“學”與“說”：數學思維的演繹課堂
——談“三角形內切圓”的教學

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(江北區綠梅中學 浙江寧波 315000 ) (柯城區巨化中學 浙江衢州 324004)

“學”與“說”：數學思維的演繹課堂
——談“三角形內切圓”的教學

●許土花●程陽清

(江北區綠梅中學 浙江寧波 315000 ) (柯城區巨化中學 浙江衢州 324004)

《初中數學課程標準》指出：學生是教學活動的主體，教學活動的開展是師生積極參與互動的過程，有效的教學活動更是學生的學與教師的教的有效統一.教學本身應該是“慢的藝術”，數學知識的發生發展需要學生去經歷、去體會，也需要教師去理解、去感受學生存在的多樣性與多面性.正是這些體現學生思考的東西才是數學課堂中教學生成的重要體現，是教師促進課堂效率，提升學生數學能力的空間.

而要了解知識在學生思維中如何發生發展，就需要學生用“說”來顯性體現，這樣也讓學生之間的思維發展得以生成，產生新的思維火花.不同的思考與理解、相互間的對錯關聯，“說”出來才能得到知識的升華.筆者在九年級下學期的“三角形內切圓”教學中，搭建這樣的平臺放手讓學生去“說”，充分展現學生多角度的思考過程，促進了學生的主動探索，提高了學生學習水平和數學思維能力.如何放手讓學生“說”，“說”到什么程度，“說”到什么層面，以本課為例談談筆者的想法.

1 置疑——激發學生“說”的欲望

引課設問(1)有一個三角形，現要用一個圓形紙片來覆蓋它，盡可能使紙片最小，請說明圓形紙片如何確定?

(2)有一個三角形，現要在三角形內裁出一個圓，且使圓的面積最大.

圖1有幾種設計，請同學們幫忙確定？

設計意圖浙教版初中數學九年級下冊教材中的“三角形內切圓”，引課用合作學習“從一塊三角形上裁下一個半徑盡可能大的圓來做玻璃圓桌的桌面，應該怎樣畫出裁剪圖形呢？”其設計意圖是：由這個實際問題引入本課內容，加強學生對所學內容必要性的認識，有利于創設良好的學習情境.

筆者基于教材的設計理念,在引入環節設計了第(1)問,這樣的安排可以使課堂氣氛更加活躍,通過2次不同的實驗對比,使學生形成認知沖突,激發學生主動觀察與思考,激發學生“說”的欲望,也激發學生自我探究的欲望，激活學生的數學思維.

2 觀察——引導學生如何“說”

導課設問(1)怎樣才能裁得最大圓，請觀察：這時圓與三角形邊的位置關系？

(2)三角形和圓各邊相切，圓心在哪里？

(3)怎么找到這個圓的圓心與半徑？

設計意圖通過讓學生觀察、思考教學活動,激發學生的學習興趣,使其主動觀察并結合上節課學習的“直線與圓的位置關系”.學生很容易進入思考的狀態,在教師積極引導設問下,學生學會了如何“說”，引出課題“三角形內切圓”.

導課思考再次引導學生觀察、思考:假設三角形的內切圓圖已畫好(在分析作圖題時,常假設圖形已經畫好,這樣有直觀借鑒,給分析思考帶來方便).

(1)如圖2，若⊙O與△ABC的各邊相切，那么圓心O的位置有什么特點？

(2)怎樣確定與三角形的3條邊都相切的圓心位置？怎樣確定半徑的長？

(3)與一個三角形3條邊都相切的圓有幾個？

設計意圖放手讓學生自己動手畫,讓學生“說一說”內切圓的作法.

觀察圖中圓和三角形3條邊的位置關系，嘗試讓學生“說一說”三角形內切圓的概念及性質？

觀察圖2和圖3“說一說”:(1)名稱;(2)確定圓心的方法;(3)各自的性質.

設計意圖觀察是提出問題、獲取知識的首要步驟，在觀察過程中進行適當的引導.理解三角形內切圓及圓的外切三角形的概念，引導學生采用類比的方法與三角形的外接圓及圓的內接三角形概念作比較.讓學生暢所欲言，盡情地“說”，在說的過程中學生掌握了基礎知識和基本技能，提高了解決問題的能力，也使數學思維得到發展.

3 放手——給學生“說”的權利

教師導語學習數學知識，就是為了解決實際問題.數學來源于生活，又應用于生活，讓我們來解決一個實際問題.

問題1(課本例1)一個木模的上部是圓柱，下部是底面為等邊三角形的直三棱柱.圓柱的下底面圓是直三棱柱上底面等邊三角形的內切圓.已知直三棱柱的底面等邊三角形的邊長為3 cm，求圓柱底面圓的半徑.

(1)已知圖形(課本圖)是一個立體圖，根據本題的題設和所求，你認為只要畫出三視圖中的哪一個視圖，就能說明問題？

(放手嘗試讓學生自己抽象俯視圖.)

(2)課本圖中的⊙O與△ABC有何關系？怎樣作出⊙O的半徑？

(3)要計算半徑OD的長，需要構造怎樣的三角形？怎樣添加輔助線？

(4)AO與∠BAC有何關系？AD與BD相等嗎？根據什么？由Rt△AOD可求解嗎？

問題2正三角形的內切圓：如圖4，⊙O是正△ABC的內切圓，D，E，F是切點，若正△ABC的邊長為6，

(1)求此內切圓的半徑長;

(2)求正△ABC的面積.

圖4 圖5

問題3如圖5，觀察正△ABC的內切圓和外接圓.

(1)你有什么發現(2個圓的位置關系如何)？

(2)試求正△ABC的內切圓和外接圓半徑之比.

圖6

問題4如圖6，觀察正六邊形ABCDEF的內切圓和外接圓.

(1)你有什么發現(2個圓的位置關系如何？)

(2)試求正△ABC的內切圓和外接圓半徑之比.

設計意圖步步設問,以“問”啟“思”,從而促“說”，給學生“說”的權利讓學生“說”題.“說”題是一種講解性理解，有助于提高學生的審題、析題能力.放手讓學生說解題思路、方法、過程以及解題的經驗體會、解題的注意事項等，提供對解決問題有針對性地“說”的一個空間.

4 釋疑——提升學生“說”的品質

問題5如圖7，⊙O是△ABC的內切圓，D，E，F是切點，設內切圓的半徑為r，△ABC的3條邊AB，BC，CA的長分別為a，b，c，則S△ABC=______.

圖7 圖8

教師導語(1)三角形周長l如何計算？

(2)運用三角形內切圓的定義及切線的性質分析：AE與AF,BE與BD,CD與CF分別有什么關系?你能證明嗎?

設計意圖在這個教學環節，讓學生自己說給自己聽，再在同伴間互相說，然后在小組內說，接著小組之間交叉說，最后面向全班學生和老師說.這樣設計，讓學生對自己感覺已經掌握的內容，在同學間說的過程中產生新的疑惑，然后在小組中說會產生新的思想方法，層層環節之后，教師對學生的“說”作個總結，提升到數學方法論上來.

問題7如圖9，頂點與切點間的線段長與三角形3條邊的關系：⊙I切△ABC的3條邊于點D,E.F(注：讓學生討論,派代表“說”),則

圖9 圖10

“說”是課堂交流的一種重要方式，但“說”要能說出思想，說出思維的火花，說出能促進個體對知識的理解反思，這樣“說”就促進了“學”.有一種好方法叫“放手”，給學生思考的余地，給學生思考的空間，真正把課堂還給學生.當然這一定要立足于課本，立足于課標，不能盲目而亂“說”，不能就題而說，不能就想而說，而是要在教學目標的基礎上“說”，從而“說”出數學的思維.

既然數學是思維的體操，學生的“說”就是學生對數學思考的一種演繹，即在課堂中口頭的表述，是學生展現自己的所學、所知、所惑.“言”為心之聲，教師針對學生的“說”即時地有針對性釋疑、引導，并不斷層層遞進，提升學生“說”的品質，不僅鍛煉了學生的思維，而且上升到了學習數學知識的思想方法論上來，這何嘗不是數學課堂所追求的一種高度？

[1] 章建躍.讓學生在幾何學習中學會認識和解決問題的方法[J].中學數學教學參考：中旬，2013(1/2):3-6.

[2] 劉東升.讓學生在“講題”中提高數學能力[J].中學數學教學參考：中旬，2011(7):7-9.

[3] 趙齊猛.一次意猶未盡的“數學活動”[J].中國數學教育，2009(11):23-26.