一種基于BFGS算法的二次規劃控制分配算法

張寧, 章衛國, 李廣文

(西北工業大學 自動化學院, 陜西 西安 710129)

一種基于BFGS算法的二次規劃控制分配算法

張寧, 章衛國, 李廣文

(西北工業大學 自動化學院, 陜西 西安 710129)

針對多操縱面飛行器的控制分配問題,提出了一種基于BFGS算法的控制分配策略。該分配策略克服了不動點迭代算法分配時舵面容易飽和的缺點。為驗證BFGS分配策略的可行性和有效性,以某型戰斗機為研究對象,進行了控制分配和重構仿真。仿真結果表明,該分配策略能將飛行指令在舵面飽和范圍內合理地分配在各個舵面上。

飛行控制; 控制分配; 不動點迭代法; BFGS算法

0 引言

隨著現代航空技術的發展,第四代戰斗機對隱身性、超聲速巡航、高機動性和敏捷性等多方面性能提出了更高的要求。在這種背景下,采用先進高效的多操縱面氣動布局已經成為未來戰斗機和其他飛行器的發展方向,因此現代戰斗機普遍采用了多操縱面氣動布局。這導致飛機操縱面的控制和組合方式不再唯一,從而產生了控制分配問題。

近年來,為了將飛行指令合理、有效地分配到各個操縱面上,科研人員提出了多種控制分配方法[1],如直接幾何法、偽逆法、串接鏈法[2]、規劃型算法等。直接幾何法意義明確,可以實現在整個轉矩可達集內求解,但是算法復雜,實時性差;偽逆法和串接鏈法運用得最為廣泛,但是它們沒有考慮操縱面的飽和限制,容易引起舵面飽和,并且分配效率低下,無法充分發揮多操縱面飛機的先進氣動布局優勢；規劃型算法可以在整個轉矩可達集內搜索最優解,能充分發揮飛機的氣動潛能。

BFGS 算法[2]是一種基于牛頓迭代法的改進算法,它具有二階收斂速度、自適應度高、收斂性好以及計算量小的特點,適合解決控制分配問題。本文將控制分配問題轉化為二次規劃問題加以求解[3],二次規劃問題常用不動點法進行求解,雖然不動點法可以通過簡單迭代來求解二次規劃,但是不動點法迭代結果對初值敏感,并且所得到的結果容易使舵面飽和。舵面飽和是控制分配中一個必須重視的問題,它會導致飛機在飛行中自身狀態調節能力變差,舵面輸入能量大,還容易導致舵面卡死等,所以必須予以重視。針對偽逆法分配效率低和不動點迭代容易舵面飽和的缺點,本文提出了一種基于Armijo搜索準則和BFGS算法相結合的控制分配策略,在整個轉矩可達集內搜索最優舵面組合來提高分配效率。

1 控制分配問題描述

假設飛機機動所需的力矩為v(t)∈Rm,舵面輸入為u(t)∈Rn,給定控制輸入為u(t)。實際輸入與期望控制力矩的映射可以表示為f:Rn→Rm(n>m)。操縱面與期望力矩之間的線性關系可以表示為[4]:

2 基于BFGS算法的控制

針對偽逆法分配效率低下以及不動點迭代法求解二次規劃初值敏感和迭代精度問題,本文采用基于Armijo 搜索準則和BFGS 算法相結合的方法進行二次規劃問題求解。BFGS算法的基本思想是用迭代點uk處的一階導數(梯度) 和二階導數(Hesse陣)對目標函數進行二次函數近似, 然后將二次函數的極小點作為新的迭代點, 并不斷重復這一過程, 直至求得滿足精度的近似極小點。

設f(u)的Hesse 陣G(u)=2f(u)連續, 截取其在uk處的泰勒展開的前三項得到:

式中，fk=f(uk),gk=f(uk),Gk=2f(uk)。

求二次函數fk(u)的穩定點,得fk(u)=gk+Gk(u-uk)=0,若Gk非奇異,那么解上面的線性方程組(記其解為uk+1) 即得牛頓法的迭代公式

雖然牛頓迭代公式最突出的優點是具有不低于二階的收斂速度,但是該算法要求目標函數的Hesse陣Gk=2f(uk)在每個迭代點xk處是正定的,否則難以保證牛頓方向dk=-Gk-1gk是f在uk處的下降方向。特別地,當Gk=2f(uk)奇異時, 算法就無法繼續進行下去。此外,每一步迭代都需要目標函數的二階導數, 即Hesee陣, 對于大規模問題,其計算量是驚人的。所以BFGS算法用近似矩陣Bk取代基本牛頓法中的Hesee陣Gk。

本文采用Armijo搜索最優解,但Armijo搜索一般不能保證矩陣序列{Bk}的對稱正定,因此為了保證{Bk}正定,本算法采用的Bk校正公式如下:

式中,yk=gk+1-gk為梯度差;sk=uk+1-uk為位移。

有如下定義:

Sat(u)=

采用Armijo搜索準則和BFGS算法相結合的控制分配算法步驟如下:

Step1:給定參數δ∈[0,1],σ∈[0,0.5], 終止誤差0≤ξ≤1,初始對稱正定陣B0(通常取為單位陣En)。 令k=0。

Step2:對于迭代初值的選擇采用偽逆法求出,初始點u0=B+v必然為控制分配問題的一個可行解,減少了計算量。

Step3:計算gk=f(uk)。若‖gk‖≤ξ, 停止計算, 輸出u*≈uk為近似極小點;否則繼續下一步。

Step4:解線性方程組得解dk:Gkdk=-gk。

Step6: 由校正公式確定Bk+1。

Step7: 令k=k+1, 轉Step3。

3 仿真結果與分析

為了驗證上文提出的Armijo搜索準則和BFGS算法相結合的控制分配算法的有效性,采用本方法對某多操縱面飛機的線性化數學模型進行了故障情況下的仿真,飛機模型如下:

Bu=BvG

式中,狀態變量為:x=[ΔV,Δα,Δβ,Δp,Δq,Δr,Δψ,Δθ,Δφ]T,分別為速度、迎角、側滑角、滾轉角速率、俯仰角速率、偏航角速率、偏航角、俯仰角及滾轉角增量;控制量為:u=[Δδcl,Δδcr,Δδel,Δδfl,Δδfr,Δδer,Δδr]T,分別為左鴨翼、右鴨翼、左副翼、左后緣襟翼、右后緣襟翼、右副翼、方向舵偏量；虛擬控制量為:v=Gu=[Cl,Cm,Cn]T,虛擬向量由滾轉力矩、俯仰力矩、偏航力矩組成,G為舵面的效率矩陣[5]。

在高度為3 000 m,Ma=0.3時,舵面的效率矩陣為:

各個執行器的位置限制如下:

-30°,-30°,-25°]T

為了便于故障診斷和重構,將控制律和分配律分開設計,這樣做的優點是如果某一操縱舵面產生故障,那么只需要對故障進行分析,通過調整分配律或者修改控制效率矩陣，而不需要對控制律作出大的修改。多操縱面飛機飛行控制系統的結構如圖1所示。

圖1 多操縱面飛機飛控系統結構圖Fig.1 Flight control system structure of aircraft with multiple effectors

在使用相同的控制律參數和優化函數f(u)=min[(1-λ)(Bu-v)TQ1(Bu-v)+λuQ2u]的前提下,對舵面損傷[6]情況下分別采用不動點迭代法和BFGS算法進行重構仿真。

在左副翼損失70%控制效能的情況下,采用BFGS算法、不動點迭代法重構,姿態角和各個舵面偏轉情況如圖2～圖11所示。

從仿真結果可以看出,在飛機左副翼發生故障的情況下,采用BFGS算法和不動點迭代算法進行控制分配重構時,在指令跟蹤曲線過程中俯仰角的過渡時間為1 s,滾轉角的過渡時間為1 s,偏航角的過渡時間為0.8 s,都很好地跟蹤上了指令,但不動點迭代法的舵面出現了飽和,舵面偏轉總和較BFGS算法大,而BFGS通過其他舵面重構跟蹤了指令,舵面很少出現飽和;另外，采用不動點迭代法時俯仰角指令跟蹤過程中出現較大超調。因此BFGS算法比不動點迭代法解決控制分配問題更有效，采用BFGS分配策略可以提高飛機的重構能力、安全性和機動性能。

圖2 俯仰角曲線Fig.2 Pitching angle curves

圖3 滾轉角曲線Fig.3 Rolling angle curves

圖4 偏航角曲線Fig.4 Yaning angle curves

圖5 左鴨翼曲線Fig.5 Left canard wing curves

圖6 右鴨翼曲線Fig.6 Right canard wing contrast

圖7 左副翼曲線Fig.7 Left aileron curves

圖8 左后緣襟翼曲線Fig.8 Left trailing edge flap curves

圖9 右后緣襟翼曲線Fig.9 Right trailing edge flap curves

圖10 右副翼曲線Fig.10 Right aileron curves

圖11 方向舵曲線Fig.11 Rudder curves

4 結束語

本文基于BFGS算法控制分配策略在整個轉矩可達集內進行尋優,減少了舵面的飽和。因此BFGS算法能很好地解決控制分配問題,但缺點是Armijo搜索運算時間較長,采用更為有效的搜索策略是本算法的一個改進方向。

[1] 占正勇,劉林.多操縱面先進布局飛機控制分配技術研究[J].飛行力學,2006,24(1):13-16.

[2] 劉建國,葛仁東,夏尊銓,等.非凸函數極小問題的BFGS算法[J].運籌與決策,2004,13(2):62-65.

[3] Jiyeon Kim,Inseok Yang,Dongik Lee.Accommodation of actuator faults using control allocation with modified daisy chaining[C]//Control,Automation and Systems (ICCAS),11th International Conference.Gyeonggi-do,2011:717-720.

[4] 馬建軍.過驅動系統控制分配理論及其應用[D].長沙:國防科學技術大學,2009.

[5] 史靜平.先進飛機多操縱面控制分配方法研究[D].西安:西北工業大學,2009.

[6] 崔玉偉,章衛國,李廣文,等.基于線性規劃的多操縱面重構控制研究[J].飛行力學,2011,29(2):41-44.

AmethodofquadraticprogrammingcontrolallocationbasedonBFGSalgorithm

ZHANG Ning, ZHANG Wei-guo, LI Guang-wen

(College of Automation, NWPU, Xi’an 710129, China)

This paper presents a method based on Boyden Fletcher Goldfarb Shanno(BFGS)algorithm to solve the control allocation problem of multi-effector aircraft. This control allocation strategy can reduce the saturation of effectors calculated by fixed-point method. In order to demonstrate the feasibility and validity of BFGS control allocation strategy, the control allocation and reconstruction simulation are conducted with a fighter as the research object. The results show that the allocation command can be properly distributed on each surface within the saturation range.

flight control; control allocation; fixed-point method; BFGS algorithm

V249.1

A

1002-0853(2013)06-0508-04

2013-03-21;

2013-06-16; < class="emphasis_bold">網絡出版時間

時間:2013-10-22 14:14

航空科學基金資助(20125853035)

張寧(1987-)，男，陜西韓城人，碩士研究生，研究方向為飛行控制和控制分配。

(編輯：姚妙慧)