基于實測資料的內波振幅修正參數＊

陳維亮，陳 標，王 丹，楊繼鐸

（1.海軍潛艇學院，山東 青島266071；2.中國海洋大學物理海洋實驗室，山東 青島266100）

海洋內波是發生在穩定密度層化海洋內部、振動頻率介于浮性頻率和慣性頻率之間的1種波動現象，其最大振幅出現在海洋內部，對自由海面影響較?。?］。在非線性和頻散作用相平衡的情況下，常以內孤立波（Internal Solitary Wave）形式傳播［2］。

目前，內波的波長、波向等信息可以從SAR圖像中獲得［3］，而內波振幅信息一直是內波參數反演的難點。Small等［4］用KdV方程從SAR圖像估計內波的相速度和振幅；Li［5］等在兩層線性模式假定下，依據歷史資料模擬上混合層厚度與內波群速度的關系，同時利用一幅標準模式的SAR圖像所包含的多個內波波群信息，直接計算出內波的群速度，由此得到與群速度最佳匹配的海洋混合層深度；Zheng等［6］在兩層孤立波模型下，使用從SAR圖像上獲取孤立波半波寬度來計算內波振幅。以上內波波長檢測方法比較復雜，內波振幅的反演結果經實測資料檢驗后精度不夠高。

本文將從SAR圖像出發，反演內波波長；然后根據流體動力學方程組導出非線性內孤立波方程，將反演得到的內波波長作為已知量，求解該方程并給出內孤立波表達式［7］，從而得到內孤立波振幅，將所得振幅與實測資料進行比對，提出了1個與波長、水深有關的修正參數，將此修正參數帶回振幅公式，再進行實測資料的檢驗，以驗證參數修正的有效性。

1 內波波長反演

海面粗糙度主要是由重力波、毛細波引起的，能夠引起海面粗糙度分布變化的海洋現象都可以在雷達上成像［8］。內波作為較長的重力波，與短重力波和毛細波相比，振幅較大，本文內波波長的反演是基于各種重力波造成的海表面起伏不同，通過濾波的方式將較小的起伏去掉，反演內波波長。

1.1 SAR圖像提取波長的理論過程

將非線性定形內波的基本方程在Boussinesq近似后加入弱非線性、弱頻散條件，可以得到內孤立波的表面流場，這個流場為［9］

式中：ψ是流函數；W 是本征函數；a0為內孤立波振幅；Cf為非線性相速度；λ為內波特征長度；H 為水深；z為特定深度（z＝0為海面）；A0是1個正常數；θ＝x－Cft是波相位。

根據SAR對內孤立波的成像理論，即

式中：A1是1個正常數。對于下凹孤立波，a0＜0，則

式中：A2是1個關于A1，a0，σ0相關的函數。

圖1是1個下凹內孤立波與歸一化后向散射系數的對應關系圖。圖中實線是用密度躍層位移標示的向右傳播的下凹內孤立波；虛線是Δσ0分布。調制為正時，在SAR圖像上對應于比平均圖像強度亮的條紋；調制為負時，在SAR圖像上對應于比平均圖像強度暗的條紋；調制信號的最大值和最小值所在位置的間距D并不是孤立波的波長，可以根據公式6導出：

圖1 孤立波與歸一化后向散射系數對應關系圖Fig.1 Solitary wave and backscattering coefficient corresponding diagram

1.2 SAR圖像反演波長的運算方法

本文對圖像處理的方法是1種半自動的方法，以2010年7月1日SAR圖像為例，如圖2所示，范圍為111°33′00″E～112°42′23″E，18°55′42″N～20°01′17″N，經向分辨率為13.342 5m，緯向分辨率為12.638 5m。

圖2 SAR圖像Fig.2 SAR image

圖2 右下角有明顯的內波現象，下面將會對這個區域進行圖像處理，即在內波區域取垂直于內波波鋒線的線段（見圖3）本文取5條線段進行后續處理。

圖3 內波區域的圖像處理Fig.3 Image processing area of the internal waves

在取得內波區域的5條線段后，將對5條線短分別進行如下處理：

（1）奇異點的剔除。剔除圖像中一定數量的極大值和極小值點，在剔除奇異點數量不太多的條件下，將不會影響圖像的平滑性。

（2）濾波處理。濾波的標準是：濾掉小振幅波（毛細重力波等干擾波），剩下的是由于海面較大的輻聚輻散引起的雷達歸一化后向散射系數的變化的波動表現，而這就是本文需要的內波的波動形式，濾波前后對比以線段1為例（見圖4、5）。

對比圖4和圖5可以看出，SAR圖像濾波后可以增強圖像的辨識性，清晰的找到內波的空間波動規律。（3）確定波長大小。找出圖5中最大值位置，設為A1，再找出距離A1最近的梯度為0的點，設為A2。

設圖像距離分辨率為dx，根據波長公式可知：

（4）波長平均。由于圖3中5條線段都是取自同1個內波，所以所得波長在理論上是相等的。將5條線分別反演的波長剔除最大值、最小值，剩下3個波長進行平均后可得最終波長。

1.3 SAR圖像反演波長結果

本文提出的SAR反演內波波長方法是基于內波振幅、周期等與其他重力波、毛細波的不同實現的，經過圖3所示取線段的方法后，同時可以得到波向角、波前位置等信息。上述SAR圖像反演波長結果為：

表1 SAR反演波長的結果Table 1 Wavelength from SAR

上述反演方法在可見光反演波長時仍然適用，在可見光反演時要注意取與波峰線垂直的線段時避開云區的干擾。

2 內波振幅反演

內波振幅反演的方法有多種，常見的有兩層模型法［10］和參數化法［11］。本文將采用 Vlasenko［12］提出的參數化浮性頻率公式來反演內波振幅，對于內波相速度和群速度的反演采用的是兩層模式。

本部分將參數化法反演的內波振幅與實測資料進行對比，提出了1個與波長、水深相關的修正系數，并將此修正系數代入振幅方程進行再次反演的檢驗，形成一套科學的閉環結構。

2.1 振幅反演的理論方法

圖6 參數化浮性頻率示意圖Fig.6 Parameterized floating frequency

采用Vlasenko提出的參數化浮性頻率公式：

有邊值問題如下

式中：Ω 為圓頻率；β0（i）是對應本征函數 W（i）（η）的一系列本征值。

采用上述模型可得

式中：H為水深；λ為表面參數反演的波長；γ是非線性參數。

2.2 振幅修正因子

由于求解振幅時進行了近似處理，并且參數化浮性頻率存在一定的局限性，導致振幅反演的結果存在偏差。由實測資料檢驗可知，在淺海時反演得到振幅偏小。

引入1個與水深H和波長λ有關的參數n對振幅進行修訂。

當λ≈H 時，n＝1。

事實上，當水深遠遠小于波長時，理論推導的內波振幅與實驗數據相差較大；當水深與內孤立波長同量級時，KdV方程所給出的內波振幅與內波波長的關系反而能夠很好的描述實驗結果［13－14］。

所以內波振幅將變為：

2.3 實測數據對比

2.3.1 實驗基本信息 本文實測資料來自2009年和2010年南海海上實驗，實測儀器是溫度鏈，實驗位置如圖7所示，坐標為（112°E、19.5°N）

圖7 實驗位置坐標Fig.7 Experimental position

2.3.2 實測振幅計算過程 以2010年7月2日的溫度鏈資料為例，如圖8所示，橫坐標為時間，間隔為1 min，縱坐標為水深，410min后有明顯內波出現，在原來小振幅波動的基礎上，又疊加了1個強烈的內波波動。選取410min之后一段數據（見圖9），此數據要求與SAR的實測時間、實測位置對應。

對此數據進行奇異點去除，濾波等處理后，可以找到每一層的振幅。根據參數化浮性頻率方案所確定的溫躍層位置對應實測資料的垂向特定層，可以找到與SAR反演內波振幅相對應的實測數據的振幅，即實測數據溫越層處振幅。

2.3.3 數據對比 數據對比要求：實測資料與SAR圖像在同一區域、同一時間段。符合上述要求的兩者反演的內波被認為是同一個內波，本文確定了7組符合上述要求的資料，對比結果如表2所示。

表2 反演結果與實測數據對比表Table 2 Comparison table of inversion results and measured data

表2中，NO代表對比實驗標號；DATA是指反演數據的來源：SAR圖像；H為當地水深；λ為反演波長；A為實測數據振幅；a0原始振幅（未加振幅修正參數）；ERR1為對應a0的相對誤差，計算公式為：ERR1＝為加入修正參數n后的振幅；ERR2為對應an0的相對誤差，計算公式為

圖10是對應表1的統計圖，從圖中可以看出：（1）與原始振幅相比，加入參數修正后振幅更加接近實測資料振幅，說明修正參數n能夠大大提高振幅反演的準確性，相對誤差在可接受的范圍內。

（2）修正后振幅圍繞實測振幅上下波動說明修正參數n比例合適，否則將會出現修正后振幅全部大于或者小于實測振幅的情況。

本文用到的實測資料是溫度鏈資料，無法對內波波長進行直接的驗證，但是由于在內波振幅的計算過程中，表面參數是一個很重要的組成部分，在反演振幅精度較高的條件下，波長的反演結果也在可以接受的范圍內。

圖10 反演結果與實測數據對比統計圖Fig.10 Inversion results with the measured data contrast charts

3 結論和展望

本文針對海洋內波參數反演的技術難點，從基本理論公式，基本物理意義出發，結合實測資料驗證，得到以下結論：

（1）提出了一套基于物理意義、操作性較強的海洋內波波長反演方法。

（2）基于參數法反演的內波振幅，在經過實測資料的驗證后，提出了1個與波長、水深相關的振幅修正參數，得到了改進的內波振幅反演方法，實測資料證明：加入參數修正后的內波振幅精度得到了較大提高。

由于受到實測資料和SAR資料的限制，本文存在數據對比量不夠多的缺點；同時由于實測資料的范圍比較固定，使得本文對加入修正參數n后振幅僅在淺水（Hλ）進行了驗證，并取得的較好的結果，用更豐富的資料進行深水區域的驗證將會是下一步繼續討論的內容，也是今后研究的一個方向。

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