沃爾什序列組的兩個新性質及其推論*

郭黎利 劉明奪 姜曉斐

(1.哈爾濱工程大學 信息與通信工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001;2.中國電子科技集團公司第54 研究所，河北 石家莊 050001)

沃爾什(Walsh)序列是一種正交性良好的偽隨機序列.在理論數學和信息通信領域中，Walsh 序列得到了國內外很多學者的關注.文獻［1］中介紹了Walsh 函數的一種變換形式;文獻［2］中提出了一種新的生成能完全避免正交誤差的Walsh 序列方法;文獻［3-4］中給出了利用Walsh 序列特性變換來提高碼分多址(CDMA)系統性能的算法;文獻［5-6］中討論了Walsh 序列的基本性質和生成算法;文獻［7］中研究了Walsh 序列的均衡搭配性質，并在此基礎上設計了一種新的Walsh 序列生成器.

文中在文獻［5-7］研究的基礎上，推導出完備Walsh 序列組中多條序列的列同性，依據列同性導出了2 個新推論，即完備Walsh 序列組中序列列同性的Walsh 編號關系及3 條序列等幅疊加生成序列和原序列組中序列的部分相關性，并進行了仿真驗證.最后分析了疊加生成序列部分相關性在并行組合擴頻(PCSS)通信系統四相相移鍵控(QPSK)調制中的應用，根據調制后正交序列和本地序列的部分相關性，采用峰值置零法來實現軟判決接收，進一步擴展并行組合擴頻通信系統多相相移鍵控(MPSK)軟判決調制的實現方式.

1 Walsh 序列及其主要性質

Walsh 函數系是一種歸一化完備正交函數系，有不同的定義方法和排列次序.文中應用的Walsh序列使用Walsh 編號排序，表示為Wal(l)，序列中第i 個碼元表示為Wal(l，i)，其中l 為序列的Walsh編號，l=0，1，…，L-1;i =1，2，…，L;L 為Walsh 序列的階數.Walsh 序列有很多重要的性質，文中僅介紹2 個主要的性質.

性質1 Walsh 序列的乘法定理［5］

式中，r =l⊕h，即r 等于l 和h 的二進制表示式的模2 之和.

性質2 Walsh 序列的均衡搭配性質［7］

2 Walsh 序列的新性質及其推論

2.1 完備Walsh 序列組中3 條序列的列同性

性質3 在L ×L(L≥4)階完備Walsh 序列組中，若從中選取任意不同序列Wal(a)、Wal(b)、Wal(c)，則此3 條序列中必有L/4 列碼元完全相同，即滿足

定義多條序列對齊后同列碼元完全相同的情況為列同性.使用A、B、C 來代表序列Wal(a)、Wal(b)、Wal(c)，且a≠b≠c，其他序列表示方法與此類似.

證明 分3 種情況來討論.

情況1 設a =0，則Wal(a，i)=1，其中i =1，2，…，L.根據Walsh 序列的均衡搭配性質(見式(2))，有

情況3 設a≠0，b≠0，c≠0，且a⊕b⊕c≠0.令f=a⊕bc，根據Walsh 序列的乘法性質可得

將式(6)代入式(5)，得

將式(8)代入式(7)，得到3 條序列的碼元組合列數關系為

因RG(0)=RA(0)+RB(0)+RC(0)=3L，即

將式(10)代入式(7)、(9)，最終得到3 條序列的碼元組合列數為

證畢.

2.2 完備Walsh 序列組中4 條序列的列同性

性質4 在L×L(L≥4)階完備Walsh 序列組中，若從中選取任意3 條不同序列Wal(a)、Wal(b)、Wal(c)，則剩余組中必存在且僅存在1 條序列Wal(d)，使A、B、C、D 序列間有L/4 列碼元完全相同，即滿足

證明 分2 種情況來討論.

(2)若a≠0，b≠0，c≠0，a⊕b⊕c =0，這與(1)中題設條件相同，則4 條序列碼元的組合列數為

(3)用反證法證明唯一性

假設完備Walsh 序列組中存在1 條序列E =Wal(e)，使A、B、C、D、E 間有L/4 列碼元完全相同，a=0，b⊕c⊕d=0.

若A、B、C、D、E 有L/4 列碼元完全相同，結合式(13)，則有=L/4.因b⊕c⊕e≠0，故根據式(11)可得

情況2 (1)若a≠0，b≠0，c≠0，且a⊕b⊕c≠0，則有3L/8.同時，設d=a⊕b⊕c，有

則序列A、B、C、D 的碼元組合列數與序列A、B、C 的碼元組合列數關系如下:

(2)用反證法證明唯一性

設完備Walsh 序列組中存在一條序列E =Wal(e)，使A、B、C、D、E 有L/4 列碼元完全相同，即

若e≠0，設H=A+B+C+D，則H 碼元數為

E 和H 的互相關函數為

根據Walsh 序列間相關性，有REH(0)=0，而求得的REH(0)=L 與此矛盾，故Wal(e)不存在.證畢.

2.3 Walsh 序列列同性的Walsh 編號關系

推論1 在L×L(L≥4)階完備Walsh 序列組中，若從中選取任意不同序列Wal(a)、Wal(b)、Wal(c)、Wal(d)，且這4 條序列之間有L/4 列碼元完全相同，則其Walsh 編號滿足a⊕b⊕c⊕d =0;在完備Walsh 序列組中，若任意4 條不同序列的Walsh 編號滿足a⊕b⊕c⊕d=0，則此4 條序列之間有L/4 列碼元完全相同.

2.4 等幅疊加Walsh 序列的部分相關性

推論2 在L×L(L≥4)階完備Walsh 序列組中，若從中選取任意3 條不同的序列Wal(b)、Wal(c)、Wal(d)，令Z=B +C +D，將Z 按式(18)映射為2條正交的序列X 和Y(RXY(0)=0，xi、yi、zi分別表示序列碼元):

則X、Y 和剩余序列組中任意序列Wal(a)的相關函數有如下關系:

稱此種相關性為完備Walsh 序列組中3 條序列等幅疊加生成序列和原序列組中序列的部分相關性.

證明 分3 種情況來討論.情況1 和2 為a⊕b⊕c⊕d≠0 條件下的討論，情況3 為a⊕b⊕c⊕d =0條件下的討論.

且

故RAY(0)=0.

情況2 設a≠0，b≠0，c≠0，d≠0，且a⊕b⊕c⊕d≠0，則根據性質3 和推論1 可知，必存在一條序列E=Wal(e).令B、C、D、E 有L/4 列碼元完全相同，則b⊕c⊕d⊕e =0，且設P=B+C+D+E.

(1)若e=0，因N(4)P=L/4，N(0)P=3L/4，且A 和P 正交，則

且有

根據式(21)，有

證畢.

3 仿真結果驗證

為驗證完備Walsh 序列組中3 條序列等幅疊加生成序列的部分相關性，用Matlab 軟件進行仿真，L=16 及L =32 時完備Walsh 序列組中等幅疊加序列Z 的部分相關性(ρXW(n)=RXWal(n)(0)/L 和ρYW(n)= RYWal(n)(0)/L，分 別 為RXWal(n)(0)和RYWal(n)(0)的相關系數)仿真結果如圖1 所示.因為分別求Wal(n)與序列X 和Y 的相關值，所以每組數據得到2 幅子圖.所選3 條序列的Walsh 編號分別根據推論2 證明過程中的2 種情況隨機抽取.

圖1 完備Walsh 序列組中3 條序列等幅疊加生成序列映射后的部分相關性仿真結果Fig.1 Partial correlation simulation restults of three superposition sequences in complete Walsh sequence set

圖1(a)中，映射后序列X、Y 和剩余組中任意編號為n(n ≠0，3，4，7)的序列正交，即ρXW(n)=ρYW(n)=0(n≠0，3，4，7).被選序列的Walsh 編號為0、3、4，則000⊕011⊕100 =111，即在完備Walsh序列組4 條序列列同性中第4 條序列的Walsh 編號應為7，故n=7 時，ρXW(7)=0.25，ρYW(7)=-0.75.

圖1(b)中被選編號為3、6、17，在完備Walsh 序列組4 條序列列同性中第4 條序列的Walsh 編號應為20.可見，ρXW(n)=ρYW(n)=0(n≠3，6，17，20)，ρXW(20)=0.25，ρYW(20)=-0.75.

序列X、Y 和參與組成疊加序列的被選序列仍然保有自相關特性，且與其他序號滿足a⊕b⊕c⊕d≠0 的序列正交，而與序號為d =a⊕b⊕c 的序列非正交，故稱此序列Wal(d)為干擾序列.同時可以看出，干擾序列和X 的相關函數絕對值等于疊加序列與X 的自相關函數絕對值，Wal(d)和Y 的相關函數絕對值等于疊加序列與Y 的自相關函數值的3 倍.

4 疊加Walsh 序列部分相關性的應用

4.1 并行組合擴頻通信系統模型

并行組合擴頻通信系統在發射端每k 比特數據串并轉換，然后送入數據序列映射器，在本地的M 個偽隨機序列集{PNi}(i =1，2，…，M)中取出r 條不同的偽隨機序列，同時考慮序列極性qi∈{0，-1，+1}，r 條序列并行傳輸形成組合序列，將該組合序列進行對應碼片的等幅度疊加，形成多值疊加生成序列［8-10］

式中:qi為偽隨機序列i 的選取控制因子，qi=0 表示不選取序列PNi，且qi=0 的取值共有M-r 個，qi= ±1 則表示選取序列PNi或序列PNi的互補形式;j=1，2，…，NT;NT為隨機序列的周期長度.由于并行組合擴頻通信系統中共有CrM 個序列選擇狀態，同時選取的r 條序列有2r個極性狀態，數據序列映射方式為:依據從M 個擴頻序列中選取的r 條序列的狀態來映射k-r 比特數據，采用字典排序映射法［11-12］進一步根據這r 條擴頻序列的極性完成r 比特數據的映射.每次發送的數據量k 可確定為

式中，［* ］表示對* 取整數部分.

接收端有M 個解擴器，在本地偽隨機序列解擴之后，依據序列-數據逆映射算法，從M 個擴頻序列相關器輸出值中選出絕對值最大的r 個，結合它們的極性即可解調出原始發射信息［13-14］.

4.2 Walsh 序列在并行組合擴頻通信系統QPSK 調制中的應用

在并行組合擴頻通信系統中使用Walsh 序列作為被選序列，基帶擴頻后傳輸的是多值序列D(j)，D(j)共有r +1 種取值［15］，當M = L 且r =3時，多值序列D(j)的取值為{±1，±3}.

常規并行組合擴頻信號QPSK 調制接收時只能通過硬判決來解調和解擴，即必須先解調判決出每個擴頻碼碼元數據再進行解擴處理，性能無法達到最優.若按照文中推導的完備Walsh 序列組中3 條序列等幅疊加生成序列的映射關系，可實現系統的QPSK 調制軟判決，即接收端解調時無需先判決出Walsh 序列中每個碼元數據再解擴，而是可以同時進行解調解擴處理.

根據仿真分析可知，接收端的干擾序列Wal(d)和序列Y 的相關函數有如下特征:，若除去干擾序列，則可實現序列X、Y 與本地序列的完備正交.當Eb/N0=1 dB 時，應用圖1(b)中序列實現并行組合擴頻通信系統QPSK 置零軟判決算法的接收端序列的相關系數如圖2 所示.圖2(a)、2(b)分別為I 和Q路解調解擴后的相關值，可見Q路中峰值RYD(0)為干擾序列，相對于其他相關值，干擾序列的相關絕對值較大，故可利用的峰值特性檢測出Wal(d)的編號為20，將I 和Q 路中RXWal(20)(0)和RYWal(20)(0)同時置0，然后相加可得到圖2(c)，則接收的多值序列與編號為3、6、17 的本地序列有較大的相關性，而與其他本地序列正交，即恢復了被選序列和原序列組中序列Wal(n)的完備正交性.

圖2 采用QPSK 調制置零軟判決算法的接收端相關系數Fig.2 Correlation coefficients of receiver using peak removal soft decision algorithm of QPSK modulation

進行上述處理后，從接收的M 組相關值中選擇較大的r 個符號進行逆映射，完成系統信息的接收，實現并行組合擴頻通信系統QPSK 軟判決的解調.

5 結語

文中證明了在L ×L(L≥4)階完備Walsh 序列組中，任意3 條序列對齊后有L/4 列同列碼元完全相同，且在此序列組中必存在第4 條序列，使這4 條序列中有L/4 列同列碼元完全相同.此3 條和4 條序列的列同性反映了完備Walsh 序列組內在的規律性，依據此性質推導出完備Walsh 序列組中4 條序列列同性的Walsh 編號的二進制之和為0，以及3條序列等幅疊加生成序列正交映射后2 條序列和原序列組中固定編號序列仍然正交.文中最后通過Matlab 仿真進一步驗證了等幅疊加序列的部分相關性.

文中還簡要分析了此生成序列的部分相關性在并行組合擴頻通信系統QPSK 軟判決調制的可行性，今后將進一步研究生成序列的部分相關性質在并行組合擴頻通信系統中的其他應用.

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