關于平面解析系統的擬齊次分解

陳秀紅，黃土森

（浙江理工大學理學院，杭州310018）

關于平面解析系統的擬齊次分解

陳秀紅，黃土森

（浙江理工大學理學院，杭州310018）

通過解析函數的擬齊次分解與牛頓圖，研究了平面解析系統的擬齊次分解問題。給出了擬齊次向量場空間的維數及平面解析系統的擬齊次分解定理，并用實例給出平面多項式系統擬齊次分解的具體算法。這些結果推廣了平面解析系統的擬齊次分解中的有關結論，對研究平面高次奇點性態具有參考價值。

擬齊次多項式；牛頓圖；擬齊次多項式向量場；擬齊次分解

0 引 言

在許多應用學科中經常需要研究非線性常微分方程。平面系統

的定性理論主要是根據方程本身研究相平面中軌線的拓撲結構或定性結構［1-2］。因為在系統的常點附近的軌線結構是平凡的，即可平行化的，所以研究平面系統的拓撲結構或定性結構的難點是研究奇點的局部軌線結構?，F在通常把在奇點附近是否可以定義Poincaré返回映射的問題稱為單值性問題，且這個問題一直是研究奇點局部軌線結構的經典問題。如果在奇點附近可以定義Poincaré返回映射，則稱這樣的奇點為單值奇點，并且對解析系統（即系統（1）中的X（x，y）與Y（x，y）均為解析函數）而言，這樣的奇點只能是中心或焦點［3］。一旦確定奇點是單值的，則另外一個經典的問題是尋找條件以決定該單值奇點到底是中心還是焦點，即確定圍繞單值奇點的所有軌線何時都是封閉的（至少在奇點的某個鄰域如此）。這個問題稱為Poincaré中心-焦點問題或穩定性問題［4］。

當奇點的線性化矩陣不恒等于零時，奇點的拓撲結構基本上已經得到解決［3］。當奇點的線性化矩陣恒等于零（這樣的奇點通常稱為退化奇點）時，奇點的拓撲結構遠未解決［5］。目前國內外文獻中研究這類問題的有效方法之一是使用blow-up技巧，即先對式（1）中X（x，y）與Y（x，y）在奇點進行齊次分解，然后作一系列的齊次blow-up變量變換，以便最終把奇點分解成為初等奇點（即系統（1）在奇點的線性化矩陣至少有一個特征值非零），然后再研究其拓撲結構或定性結構。Dumortier［6］證明了任何平面解析系統，更一般地，對于滿足Lojasiewicz不等式的系統，總可以經過有限多次齊次blow-up變量變換，把退化奇點分解成為初等奇點，并由此研究奇點的拓撲結構或定性結構。然而，當系統的奇點的亞次數（即式（1）中X（x，y）與Y（x，y）在奇點Taylor展開式中的最低次數的最小值）比較大時，需要經過多次的blow-up變量變換，計算過程十分冗長。為了簡化計算，Algaba等［4-5，7］利用牛頓圖先對X（x，y）與Y（x，y）進行擬齊次分解，然后再做擬齊次blow-up變量變換，以便最終把奇點分解成為初等奇點。另外，在平面系統的可積性的分析中研究系統的擬齊次分解也是有意義的［5］。因此，在平面定性分析中擬齊次性的研究雖然在理論上與計算上類似于齊次性，但從動力學上來講更有研究意義。

杜飛飛等［8］主要研究了牛頓圖與擬齊次多項式的基本性質，并給出擬齊次多項式系統單值奇點是否是中心或者是焦點的充要條件；García等［9］研究了擬齊次多項式微分系統，并給出次數分別為2與3的所有擬齊次向量場的算法。本文通過解析函數的擬齊次分解與牛頓圖，研究平面解析系統的擬齊次分解問題，給出擬齊次向量場空間的維數及平面解析系統的擬齊次分解定理，并用實例給出平面多項式系統擬齊次分解的具體算法。這些結果推廣了文獻［2，8］中的相應結論，對研究平面高次奇點性態具有重要意義。

1 解析函數的擬齊次分解

定義1.1［5］設

記t=（t1，t2）型k次擬齊次多項式構成的集合為。當t=（t1，t2）及k固定時，在通常的加法與數乘的意義下是一個線性空間。

引理1.2令t=（t1，t2）給定，則對任意的k∈Z+，存在唯一的一組k1，k2，k3和r∈Z+，使得k= k1t1+k2t2+k3t1t2+r，并滿足k1＜t2，k2＜t1，0≤r＜min｛t1，t2｝。

證明因為k與t1∈Z+，所以存在與s∈Z+使得k=+s，滿足0≤s＜t1，存在ˉk2與r∈Z+使得s=+r，滿足0≤r＜min｛t1，t2｝。同理，存在與k1∈Z+使得=+k1，滿足0≤k1＜t2；存在與k2∈Z+使得=t1+k2，滿足0≤k2＜t1。于是

滿足引理要求，其中k3=+。這證明了存在性。

從而

因為t1與t2互素，所以k1-=0，從而

因為0≤k2，＜t1，所以k2-=0，故-=0。

為了討論解析函數的擬齊次分解，引進記號

下面的引理在文獻［4］中給出，但沒有給出完整的證明。

引理1.3令t=（t1，t2）和k∈Z+給定，

（1）如果k?It，則=｛0｝；

（2）如果k∈It并且 k=k1t1+k2t2+k3t1t2，則

證明由引理1.2知，存在唯一的一組k1，k2，k3和r∈Z+，使得

并滿足k1＜t2，k2＜t1，0≤r＜min｛t1，t2｝。

（1）因為k?It，所以1≤r＜min｛t1，t2｝。顯然，零單項式0∈。如果單項式xmyn∈，由定義，mt1+nt2=k。因為對m，t2，存在唯一的，∈Z+使得m=+，且0≤＜t2；對n，t1，存在唯一的∈Z+使得n=+，且0≤＜t1。于是

這與1≤r＜min｛t1，t2｝和分解的唯一性矛盾，故=｛0｝。

（2）因為k=k1t1+k2t2+k3t1t2，又由上面的證明可知，如果單項式xmyn∈，則存在，使得m=+，n=+，且

故

于是

推論1.4固定的t=（t1，t2），如果k∈It并且k=k1t1+k2t2+k3t1t2，則

推論1.5令t=（t1，t2）給定，對任意單項式xmyn，取k=mt1+nt2，則xmyn∈。

使得

并且這樣的分解式是由t=（t1，t2）所唯一確定的。

證明由推論1.5及是線性空間立即得到。不過有可能對某些k使得（x，y）是零多項式。

2 解析向量場的擬齊次分解

給定平面解析系統

設（0，0）是（2）的奇點，即X（0，0）=Y（0，0）=0，所以在奇點的某個鄰域內可以把X（x，y）和Y（x，y）分別展開成

解析系統（2）所對應的向量場記為F（x，y）=（X（x，y），Y（x，y））T，通常也表示為定義在連續可微函數類C1上的一個微分算子［5］

解析系統（2）的支撐集M是集合

M中的點（i，j）稱為（2）的支撐點，向量（aij，bij）稱為支撐點（i，j）的系數向量。系統（2）的牛頓多邊形是集合（i，j∪）∈M（（i，j）+）的凸包Γ，其中=｛（x，y）｜x≥0，y≥0｝。Γ的邊界由兩條射線和一條折線（這條折線可能退化為一點）組成，折線連通不在坐標軸上的射線稱為系統（2）的牛頓圖。牛頓圖中的射線或折線上的線段，叫做牛頓圖的邊（折線上的線段也稱為有界邊或緊致邊），它們的端點叫做牛頓圖的頂點。顯然，牛頓圖中的頂點必為支撐集M中的點，反之不然。設l是系統（2）的牛頓圖的一條有界邊，則它的指數αl定義為l與縱坐標所夾的銳角的正切值。設l的兩個端點分別為（i1，j1）和（i2，j2），因為l是有界邊，所以可設i1＜i2，j1＞j2，于是αl=，其中，t1與t2是互素的正整數，數對t=（t1，t2）稱為邊l的類型。在上面一節的最后，我們注意到在研究解析系統奇點的性態時，只有那些對應于牛頓邊的類型的擬齊次分解才是有意義的。為此先給出擬齊次多項式向量場的概念。

定義2.1［5］設

是一個多項式向量場（即P（x，y）與Q（x，y）都是多項式），稱F是t=（t1，t2）型k次擬齊次多項式向量場，如果P（x，y）∈且Q（x，y）∈。

記t=（t1，t2）型k次擬齊次多項式向量場構成的集合為。當t=（t1，t2）及k固定時，在通常的加法與數乘的意義下是一個線性空間。為了把引理1.3推廣到擬齊次向量場情形，首先注意到t=（t1，t2）型k次擬齊次多項式向量場是由一些t=（t1，t2）型k次擬齊次單項式向量場（xmyn，0）T與的線性組合而成的，進一步，如果xiyj-1∈，則xi-1yj∈并且（i-1）t1+（j-1）t2= k。下面的定理總結了上面的結果。

定理2.2對于解析系統（2），設t=（t1，t2）是它的一條牛頓邊的類型，k∈Z+，

（1）如果k?It，則=｛0｝。

（2）如果k∈It并且k=k1t1+k2t2+k3t1t2，則=span｛（xk1+1+t2（k3-j）yk2+t1j，0）T，（0，xk1+t2（k3-j）yk2+1+t1j）T｜j=0，1，…，k3｝。

推論2.3對于解析系統（2）的一條牛頓邊的類型t=（t1，t2），如果k∈It并且k=k1t1+k2t2+k3t1t2，則dim=2（k3+1）。

定理2.4對于解析系統（2），設t=（t1，t2）是它的一條牛頓邊的類型，則存在

或寫成向量形式

證明可由定理2.2立即得到。

3 例 子

下面通過一些實例來驗證本文所給出的方法是有效的。

例3.1考慮多項式系統

因為y=x0y2-1，x2+xy=x3-1y0+x2-1y1，從而M=｛（0，2），（3，0），（2，1）｝，所以該系統的牛頓圖的有界邊僅由一條連接（0，2）與（3，0）的線段組成，并且對應于該有界邊的類型為t=（2，3）。于是式（4）可分解為

由于式（4）只有一條牛頓邊，所以對分析奇點性態有意義的擬齊次分解也是唯一的。

例3.2考慮在文獻［10］中出現的多項式系統

因為M=｛（4，3），（3，4），（2，5），（0，11），（11，0）｝，所以該系統的牛頓圖的有三條有界邊：連接（0，11）與（2，5）的線段l1，連接（2，5）與（4，3）的線段l2，連接（4，3）與（11，0）的線段l3，從而對分析奇點性態有意義的擬齊次分解有三種。下面分別根據牛頓邊進行擬齊次分解。

對l1，因為其類型為t1=（3，1），于是式（5）可分解為

對l2，因為其類型為t2=（1，1），于是式（5）可分解為

［1］Andronov A A，Leontovich E A，Gordon I I，et al. Qualitative Theory of Second-Order Dynamic Systems［M］.Jerusalem：Israel Program for Scientific Translations，1973.

［2］張芷芬，丁同仁，黃文灶，等.微分方程定性理論［M］.北京：科學出版社，1985.

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［5］Algaba A，García C，Reyes M.Characterization of a monodromic singular point of a planar vector field［J］. Nonlinear Analysis，2011，74（3/4）：5402-5414.

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［7］Algaba A，Fuentes N，García C.Centers of quasi-homogeneous polynomial planar systems［J］.Nonlinear A-nalysis：Real World Applications，2012，13：419-431.

［8］杜飛飛，黃土森.牛頓圖的性質與擬齊次多項式系統的中心問題［J］.浙江理工大學學報，2013，30（1）：101-105.

［9］García B，Jaume Llibre J，Río JSP.Planar quasi-homogeneous polynomial differential systems and their integrability［J］.Journal of Differential Equations，2013，255：3185-3204.

［10］Pelletier M.éclatements quasi homogeneous［J］.Ann Fac Sci Toulouse，1995，4：879-937.

On the Quasi-Homogeneous Decomposition of PIanar AnaIytic System

CHEN Xiu-hong，HUANG Tu-sen
（School of Science，Zhejiang Sci-Tech University，Hangzhou 310018，China）

In this paper，the quasi-homogeneous decomposition of planar analytic system is studied through the quasi-homogeneous decomposition of the analytic function and Newton diagram.The dimension of the quasi-homogeneous vector field space and quasi-homogeneous decomposition theorem of the planar analytic system are given.Besides，the specific algorithm of quasi-homogeneous decomposition of planar polynomial system is given with examples.These results generalize relevant conclusions in associating references，and are helpful to study the qualitative properties of quasi-homogeneous decomposition of planar polynomial system and have reference value for studying higher-order singular point.

quasi-homogeneous polynomial；Newton diagram；quasi-homogeneous polynomial vector field；quasi-homogeneous decomposition

O175.14

A

（責任編輯：康 鋒）

1673-3851（2014）05-0546-04

2014-01-08

國家自然科學基金項目（10871181，11101370）

陳秀紅（1988-），女，山東菏澤人，碩士研究生，主要從事微分方程定性理論研究。