誤差預算在精密與超精密機床中應用的研究概述*

梁迎春 陳國達 孫雅洲

(哈爾濱工業大學精密工程研究所，黑龍江 哈爾濱 150001)

誤差預算是精密機械系統設計中的一種預測和控制誤差的重要工具，在機床、機器人、坐標測量機等領域中有廣泛應用。機械系統中存在很多誤差源，如結構部件誤差、熱變形誤差等，誤差預算通過綜合這些誤差源對于系統末端執行器位置(如刀具)的最終影響規律預測系統整體性能。美國勞倫斯利弗莫爾國家實驗室(Lawrence Livermore National Laboratory，LLNL)［1］在1980 年首次系統性地將誤差預算方法應用于工業機床的設計中，過去的20 多年里，許多學者不斷改進誤差預算方法，將其應用于各類精密機械系統里。在精密和超精密機床的設計中，誤差預算不可或缺，具有非常重要的作用。合理的誤差預算有利于機床設計中的優化決策和選擇。在概念和系統設計階段，誤差預算有助于在不同機床結構布局進行選擇，分配各個子系統的誤差，在滿足可實現性的前提下實現經濟性。在具體設計階段，誤差預算有助于選擇不同部件、材料以及加工工藝。誤差預算是一個多學科融合的方法，其過程包括誤差源的辨識、運動學建模、多重誤差效應的組合、材料去除過程的建模等［2］。本文內容介紹主要面向精密和超精密機床，分別對誤差預算的總體流程、組合規則、誤差預算應用研究等幾方面進行概述。

1 誤差預算的總體流程

機床設計時使用誤差預算需要有兩個基本假設為前提，一是特定方向下的即時總誤差值是所有單一誤差元值的和，如線性疊加。二是單一誤差元可被辨識、控制及測量，以致可降低和預測。實際應用中常以誤差上邊界來估計。

為提高對測量不確定性的理解并實現更為精密可靠的測量儀器，LLNL 的學者Kroll［3］對Xradia Micro -XCT 和Laser UT 系統等無損檢測儀器進行了誤差預算。該誤差預算流程是閉環的，以理想或目標需求的不確定性為導向，基本步驟包括辨識基本誤差源、測量或估計各單一誤差元的不確定度、誤差映射、確定組合規則、誤差預算、與理想不確定度比較等。該誤差預算流程基本與機床的誤差預算流程相同。圖1 所示為機床誤差預算流程。

圖1 機床誤差預算流程［3］

LLNL 對一臺兩軸車床進行了誤差預算，其流程圖如圖2 所示［1］。圖2 中，Si表示誤差源(如熱誤差)，Ci表示耦合機制，即剛度、熱膨脹系數、阻尼等參數關于誤差幅度或頻率的過濾效應，它可以等效為一個方向性參數，通常決定誤差在敏感方向的幅度。以車床刀尖處的位移誤差為例，垂直于車削工件表面的方向為敏感方向。車削產生的工件誤差具有3 種不同的類別，包括尺寸誤差(如直徑和長度)，面形誤差(如圓度、直線度和平面度)，表面誤差(如粗糙度)。圖中顯示各個誤差源經耦合機制處理后得到的位移誤差分別以不同誤差類別歸類，而后分不同方向歸類，經一定的組合規則處理后得到某個特定方向下的關于某個誤差類別的位移誤差，最終可得到特定誤差類別的工件誤差。

為滿足極為嚴格的光學元件頻域誤差要求，LLNL針對超精密機床的設計提出了空間頻域誤差預算方法，其流程圖如圖3 所示［4］。該方法中的頻域數據表達利用功率譜密度(PSD)。

圖2 兩軸車床誤差預算流程圖［1］

圖3 空間頻域誤差預算流程圖［4］

2 誤差預算組合規則

利用合理的組合規則計算總誤差是誤差預算過程的重要步驟。許多學者對機床的結構和運動誤差進行了研究，得到了一些誤差模型用于預測刀具在加工過程中刀尖點的位置誤差。但是，這些模型往往不能方便地用于機床設計中的誤差預測，因為它們比較復雜且需要足夠的信息，如機床運動學、材料、控制、環境和運行，而這些不易得到。而且，在設計階段對于誤差源的實際誤差值或函數通常是未知的。所以當有許多重要誤差源時機床設計者經常使用一種組合規則去直接預測總誤差。當組合規則要用于估計總誤差時，誤差大小主要取決于采用什么組合規則，選擇組合規則非常重要。最后的設計、性能和費用主要取決于采用的組合規則。若組合規則過估了總誤差，機床可能過設計，使精度浪費，費用增加。若低估則無法滿足需要的精度要求。算術和可能是最簡單的組合規則，代表最差的誤差情形，但此情形發生可能性極小。

誤差預算過程中一般考慮3 種誤差，分別是隨機誤差、系統誤差和磁滯誤差。組合規則即組合和確定單一誤差幅度(沿一定方向)的方法。對單一誤差幅度來說，基本選擇PV 值(峰谷值)或RMS 值(均方根值)。若以RMS 值為例，則總誤差的RMS 值RMSf可表示為:

誤差組合下的總誤差可以有最優情況值εbest和最劣情況值εworst，分別為總誤差的上邊界和下邊界，其計算公式如式(2)、(3)所示，

通常情況下，取εbest和εworst兩者的平均值足以估計總誤差［2］。

已報道的組合規則有經驗公式，如誤差元的算術和乘一系數、算術和均方根的和的平均數。Shen 和Duffie［5］基于中心極限定理(Central Limit Theorem，CLT)研究組合規則，不確定性區間被用于表達預測的總誤差。精密機床誤差源數據被用于蒙特卡洛仿真去比較這些規則與經驗公式規則的預測能力。研究顯示經驗公式規則對仿真的總誤差有很高的覆蓋率，但是有些低估總誤差的傾向?；贑LT 的組合規則擁有很高的覆蓋率且有令人滿意的預測總誤差的置信水平，因此證明后者在預測總誤差方面更為精確?；贑LT 的方法的優勢還在于預測總誤差時可以先指定置信水平。

3 誤差預算應用研究

LLNL 針對大型光學金剛石車削機床(Large Optics Diamond Turning Machine，LODTM)進行了表面粗糙度的誤差預算［1］，如圖4 所示，對11 項誤差源引起的單一誤差元進行峰谷值誤差的辨識，最終得到工件表面粗糙度的預算值。

Treib 和Matthias［6］將誤差預算用于多軸機床體誤差場的計算和優化。作者測量不同狀態下(載荷，溫度，制造誤差)各軸的幾何精度，利用仿真程序計算系統的誤差場。研究中基于3 個假設:將所有幾何誤差聚焦到導軌上;導軌的連接面(接觸界面)保持水平，系統為剛體系統;系統是線性的，變形可以疊加。另外，利用奇次變換矩陣來計算體誤差。假設單一誤差元服從正態分布，用協方差表示誤差元之間的相關性。麻省理工學院學者Slocum［7］概述了誤差預算用于精密機床設計的方法，還利用電子數據表來進行誤差預算。

Dorndorf 等學者［8］研究了機床準靜態誤差的最優預算，面向最低成本進行誤差分配，考慮了誤差的概率性特征，假設某尺寸上的誤差服從高斯分布，制造該尺寸的花費是關于該高斯分布標準差的函數。一旦指定功能條件或約束，即可進行誤差分配使總成本最低。在機床誤差預算方面，功能條件或約束限制在工作空間內關鍵點上的體誤差，體誤差又是各單誤差元的函數。因此該誤差預算主要是確定這些誤差的最優水平，使控制它們和失效產生的成本最低。

圖4 LODTM 機床及其誤差預算［1］

敏感方向的概念可用于簡化機床精度分析，但卻不適合分析延展性去除過程，如成形研磨，因沒有單一的敏感方向。為此，掃描輪廓法為誤差預算過程中的精度建模提供了一種有效的手段，可成功構建機床誤差與工件被加工面誤差間的數學關系。Frey 等學者［9-10］提出了一種給定刀具形狀和運動函數情況下計算被加工件表面離散點的閉式解，能快速計算機床幾何誤差在工件形狀上的效應。該方法有3 個步驟:(1)利用無誤差的運動模型計算刀具的掃描輪廓，確定名義加工表面。(2)利用有誤差的運動模型計算刀具的掃描輪廓，確定有干擾下的加工表面。(3)基于前兩者的比較評估加工過程的精度。上述方法成功用于成形磨削、無心磨、外圓磨的建模，也應該可拓展用于圓錐銑刀的球立銑和側銑。由于假設刀具是理想表面或理想旋轉，它最有用的地方在于評估面形、輪廓、位置和尺寸誤差，但在評估表面粗糙度方面差一些。

Eisenbies［11］提出了基于約束的誤差預算方法，即將蒙特卡洛仿真用于精密機械設計的誤差預算方法。首先建立參數化模型，然后建立單一誤差的仿真，確立誤差的類型和期望的精度水平。誤差類型取決于誤差的屬性，如靜態誤差中垂直度的隨機誤差服從有上下限的均勻分布，該類誤差對任意虛擬機械是一個常量，并不是軸位置的函數。線性軸的準靜態誤差由產生帶有隨機系數的十階勒讓德多項式來模擬，而旋轉軸位置誤差采用帶有隨機系數和隨機相位變化的五階傅里葉級數來模擬。根據蒙特卡洛模擬，可以得到總誤差的分布，以坐標測量機的探針檢測為試驗，發現實際測量的最大誤差落在模擬得到的分布范圍內，從而證明了基于約束的誤差預算方法的有效性。該方法能產生無數種不同的虛擬機械，能估計出一點誤差元場的效應，有望用于精密機床的設計中。

Hii 等學者［12］在設計精密電火花微細銑削機床過程中使用了誤差預算，參照了麻省理工學院Slocum 的方法。Uriarte 等學者［13］對一臺帶有直徑小于0.3 mm刀具的微細銑床進行了總體誤差預算，主要關注點在夾具角變形與刀具撓曲誤差。Brecher 等學者［14］在高精度緊湊型五軸機床的設計中采用了誤差預算以便進行敏感度分析，為避免、分離和補償機床誤差提供了可能性。Erkorkmaz 等學者［15］對一臺兩軸精密運動臺進行誤差預算，考慮了幾何、動態、伺服和熱誤差。假設運動臺經過誤差補償，消除各個誤差源的確定誤差部分，對不確定誤差部分進行誤差預算。Cheng 等學者［16］針對一臺新型桌面多軸激光加工機床的設計采用了誤差預算分析，目的是為優化選擇關鍵運動部件和分配各軸的位置精度，機床模型與誤差預算流程如圖5 所示。

圖5 新型桌面多軸激光加工機床設計

大多數誤差預算都是靜態誤差預算，盡管有些誤差預算中考慮了動態誤差，但基本是處理時域數據。靜態誤差預算在精密和超精密機床的設計階段起到了很好作用，但是目標是圍繞靜態總誤差，其結果是不足以或有效符合工件頻域誤差要求，所以有必要在靜態誤差預算的基礎上進行動態誤差預算。迄今只有少量文獻針對動態誤差預算進行了研究。

在新系統的設計中需要能預測最初可能時刻的性能，如利用有限元工具進行建模去預測。許多情況下優化設計而得到一定的動態響應或者誤差修正能力，把它們作為頻率的函數。但使用者需要去預測位置誤差，將其作為所有潛在干擾源影響下關于時間的函數。據此，Eijk 等學者［17］提出了基于動態誤差預算的系統設計方法。動態誤差預算中利用Parseval 定理作為時域和頻域數據的聯系橋梁，即在時域上的能量等于在頻域上的能量。這種方法中，不同干擾源在設計中被識別出來。確定幅度和頻率內容的合適估計，用于控制系統模型上。每個干擾對于設計性能參數的頻率轉移函數被用于計算出性能的功率譜密度?；诖诵畔?，時域上的總性能可以在統計學上被表達和計算。單一干擾源的影響能被識別，在相關頻域范圍內的累積功率譜密度可看出主導的動態效應。該方法實際應用于精密轉盤驅動裝置的設計之中，其思路對精密與超精密機床設計中的誤差預算方法有參考作用。

為滿足極為嚴格的光學元件頻域誤差要求，LLNL的學者Krulewich［4］在1997 年針對超精密機床的設計提出了空間頻域誤差預算方法。該方法中基于功率譜密度定量分析加工過程中各誤差元的空間頻率和時間頻率成分，并估計工件誤差。但是之后關于該方法在實際超精密機床設計中的應用未見報道。

圖6 超精密飛切機床精度設計方法流程圖［18］

為解決現有超精密飛切機床的設計沒有考慮工件表面的頻域誤差要求問題，在Krulewich 提出的誤差預算方法基礎上，哈爾濱工業大學梁迎春、陳國達等人［18］提出一種基于頻域誤差分配的超精密飛切機床精度設計方法，其流程圖如圖6 所示，提高了加工適應性，可應用于大型KDP 晶體超精密加工機床，提高KDP 晶體應用于激光核聚變工程中終端光學組件的可靠性。該方法對其他類型超精密機床的設計也有參考價值。

4 結語

誤差預算是精密與超精密機床設計中不可或缺的一環，對實現精度目標和成本控制有著非常重要的作用。許多學者對此展開了研究，取得一定成果。本文主要從誤差預算的總體流程、組合規則、誤差預算應用研究等幾方面進行概述。誤差預算雖在機床設計中得到了大量應用，但是其相關理論研究尚未完全成熟，如組合規則、優化算法的理論研究還有待加強。部件誤差預算中多數僅考慮對目標誤差的敏感度，很少考慮部件的精度可實現性和制造成本，難以實現誤差的最優分配。大多數誤差預算都是靜態誤差預算，盡管有些誤差預算中考慮了動態誤差，但是目標是圍繞靜態總誤差，其結果是不足以或有效符合工件頻域誤差要求。目前對于動態誤差預算的研究無論在理論上還是應用上都比較缺乏，應該需要加強該方面的研究，這對實現精密和超精密機床的更優設計具有重要作用。我國的超精密機床技術水平與美、英、日、德等發達國家相比，仍有較大差距，超精密機床系統設計理論是提升超精密機床水平的關鍵，而誤差預算系統理論是機床設計理論中的重要內容。因此，我國應加強研究和完善指導超精密機床設計的誤差預算理論，這對于我國超精密機床研制水平的提高具有重要意義。

未來的研究趨勢總體可以概括為以下幾個方面:(1)誤差預算的基礎理論研究，包括多尺度多對象的誤差評價方法、組合規則、優化算法、誤差預測與預算的匹配性等方面。(2)動態誤差預算研究，包括動態誤差的形成規律和評價方法、頻域內機床部件動態誤差對工件面形誤差的影響規律、動態誤差預算的組合規則等方面。(3)誤差預算的應用研究，包括在不同類型機床的設計與制造中的應用，特別是在三軸以上超精密機床中的應用，不僅應用于機床整機誤差預算，而且應用于精密部件及其組合運動裝置的誤差預算。

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