一類雙線性SEIQS模型的定性分析

崔 寧

（河北建筑工程學院數理系，河北 張家口075000）

0 引 言

現實生活中人們面臨著許多傳染病的威脅，數學模型在分析疾病的傳播和控制措施的制定中起著非常重要的作用，而隔離一直作為有效的措施應用于H1N1、HIV／AIDS、SARS［1－3］等疾病控制中.將總人數分為易感者類S、潛伏者類E、感染者類I和隔離者類Q，本文將研究具雙線性傳染率［4］的SEIQS模型

這里，易感者來源分為常數遷入率A和對潛伏者和感染者的有效治愈率μ1ω1E、μ2ω2I，其中，ω1和ω2分別代表對潛伏者和感染者的隔離率；各艙室類的自然死亡率為d；因病死亡率和潛伏期的發病率分別用α、ε表示.

顯然，我們只需考查（1.1）的子系統

由（1.2）可得

因此

所以系統（1.2）的不變集為

定義D的邊界和內點集合分別為?D和°D，經過簡單計算可得系統存在兩個正平衡點：無病平衡點P0＝（A／d，0，0）∈?D和地方病平衡點P1＝（S1，E1，I1），其中

S1＝（d＋ε＋ω1）（d＋α＋ω2）／（εβ），I1＝I0（R0－1），E1＝（d＋α＋ω2）I1／ε，為系統（1.2）的基本再生數，由此可得結論

定理1R0≤1時，P0為D內的唯一平衡點；R0＞1時，內存在唯一的地方病平衡點P1.

1 全局穩定性

引理1 若R0＞1，選取充分大的t＞0，存在緊吸引集，當t＞t時，沿系統（1.2）過初值（S（0），E（0），I（0））∈K的解（S（t），E（t），I（t））均有βS（t）＞μ2ω2成立.

證明 由系統（1.2）可得

若βS（t）≤μ2ω2，應有S′（t）≥A－dS（t）≥A－dμ2ω2／β，注意到R0＞1，所以

可知（1.2）的所有解在無窮遠處都經過直線βS（t）＝μ2ω2并最終保留在直線之上，因此，對于充分大的t＞0，當t＞t時，βS（t）≥μ2ω2對于過初值（S（0），E（0），I（0））∈K的解（S（t），E（t），I（t））均成立.證畢

定理2 （i）當R0≤1時，D內存在唯一的無病平衡點P0，且全局漸近穩定；（ii）當R0＞1時，°D內存在唯一的地方病平衡點P1，P0不穩定.

證明 構建函數

對函數沿著（1.2）的解求導數，當R0≤1有

此外，當且僅當I＝0時，有V′＝0，在｛（S，E，I）∈D∶V′＝0｝上的最大不變集為單點集｛P0｝.因此，由LaSalle不變集原理［5］可知，當R0≤1時P0全局漸近穩定.同時I＞0時，有V′＞0，及可S＞A／（dR0）知結論（ii）成立.證畢

定理3 當R0＞1時，°D內唯一的地方病平衡點P1全局漸近穩定.

證明 通過上述結果，可知系統（1.2）在可行集D的內部滿足文獻［6］中的條件（H1），（H2），系統的加法復合矩陣為

定義函數

矩陣

經計算得

將（u，v，w）定義為的向量，選擇R3中的范數，并把ρ記為該范數的Lozinskii測度，結合文獻［7］可估計ρ（B）≤sup（g1，g2），這里

由系統（1.2）可得

因此，選擇充分大的t使得

對t＞t成立.所以，存在一吸引集K，使得沿系統（1.2）過初值x0∈K的解有

從而可知q2≤－d／2＜0成立.所以°D內唯一的地方病平衡點P1全局漸近穩定.證畢

2 仿 真

接下來我們討論系統極限環的存在性，我們取參數值為

A＝0.1，μ1＝μ2＝w1＝w2＝0.0001，α＝ε＝0.1，d＝0.0001，β＝0.0011，

則系統存在地方病平衡點P1＝（3.6728，5.1087，25.4165）.經計算得Jacobian矩陣的特征根為－0.684， －0.0337i， 0.0337i，

顯然，此時系統出現Hopf分支.所以，結合文獻［8］，當β1＝0.001＜β時，系統在地方病平衡點P1附近出現極限環，如圖1.

圖1 系統極限環現象

［1］Hong Xiao，Huaiyu Tian，Lei Shao etc，Spatio－temporal Simulation of Epidemiological SIQR Model Based on the Multi－Agent System with Focus on Influenza A（H1N1）.Communications in Computer and Information Science，107（2010）：180～189

［2］Ram Naresh，Agraj Tripathi，Dileep Sharma，Modelling and analysis of the spread of AIDS epidemic with immigration of HIV infectives.Mathematical and Computer Modelling，49（2009）：880～892

［3］Ying－Hen Hsieh，Chwan－Chuan King，Cathy W.S Chen etc，Impact of quarantine on the 2003SARS outbreak：A retrospective modeling study.Journal of Theoretical Biology 244（2007）：729～736

［4］W.Wang，S.Ruan，Bifurcation in an epidemic model with constant removal rate of infectives，J.Math.Anl.Appl.291（2004）775～793

［5］J.P.LaSalle，The Stability of Dynamical Systems，SIAM，Philadephia，PA，1976

［6］M.Y.Li，J.S.Muldowney，A geometric approach to global－stability problems，SIAM J.Math.Anal.27（1996）1070

［7］R.H.Martin Jr.，Logarithmic norms and projections applied to linear differential systems，J.Math.Anal.Appl.45（1974）432

［8］NA YI，ZHIWU ZHAO，QINGLING ZHANG，Global Analysis of an Epidemic Model with general Incidence Rate，International Journal of Information and systems Sciences，5（2009）296～310