QAM 星座圖.因此，針對高階QAM 星座圖實現高性能低復雜度軟解調仍是一個值得深入探討的問題.

針對球形譯碼復雜度高的問題，文中將QMLPSK 檢測算法應用于Turbo-MIMO 系統中，提出了一種低復雜度的QAM-PSK 軟解調算法.該算法采用比特級多流編碼分層空時(LST)傳輸技術，將高階QAM 信號轉換成PSK 信號，以實現對任意QAM星座圖的低復雜度QML-PSK 軟解調.在此基礎上，根據比特流分層傳輸時各層比特的信噪比不同，通過消除低信噪比比特解調錯誤對高信噪比比特解調的影響來改進QAM-PSK 軟解調算法.文中最后對所提QAM-PSK 軟解調算法進行了復雜度分析，并通過仿真驗證其在性能和復雜度上的優勢.

1 系統模型

式中:Ec是信號(t)的平均能量;Es是總發射功率;是復信道矩陣(t)是服從CN(0，σ2I)分布的復加性高斯白噪聲(AWGN)，信號和噪聲均隨時間序列t 變化，σ2為噪聲方差;(t)中的每個元素由Mc個經過差錯控制編碼和交織后的比特在2McQAM 星座圖上映射產生.不失一般性，為方便起見，對式(1)中的參數實數化，即

式中，向量s(t)的維數為Nt，其元素由M(M=Mc/2)個經交織后的編碼比特在2MPAM 星座圖C 上映射得到，C 對應于2McQAM 星座圖的實部或虛部.

在接收端，Turbo-MIMO 接收機的軟解調器首先根據信號y(t)和待解調向量s(t)中MNt個二進制編碼比特{xk(t)}的先驗信息{LA(xk(t))計算其外信息LE(t)=(LE(x1(t )y(t))，LE(x2(t)y(t))，…，LE(xMNt(t)y(t)))T，并將所有比特的外信息送入軟輸入軟輸出譯碼器，從而更新編碼比特的先驗信息或最終判決輸出.

可見，Turbo-MIMO 接收機的復雜度取決于信號軟解調和譯碼兩部分.目前，譯碼算法(如BCJR 譯碼［14］)相對比較成熟，復雜度改進空間不大，因此如何改進軟解調器成為降低接收機計算復雜度的關鍵，而這正是文中所提出的低復雜度QAM-PSK 軟解調算法的出發點.

為方便描述，以下推導中省略時間序號t，則式(3)可簡化成

當編碼比特之間相互獨立時，由貝葉斯準則可知，軟解調算法所要求解的比特外信息可以表示為［1］

式中，x 是s 中的MNt編碼比特所組成的向量，Xk，+1和Xk，-1分別是xk=1 和-1 時x 的取值集合，x［k］是向量x 剔除xk后的向量，xk的先驗信息為LA(xk)=ln(p(xk= +1)/p(xk=-1))，似然函數p(yx)∝exp(-y- Hs2/(2σ2)).定義LA= (LA(x1)，LA(x2)，…，LA(xMNt))T，則式(5)中的LA，［k］表示LA剔除LA(xk)后的向量.

通過式(5)直接求解LE(xky)的復雜度為O(2MNt)［1］，此時不妨對式(5)進行Max-Log 近似，這樣能夠以很小的性能損失獲得復雜度的大幅降低［1-3，9-10］.將近似后的公式進一步化簡，可得

式中，f(x)= y-Hs(x)2-σ2xTLA，s(x)是由比特向量x 在星座圖上映射得到的s 向量，^xmap是的最優解，k，map是map的第k 個元素.由式(6)易知，高效求解外信息LE(xky)的關鍵在于高效求解優化問題和

2 QAM 星座圖的高效軟解調算法

為有效求解式(6)，文中引入QML-PSK 檢測算法，并利用比特級多流編碼LST 傳輸技術，提出一種能適用于各種QAM 星座圖的QAM-PSK 軟解調算法.

2.1 QML-PSK 檢測算法及其在PSK 星座圖中的軟解調算法

在MIMO 無線通信系統中，當發射信號為QPSK 時，可根據式(2)將QPSK 實數化為BPSK 信號s，有s=x.在AWGN 環境下，最大似然(ML)檢測可表示為［10］

其復雜度隨問題的維數呈指數增長.為降低復雜度，可將整數約束松弛為復數恒模約束，即x∈Nt=經過化簡，式(7)轉換成［11］

式(8)可由連續同倫投影并行下降法求解，稱這種方法為QML-PSK 檢測算法［11］.在給定矩陣Q后，其最大計算復雜度僅為O()，而其性能非常接近最大似然檢測的最優性能［11］，因此，將QMLPSK 檢測算法用于軟解調，是一種在極低復雜度下逼近最優性能的求解思路.

在軟解調中使用QML-PSK 檢測算法的一大難題是如何將式(6)中的f(x)表示成式(8)中的二次型.當發射信號為QPSK 時，f(x)與式(7)中目標函數的差別僅為一線性項，將式(9)中的p 重新定義為p=HTy+σ2LA/2，得到

2.2 高階QAM 星座圖中的PSK 軟解調算法

為降低高階星座調制方式軟解調方法的復雜度，文中利用比特級多流編碼LST 傳輸技術將高階星座分成數個調制能量不同的低階星座，從而能夠利用QML-PSK 檢測算法進行軟解調.不失一般性，文中以方形QAM 調制為例，其他形式的QAM 星座與此類似.

比特級多流編碼分層調制是指編碼比特映射到QAM 星座圖上產生信號時，根據比特所代表信息的不同重要級別，在調制階段將其分配到不同的能量層中.以16QAM 為例，其對應的4 階脈沖幅度調制(4PAM)向量s(s∈{±1，±3}Nt)由MNt(M =2)個編碼比特調制產生.根據信息的不同重要性，可以將這些編碼比特按調制能量的不同分成兩組，得到向量x2和x1(xi∈{±1}Nt，和分別為星座點xi的實部和虛部;i =1，2)，并由s =2x2+x1產生調制信號.16QAM 星座圖的一種實現形式如圖1 所示，Re 和Im 分別表示實軸和虛軸，調制能量高的比特x2決定了調制后信號所在象限，而調制能量低的比特x1決定了調制后的信號在象限中的位置.

圖1 比特級多流編碼分層調制的16QAM 星座圖Fig.1 16QAM constellation of bit-level multi-stream coded layered modulation

類似地，2McQAM 星座圖對應的2MPAM 信號s可由M 個比特向量(xM，xM-1，…，x1)經過映射關系

調制得到，其中xi表示處于第i 層的所有比特，其調制振幅為2i-1.

通過定義矩陣W =［2M-1I 2M-2I … I］和向量，可將式(11)改寫成矩陣形式:

從而高階QAM 信號可以用BPSK 信號來表示.將式(12)代入式(4)中，得到QAM 星座圖信號的統一表達式為

把HW 作為新的信道矩陣Hw，得到

(1)由已知的y、H 和先驗信息LA，根據式(12)、(13)將QAM 信號(見(4))改寫成BPSK 信號形式(見(14));

(2)將式(14)代入式(7)，并利用式(15)將問題(7)等價轉化，得到問題(10);

(3)采用QML-PSK 檢測算法求解問題(10)，得到及

(4)將步驟(3)中所求結果代入式(6)，計算比特xk的外信息LE(xky).

雖然QAM-PSK 軟解調算法具有復雜度低的優點，但對于高階QAM 調制信號，直接根據式(10)和(15)計算外信息將導致誤比特率(BER)隨Turbo 迭代次數的增加而增加.這是因為根據式(6)、(10)及(15)計算比特xk的外信息LE(xky)時，使用了向量x 中所有其他比特的先驗信息，即LA.然而，對能量(或比特信噪比Eb/N0)較高的編碼比特進行解調時，使用能量(或Eb/N0)較低比特的先驗信息會導致解調錯誤概率增大，這些錯誤在新一輪迭代中無疑會影響Eb/N0較高比特的解調性能.為避免上述問題，文中提出了一種適用于QAM-PSK 軟解調算法的迭代接收機.

3 適用于QAM-PSK 軟解調算法的迭代接收機

采用比特級多流編碼分層調制及QAM-PSK 軟解調算法的Turbo-MIMO 發射機和接收機模型如圖2所示，其工作原理描述如下.

圖2 比特級多流編碼LST 收發機模型Fig.2 Model of bit-level multi-stream coded LST transceiver

在發送端，信息b 被分成M 個子流{bi，經過差錯控制編碼和交織后得到{xi，根據式(12)將M 個比特流{xi調制為PAM 符號流s，最后合成2 個PAM 符號流得到QAM 調制信號.

在接收端，在能量不同的層之間，迭代解調和譯碼按比特調制能量由高到低逐層進行.先由輸入信號yM=y 對M 層比特流xM進行迭代解調和譯碼.當迭代次數達到上限時，由譯碼器輸出編碼比特軟信息.第i(i ＜M)層根據上層比特軟信息計算ni(ni=的均值i和方差，然后對y 進行概率數據關聯(PDA)濾波［15］，得yi=(y-i)，再對xi進行迭代解調和譯碼.

需要指出的是，接收端每一層由QAM-PSK 軟解調器和BCJR 譯碼器組成.對于軟解調器，其輸入由yi及xi的先驗信息LA1，i組成，信號軟解調后得到xi的外信息LE1，i，LE1，i經解交織后得到LA2，i;譯碼器將LA2，i作為編碼比特ci的先驗信息，譯碼得到外信息LE2，i，LE2，i經交織后得到更新的先驗信息LA1，i，從而完成一次迭代.迭代次數達到上限后，由信道譯碼器的軟輸出判斷信息bi的估計值i.

根據圖2 所示的逐層解調結構可知，在解調能量較大的編碼比特時可忽略能量較小比特的先驗信息，從而將求解第i 層第l 個比特(xk=xi，l)的外信息計算公式修正為

值得注意的是，由于優化問題的維數(即x(i)的維數iNt)隨層數i 的減小而減小，求解LE(xiyi)的復雜度也會隨i 的減小而不斷下降.

Turbo-MIMO 接收機進行軟信息迭代解調和譯碼的步驟如下:

(1)初始化LA1，i(t)=0，其中i=1，2，…，M;t=1，2，…，T;T 為發射所有編碼比特的次數.

(2)i=M，yM=y.

(3)t=1.

(4)采用QML-PSK 算法求解式(17)，得到最優解(t)及函數值fi((t));對第i 層的所有得到外信息LE1，i(xi，l(tyi(t)).xi，l，求解式(16)中問題

(5)t=t +1，若t≤T，則轉步驟(4)，否則轉步驟(6).

(6)解交織{LE1，i(t)}Tt=1得到譯碼器先驗信息LA2，i.

(7)采用BCJR 譯碼計算后驗信息LD2，i和外信息LE2，i.

(8)若迭代次數達到上限，則由后驗信息LD2，i硬判決得到估計值bi，并轉步驟(10)，否則轉步驟(9).

(9)LE2，i經交織器得到軟解調的先驗信息{LA1，i(t)}，轉步驟(3).(10)若i ＞1，則i=i-1，計算，并轉步驟(3)，否則輸出

4 QAM-PSK 軟解調算法的復雜度分析

對于文中所提的QAM-PSK 算法，分析求解x 中MNt比特外信息所需的復雜度.根據Turbo-MIMO接收機模型和式(16)，計算比特外信息需要求解和最優解，其中i=1，2，…，M;l=1，2，…，Nt.求第i 層的需使用PSK 檢測算法求解Nti 維的優化問題，而求需使用PSK 檢測算法求解維數為Nti-1 的優化問題Nt次，并且計算式(8)中Q 所需的復雜度為O(Nr).由于PSK檢測算法求解K 維問題的復雜度為O(K2)，因而計算x 中所有比特外信息的復雜度為，當Nt=Nr時，其復雜度可近似為O(M3/3).

5 數值仿真

為驗證所提QAM-PSK 軟解調算法的性能，文中先通過仿真比較先驗信息給定時QML-PSK 軟解調算法與最優軟解調算法的性能，然后比較QAMPSK 軟解調算法與基于球形譯碼的LSD 算法［11］和SoD-HSD 算法［13］分別應用于軟信息迭代接收時的誤碼率性能和復雜度.

與MAP 準則的最優性能相比，影響QAM-PSK軟解調算法性能的因素包括Max-Log-MAP 近似和ML 檢測中對整數約束的松弛.其中Max-Log-MAP近似的性能已有大量文獻討論［16-19］;當先驗信息LA=0 時，將ML 檢測中的整數約束松弛為復數恒模約束的性能在文獻［11］中也有仿真驗證.因此，文中主要比較當LA≠0 時將整數約束松弛為復數恒模約束的QML-PSK 軟解調算法和性能最優的SoD-HSD 算法的性能.

考慮一個Tx發射天線和Tx接收天線的Turbo-MIMO 系統(Tx分別為4 和8)，信道為瑞利平坦衰落.數據幀長度為9216，數據總長度為500 幀.比特先驗信息LA根據文獻［7］計算:當比特xk及其與先驗信息LA(xk)之間的互信息I 給定時，xk的先驗信息LA(xk)為

式中，h1=0.3073，h2=0.8935，h3=1.1064，vk是服從標準正態分布的隨機變量.利用式(18)和(19)產生先驗信息序列，再根據式(6)計算比特的外信息，便得到給定互信息時先驗信息對軟解調算法性能的影響.

在Max-Log-MAP 準則下，QML-PSK 軟解調算法和最優SoD-HSD 算法［3］所輸出的外信息隨互信息的變化如圖3 所示.仿真結果顯示，QML-PSK 軟解調算法的性能和最優SoD-HSD 軟解調算法的性能非常接近，當互信息I ＞0.5 時，兩者性能幾乎一樣.

圖3 外信息隨互信息的變化Fig.3 Changes of external information with mutual information

參照文獻［1］中的參數設置，考慮一個收發天線數均為8 的Turbo-MIMO 系統，其信道編碼采用碼率R =1/2、前饋和反饋多項式為(7，5)的并行Turbo 碼，信道為瑞利平坦衰落.基于LSD 系統的數據幀交織長度為9 216，數據總長度為500 幀.對應的比特級多流編碼分層調制及其QAM-PSK 軟解調的系統參數如表1 所示，其中內迭代次數表示Turbo譯碼的迭代次數，外迭代次數表示解調器與譯碼器間的軟信息迭代次數.

表1 基于QAM-PSK 的軟解調迭代接收機的參數Table 1 Parameters of soft demodulation iterative receiver based on QAM-PSK

軟信息迭代接收機使用不同軟解調算法時的BER 性能隨Eb/N0的變化如圖4 所示，其中QPSK、16QAM 和64QAM 信號的容量限分別為1.6、3.8 和6.4 dB.對于QPSK 信號，3 種算法在BER =10-5時的比特信噪比幾乎相同;對于16QAM 和64QAM 信號，基于QAM-PSK 軟解調算法的系統的Eb/N0分別優于基于LSD 算法的系統約0.4 和0.3 dB，較基于SoD-HSD 算法的系統略大(約為0.1 dB).

圖4 基于不同軟解調算法的Turbo-MIMO 系統的BERFig.4 BER of Turbo-MIMO systems based on different soft demodulation algorithms

在與圖4 相同的仿真條件下，QAM-PSK 軟解調算法與LSD 和SoD-HSD 算法的平均運行時間之比如圖5 所示.為比較不同解調算法的復雜度，仿真統計了接收機中軟解調部分所消耗的時間.與基于球形譯碼的軟解調算法相比，QAM-PSK 軟解調算法的低復雜度優勢在高階QAM 星座中更為明顯.在64QAM 中，當Eb/N0=12 dB 時，QAM-PSK 軟解調算法的平均運行時間約為LSD 算法的1/4、SoD-HSD的1/2;當Eb/N0=9 dB 時，QAM-PSK 軟解調算法與LSD 和SoD-HSD 算法的平均運行時間之比分別為1/80 和1/20.仿真結果表明，與基于SD 的軟解調算法相比，QAM-PSK 軟解調算法的低復雜度優勢隨調制階數的增加和信噪比的減小而增大，顯示出QAMPSK 軟解調算法的復雜度較為恒定，而基于球形譯碼的軟解調算法的復雜度在信噪比減小或問題維數增大時呈快速增加趨勢.

圖5 不同比特信噪比下的平均運行時間之比Fig.5 Ratios of average running time at different bit SNRs

SoD-HSD 算法和QAM-PSK 算法的平均運行時間之比隨天線數的變化如圖6 所示，其中接收信號的信噪比為10 dB，發射天線數和接收天線數相同，其他參數設置與圖4 相同.仿真結果顯示，QAMPSK 算法在復雜度方面有著明顯的優勢，尤其是天線數較大時，其運行時間僅為SoD-HSD 算法的1/50.這進一步說明，當問題維數增加時，QML-PSK 算法的復雜度增加速度慢于基于球形譯碼的軟解調算法.

圖6 SoD-HSD 和QAM-PSK 算法的平均運行時間之比Fig.6 Ratios of average running time of SoD-HSD to QAMPSK algorithms

6 結語

文中采用比特級多流編碼LST 傳輸技術，將高效的QML-PSK 檢測算法應用于Turbo-MIMO 無線通信系統的軟信息迭代接收端中，提出了能廣泛應用于各類QAM 星座圖的QAM-PSK 軟解調算法.在此基礎上，為了在分層調制系統中避免低能量比特影響高能量比特的解調性能，提出了適用于QAMPSK 軟解調算法的軟信息迭代接收機，并分析了QAM-PSK 軟解調算法應用于這種接收機時的計算復雜度.理論和仿真結果表明，文中提出的軟信息迭代接收系統可以在較低的復雜度下逼近MIMO 信道容量限.當頻率選擇性衰落信道條件下的多用戶系統存在碼元間干擾和用戶間干擾時，多用戶的高效軟解調問題以及實際系統中信道信息存在誤差時的軟解調算法，將是今后進一步研究的主要內容.

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