矩估計法的若干問題討論*

王宗堯，姜紅燕，朱紅波

（淮陰工學院數理學院，江蘇 淮安223003）

1 矩估計法的基本思想及理論依據

矩估計法是最古老的求估計的方法之一，它是由英國統計學家K.Pearson 在1900年提出的.其基本思想是用樣本矩及其函數估計相應的總體矩及其函數，理論依據是辛欽大數定律.

定理1［1］（辛欽大數定律）設隨機變量X1，X2，…，Xn，…相互獨立，服從同一分布，且具有數學期望E（Xi）=μ（i=1，2…），則對于任意正數ε，有:

辛欽大數定律告訴我們，樣本1 階原點矩依概率收斂于總體1 階原點矩.

定理2［2］設隨機變量X1，X2，…，Xn，…相互獨立，服從同一分布，且具有數學期望E（）=μk（k=1，2，…），則對于任意正數ε，有:

由定理2 可知，樣本k 階原點矩依概率收斂于總體k 階原點矩.這樣，樣本k 階原點矩是總體k 階原點矩的相合估計.根據依概率收斂的序列的性質，可以得到，其中g為連續函數，.因此樣本k 階原點矩的函數也是總體k 階原點矩的函數的相合估計，故矩估計一般都具有相合性.所以矩估計法在統計學中具有廣泛的應用.

2 矩估計的方法及計算步驟

用樣本k 階原點矩作為總體k 階原點矩的估計量，建立含有待估參數的方程并解出待估參數.一般分布中有幾個未知參數，就求到幾階矩.例如:

例1 設總體X 的數學期望μ和方差σ2都存在，試求μ，σ2的矩估計量.

解 設X1，X2，…，Xn為總體X 的樣本，由題設:

解得μ=μ1，σ2=μ2－.用A1，A2分別替換式中的μ1，μ2，即求得μ，σ2的矩估計量:

3 矩估計法的優點及不足

矩估計法的優點非常明顯，簡單易行，眾人都能接受，使用場合甚廣，且在總體分布未知時也可使用，如上述例1.一般來講，若總體中的未知參數有k 個，則要求總體的前k 階矩存在.當然，矩估計法的不足也有很多，本文在文獻［3］的基礎上，進行更加具體深入的討論如下.

1）矩估計有時會得到不合理的解

例2［4］設總體X 服從區間［0，θ］上的均勻分布，其中θ ＞0 是未知參數，求θ 的矩估計量.

解 設X1，X2，…，Xn為總體X 的樣本，由題設:

若抽取了一個容量為3 的樣本，觀測值分別為1，2，9.代入到后可得=8，，即總體X 服從區間［0，8］上的均勻分布.這樣，樣本值都應在區間［0，8］中，它們取值的上界不應超過8.但注意到樣本觀測值中的9 已落在［0，8］外，這顯然是不合理的.這道題里，未知參數出現在總體所有可能取值的邊界上，即未知參數界定了總體取值的范圍.這一類問題稱之為門檻參數問題.對于這類問題，一般來說用矩估計法求出的參數估計量往往不太合理.用極大似然估計法可以有效解決此類問題.

2）矩估計量不惟一

例3 設總體X 服從指數分布，密度函數為f（x）=λe－λx（x ＞0），求λ 的矩估計量.

解 設X1，X2，…，Xn為總體X 的樣本，由題設:

當矩估計不惟一時，涉及到的矩的階數應盡可能小，從而對總體的要求也盡可能少.常用的矩估計一般只涉及一、二階矩.當然，有時總體的一階矩雖然存在，但是不含有待估參數，這時就要計算總體的二階矩了（見例題4）.

解 設X1，X2，…，Xn為總體X 的樣本，由題設:

不含待估參數θ，為此，又有:

3）矩估計法不一定可行

矩估計法在使用時要求總體的k 階矩存在（這里k 小于等于待估參數的個數）.然而有些分布的總體矩并不存在，這樣矩估計法就失效了.例如柯西分布的概率密度為，總體的各階矩皆不存在，因此不能用矩估計法來估計參數θ.事實上，柯西分布概率密度更一般的形式為:

柯西分布以數學期望和方差均不存在而著名.

4 有關矩估計法的兩點說明

1）如前所述，矩估計法的基本思想是用樣本矩及其函數估計相應的總體矩及其函數，這里的矩是原點矩.然而由于總體的k 階中心矩

總可以展開成總體的不超過階的原點矩的函數，而樣本的k 階中心矩

可展成樣本不超過k 階原點矩的同樣函數，因此可以用樣本的k 階中心矩作為總體k 階中心矩的估計量.例如前面的例1，要估計總體的方差σ2，也即總體的二階中心矩，就可以用樣本二階中心距來估計σ2，即:

這個結果和前面是一樣的.因此矩估計法的基本思想可以重新闡述成“用樣本k 階原點矩（或中心矩）及其函數估計相應的總體k 階原點矩（或中心矩）及其函數”.上述例3 中，由于總體二階中心矩，故可以用樣本二階中心距來替換D（X），從而得到λ 的又一個矩估計.

2）當矩估計不惟一時，就必須對這些估計的好壞給出評價標準.有一個基本標準是所有的估計都應該滿足的，它是衡量一個估計是否可行的必要條件，這就是矩估計的相合性.前面已經提到，矩估計一般都具有相合性.在這個基礎上，評價一個點估計的好壞使用的度量指標總是點估計值與參數真值θ 的距離的函數，由此可以得到均方誤差MSE（）=E（－θ）2的概念.自然，我們希望估計的均方誤差越小越好.然而，可以證明:使均方誤差一致達到最小的最優估計是不存在的.所以，通常是先對估計提出一些合理性要求，然后在滿足這種合理性要求的估計類中尋找好的估計.無偏性便是一種最常用的合理性要求［5］.如果是θ 的無偏估計，則MSE（）=D（），此時用均方誤差評價點估計與用方差是完全一樣的，這也說明了用方差考察無偏估計有效性是合理的.當不是θ 的無偏估計時，就要看其均方誤差.當然，在均方誤差的含義下，有些有偏估計優于無偏估計［6］，這里不再贅述.

［1］郭躍華，朱月萍.概率論與數理統計［M］.北京:高等教育出版社，2011:132.

［2］范光，李廣明.矩估計法的理論注釋［J］.十堰職業技術學院學報，2012，25（1）:98－100.

［3］張永利.矩估計的基本原理及其解題方法［J］.巢湖學院學報，2005，7（3）:47－49.

［4］夏寧茂，秦衍，倪中新.新編概率論與數理統計［M］.上海:華東理工大學出版社，2006:179－181.

［5］茆詩松，王靜龍，濮曉龍.高等數理統計［M］.北京:高等教育出版社，1998:87.

［6］茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數理統計教程［M］.北京:高等教育出版社，2004:295.