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(金陵中學 江蘇南京 210005)
對一道課本例題的深入挖掘
●嚴飛
(金陵中學 江蘇南京 210005)
教材是學生獲得系統知識的主要來源,它在教學中起著不可替代的作用.筆者認為在教學中指導學生對教材中的典型例題進行深入研究、引申推廣,能起到事半功倍的效果:能充分調動學生的積極性與創造性,充分發揮學生的主體作用,引導學生進行探究性學習,并且有利于培養學生的靈活性與變通性,提高學生的思維品質,培養學生的創新意識與實踐能力.
圖1
在蘇教版普通高中課程標準實驗教科書《數學·必修4》“2.2.3向量的數乘”這一節中,課本定義了向量的數乘并給出了向量共線定理,此后安排了一個例題:
這道例題雖簡單,內容卻很豐富,學生也容易證明.但作為教師對這道題的認識不能僅僅停留在這個層面上,通過對這道例題的深入研究可以培養學生的發散思維能力,能讓學生熟練掌握處理有關向量共線問題方法與技巧.
對本例有以下的思考:
還可以得到以下的推論:
推論1和推論2揭示了平面上3個點共線的充要條件;推論3則溝通了向量共線定理與定比分點知識的聯系.其中推論2還可以推廣到空間:
推論4對空間任一點O和不共線的3個點A,B,C,點P與點A,B,C共面的充要條件是:存在實數x,y,滿足
以上結論在解題中有著廣泛的應用.
解法1由已知,得
設C(x,y),則
因為α+β=1,所以
消去β,得點C的軌跡方程為
x+2y-5=0.
或由式(1),得
代入α+β=1即得.
x+2y-5=0.
點評本題考查意圖是解法2,但大多學生用的是解法1,這說明教材中傳統的內容和方法在學生的頭腦中還是根深蒂固的.教師不能僅習慣于用傳統的思維方式去引導學生,這是問題的一個方面;另一方面,教師要對教材的例題進行更深入的鉆研.
圖2
解由點O,C,D共線,知
點評本題有一定的思考難度,充分利用題目中3個點共線的條件并結合推論2可以化難為易.
對教材的深入研究是增加內功的重要途徑,題目千變萬化,解題的過程就是知識組合的過程,但是很多題目都可以在教材中找到原型.只有深入地思考才能有所得,正是鑒于對教材的深入發掘,筆者得到了本文推出的一系列推論,也領悟到一個道理:不思則無,深思則遠,遠思則寬.學生的學習是如此,同樣教師的教學也是如此.只有善于思考,我們的認識才能上升到理性的高度,才能觸及事物的本質.
總之,認真鉆研教材,真正用好課本中已經提供的素材,通過各種不同的處理方法,有的放矢地組織教學,將是一個值得關注和潛心研究的課題.
[1] 單墫.普通高中課程標準實驗教科書(數學·必修4)[M].江蘇:江蘇教育出版社,2012:68-71.
[2] 張定強,趙宏淵,楊紅.高中生數學反思能力培養的基本模式與實踐探索[J].數學教育學報,2008,17⑴:38-42.