例說如何巧“挖”三角問題中的隱含條件

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(鎮海中學 浙江寧波 315200)

例說如何巧“挖”三角問題中的隱含條件

●胡勇

(鎮海中學 浙江寧波 315200)

在解有關三角的問題中，許多學生出現增解和錯解.其原因不是不會解答這些題目，而是沒有充分挖掘隱含條件.如何充分挖掘三角問題中的隱含條件，從哪里“挖”，怎么“挖”，學生往往感到困惑和迷茫.對此，筆者根據自己多年的教學實踐，通過對以下幾個典型例子的剖析，并以此拋磚引玉，談談如何巧“挖”三角問題中的隱含條件.

1 全面深入審題，挖掘題設隱含條件

例1在△ABC中，內角A,B,C所對的邊分別是a，b,c,且sinC=2sinB，求函數

的值域.

(2013年寧波市高三“十?！甭摽紨祵W試題)

而

則

于是

從而

sinC>sinB,

從而

C>B,

得

又因為

所以

正解在△ABC中，因為sinC=2sinB>0，所以

sinC>sinB.

又因為

所以

從而

得

于是

2 掌控解題過程，挖掘轉化隱含條件

例2若3sin2α+2sin2β-2sinα=0，則cos2α+cos2β的取值范圍是

( )

(2013年浙江省鎮海中學《數學(必修5)》模塊評價考核試題)

cos2α+cos2β= 2-sin2α-sin2β=

又因為

|sinα|≤1，

所以

故選A.

cos2α+cos2β= 2-sin2α-sin2β=

故選D.

3 審視解題結果，挖掘題目隱含條件

例3已知0<α<β<γ<2π,且sinα+sinβ+sinγ=0，cosα+cosβ+cosγ=0，則β-α的值為________.

(2013浙江省鎮海中學《數學(必修4)》“三角恒等變換”單元練習題)

錯解由條件得

sinα+sinβ=-sinγ，cosα+cosβ=-cosγ，

兩式平方相加，得

2+2cos(α-β)=1，

于是

則

正解由條件得

sinα+sinβ=-sinγ，

cosα+cosβ=-cosγ,

兩式平方相加，得

2+2cos(α-β)=1，

于是

則

這與題設條件矛盾.于是

以上是筆者總結的在處理三角問題中對隱含條件挖掘應該注意的地方.我們只要在解三角問題過程中引導學生注意到以上3個方面，并能夠舉一反三，且在解題的審題、解答過程和結果等各個環節都具有挖掘隱含條件的意識，就能夠大大提高解三角問題的準確性、嚴密性和嚴謹性，進而發展智力、鍛煉思維、提高能力.

[1] 胡勇.一個不容忽視的問題——隱含條件的挖掘[J].數學通訊,2002(14/16):83.

[2] 波利亞.怎樣解題[M].涂泓,馮承天,譯.上海:上?？萍冀逃霭嫔?2002:35-38.

[3] 戴再平.數學習題理論[M].上海:上海教育出版社,1991:147-161.