問題鏈驅動下的探究式教學
——“任意角的概念”教學設計評析

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(小海中學 江蘇南通 226015)

問題鏈驅動下的探究式教學
——“任意角的概念”教學設計評析

●黃鋒

(小海中學 江蘇南通 226015)

三角函數是描述周期現象的重要數學模型，三角函數一章的研究，從具體問題入手，以問題為背景，體現了“問題情景―建立模型―解釋、應用與拓展”的過程．“任意角”是三角函數的第一課，是在銳角、直角、鈍角，平角、周角的基礎上，對角的概念進一步推廣.本節課需要解決好以下幾個問題：首先是推廣角概念的必要性；其次是正角、負角、零角、象限角、軸線角以及終邊相同的角等概念建構的自然性、合理性；再次是對終邊相同角的集合的表示及判斷象限角等知識運用環節中難點處理的巧妙性．理解任意角的概念，會在平面內建立適當的坐標系，通過數形結合來認識角的幾何表示和終邊相同角的表示，是學好本課的關鍵．

為了調動學生的學習興趣，本節課從學生熟悉的生活情境入手.為了使學生能夠輕松地理解看似零碎的概念，本節課借助類比，引導學生觀察、思考并感悟概念的本質.為了使學生深刻理解難點，本節課借助生活中的時鐘模型，通過設疑來激發學生的思維，通過學生自己動手、體會、歸納，從而解決難點．整節課以問題鏈的形式展開，通過層層設問，引導學生自主發現問題，自主解決問題；學生探究性學習活動貫穿于整個解決問題的始終.本文主要從3個方面結合教學設計來談談筆者對“任意角的概念”教學實施過程中的一些認識.

1 優化數學情境，自然引出課題

課堂教學中，教師有目的、有意識地引入或創設具有一定情緒色彩、以形象為主體的、生動具體的情境，可以使所有的學生都參與到數學學習中來，激發每一個學生的學習熱情和學習興趣，幫助學生更好地理解教材.本課教學安排了學生非常熟悉的摩天輪的例子，具體內容如下：

情境游樂園是人們愛去的地方，各種神奇的游戲器械吸引著人們去玩耍，高大的摩天輪繞軸轉動著，邊緣上懸掛的座椅，帶著游人在空中旋轉，給游人帶來樂趣！星期天小明的父母帶小明到游樂園玩，父母讓小明獨自一人乘坐摩天輪(摩天輪20分鐘轉一圈)，而父母分別站在摩天輪的2側.

問題1小明坐上最底部的一個座椅，第5分鐘時，摩天輪轉動多少角度？第10分鐘呢？第1次回到起點時呢？第2次回到起點時呢？

問題2720°是怎樣的一個角呢?

問題3小明的父母看到摩天輪轉動的方向一致嗎？

問題4在實數中，具有相反意義的量是如何表示的？

問題5在旋轉形成的角中，如何刻畫具有相反意義的角呢？

設計意圖問題1為了引出學生熟悉的直角、平角、周角以及720°角，其中720°角已經超出了0°～360°的范圍.問題2起著回顧小學、初中角的定義的作用，引導學生從“靜態”和“動態”2個角度思考，重點落在本質“轉”上，為后續學習作鋪墊.問題3幫助學生體會到：考慮旋轉所成的角還應考慮方向.通過上述問題可使學生感悟到角的概念有必要做進一步的推廣(板書課題).問題4和問題5引導學生類比正、負數，從而將角的概念推廣到任意角，即正角、負角和零角.

2 巧設數學問題，合理展開探究

新課程倡導教師開展探究性教學，鼓勵學生自主參與學習活動，通過親身體驗，不斷質疑，逐步形成勤于動手、樂于探究、努力求知的積極態度.數學的探究性活動，往往是圍繞一個實際問題展開.為了能夠有效地開展探究性教學活動，本課圍繞教學主線，輔助問題鏈，引導和鼓勵學生自主發現問題，自主地探究，設計解決問題的方案，從而自主解決問題.主體教學過程如下：

2.1 巧妙設計教學思路，提煉課堂的教學主線

教學主線:情境→概念→模型→建構→應用→類比理解→拓展.

2.2 巧妙利用生活經驗，激發學生的參與熱情

(1)請學生們說說，生活中還有哪些與角的旋轉相關的實例？

(2)以學生們非常熟悉的時鐘為研究對象.

問題6若時間慢了25分鐘，則校對時間后，分針旋轉形成的角為多少？

問題7若時間快了10分鐘，則校對時間后，分針旋轉形成的角為多少？

問題8若以分針在3點時刻為起始邊，旋轉90°后，角的終邊在什么位置？

問題9在問題8的基礎上，再旋轉-30°后，角的終邊在什么位置？

問題10情境中的直角、平角、周角是象限角嗎？

設計意圖以學生的生活經驗為基礎，提出問題，學生的熱情一下子被激發起來，答案也多種多樣.如：時鐘、車輪、音量旋鈕、排氣扇、剪刀、扳手、體操、跳水等都是旋轉形成正、負角很好的例子.時間快慢的校準可以幫助學生進一步強化按逆時針方向旋轉形成的是正角，按順時針方向旋轉形成的是負角.另一方面，旋轉要確定起始邊和終邊.為了研究問題的方便，我們引入平面直角坐標系，將角的頂點放在坐標原點，起始邊放在x軸正半軸上，從而終邊(除頂點外)在哪個象限，就稱這個角為第幾象限角，終邊落在坐標軸上的角稱為軸線角.

2.3 巧妙組織課堂活動，提升學生的思維水平

若以時鐘的分針為研究對象，分針在3點時刻的位置作為起始邊，你能否轉出60°角？在60°角的基礎上，請轉出下列角：420°,780°,1 140°,-300°,-600°.完成下列填空題，并回答相應問題.

420°=60°+______360°，

780°=60°+______360°，

1 140°=60°+______360°，

-300°=60°+______360°，

-600°=60°+______360°.

問題11根據上述經驗，與60°角終邊相同的角β可以表示為______.

問題12與任意角α終邊相同的角β可表示為______.

結論一般地，與角α終邊相同的角的集合為β|β=α+k·360°,k∈Z.

設計意圖通過學生自己動手實踐，邊動手、邊思考、邊歸納，感知420°,780°,1 140°,-300°,-600°角都是與60°角終邊相同的角，它們之間相差360°的整數倍.通過設疑來激發學生的思維，讓學生體會從具體到抽象、從特殊到一般，逐步歸納得出一般性結論.

2.4 巧妙設計數學例題，培養學生的數學能力

例1寫出與下列角終邊相同的角的集合，并在0°～360°范圍內，找出與之終邊相同的角.

(1)650°;(2)-150°;(3)-990°15′.

問題13你能判斷上述各角是第幾象限角嗎？

問題14290°是第幾象限的角？

設計意圖例1在教材的基礎上增加了寫出終邊相同角的集合的過程，目的是幫助學生快速找到思路，通過問題13強化判斷象限角的方法.問題14的目的是引入“形”，從形的角度理解找終邊相同的角和判斷象限角的方法，即順時針、逆時針旋轉幾個整數圈的問題.

設計意圖教材中采用代數方法處理例2，利用代數方法求解，需要分奇數、偶數討論，學生不易理解.這里可以借助問題引導學生從“形”的角度思考，問題如下：終邊相同的角的集合公式中與k相乘的角的度數是“360°”，而這里是“180°”，他們有什么區別和聯系呢？學生從形的角度，理解了轉一圈和半圈后，問題就迎刃而解了.

思考題(1)終邊落在x軸上的角的集合如何表示？

(2)終邊落在坐標軸上的角的集合如何表示？

設計意圖從正、反2個方面思考問題，進一步加強對圖形本質的理解.

3 反思教學內容，提升探究能力

(1)知識結構：

(2)探究方法：類比、歸納、猜想、驗證.

(3)拓展探究：請利用互聯網搜集與角的概念有關的數學故事，并相互交流.