一種加法交換律和結合律的驗證方法

王穎汝

(河南省社旗縣科技局，河南省社旗縣473300)

一種加法交換律和結合律的驗證方法

王穎汝

(河南省社旗縣科技局，河南省社旗縣473300)

依據“數位對齊、逢十進一”的運算法則，結合十進制加法表，給出了驗證加法交換律與結合律的一種方法。

加法交換律;加法結合律;驗證

一、加法交換律的驗證

加法交換律用文字描述即“兩個數相加，交換加數的位置，它們的和不變”，用字母表示即:“a+b=b+a”。下面，對其進行具體驗證。

(一)設定證明中使用的代數符號

(1)在加法交換律中，使用到兩個加數，在本證明中，暫且假定兩個加數均為自然數。

假設第一個加數的代表符號為“Q1B1S1G1”，是一個4位數的加數，其最右側的“G1”代表的是個位上的數字(“G”是“個”的拼音字母首寫)，其他依次類推，即“S1”代表的是十位上的數字，“B1”代表的是百位上的數字，“Q1”代表的是千位上的數字。

假設第二個加數的代表符號為“W2Q2B2S2G2”，是一個5位數的加數，其字母的含意同上。

(2)對于未交換位置之前的“Q1B1S1G1+ W2Q2B2S2G2”，列成豎式可以表示成圖1:

圖1 未交換加數位置時的加法豎式

圖2 交換加數位置之后的加法豎式

在上圖中，符號的含意如下:

“W12Q12B12S12G12”——代表未交換加數位置時得到的和值。

“JS①”——代表個位相加(即“G1+G2”)之后向十位進位的值。

“JB①”——代表十位相加(即“S1+S2+JS①”)之后向百位進位的值。

“JQ①”——代表百位相加(即“B1+B2+JB①”)之后向千位進位的值。

(3)對于交換位置之后的“W2Q2B2S2G2+ Q1B1S1G1”，列成豎式可以表示成圖2:

在上圖中，使用的符號的含意如下:

“W21Q21B21S21G21”——代表交換加數位置之后得到的和值。

“JS②”——代表個位相加(即“G2+G1”)之后向十位進位的值。

“JB②”——代表十位相加(即“S2+S1+JS②”)之后向百位進位的值。

“JQ②”——代表百位相加(即“B2+B1+JB②”)之后向千位進位的值。

(4)其驗證思路是:如果要驗證“Q1B1S1G1+ W2Q2B2S2G2=W2Q2B2S2G2+Q1B1S1G1”，只需要驗證“W12Q12B12S12G12=W21Q21B21S21G21”即可。要驗證“W12Q12B12S12G12=W21Q21B21S21G21”，只需要驗證“G12=G21”、“S12=S21”、“B12=B21”、“Q12= Q21”、“W12=W21”(即兩個和值之中各個對應位上的值相等)即可。

(二)驗證“G12=G21”成立過程

(1)一般列豎式進行運算時，首先進行個位上的計算，即“G1+G2”;如果交換兩個加數的位置，則計算的是“G2+G1”。

(2)在十進位制中，上述“G1、G2”的實際值的范圍只可能處于“0、1、2、3、4、5、6、7、8、9”之中，“G1+G2”的可能的組合形態可以通過排列組合的方式把所有可能的組合形態全部列舉出來，共有100種(和“加法口訣表”的內容一致)，針對每一種具體的“G1、G2”組合，分為兩大方面進行計算、比較［1］:

第一方面是當兩個加數未交換時，計算“G1+ G2”的值，進而可得“JS①”、“G12”的值;第二方面是當兩個加數交換位置之后，計算“G2+G1”的值，進而可得“JS②”、“G21”的值。

以上計算可以借助計算機數據庫技術快捷地實現，由于數據較多，在此未一一列出。

(3)對以上計算的“G12”、“G21”逐對進行比較可知，對于任意的“G1、G2”組合形態，交換加數位置之前、之后(即把“Q1B1S1G1+W2Q2B2S2G2”交換為“W2Q2B2S2G2+Q1B1S1G1”)，“G12=G21”均成立，即是說，和值之中的個位上的值保持不變。

(三)統計個位向十位上進位值的所有不同情況

對在上個步驟中計算的“JS①”、“JS②”進行完全統計，發現可以分為兩類不同的情況:

(1)“JS①=0，同時JS②=0”(簡寫為“JS①=0‖JS②=0”):

即“G1+G2=G2+G1”的和值是一位數、不需要向十位上進位的情況(這種情況下可以認為進位值為0，此時，“G1+G2=G12”、“G2+G1=G21”)。

(2)“JS①=1，同時JS②=1”(簡寫為“JS①=1‖JS②=1”):

即“G1+G2=G2+G1”的和值是兩位數、需要向十位上“進位”的情況(這種情況下，“G1+G2=10+ G12”、“G2+G1=10+G21”)，例如“9+6=15”進“1”留“5”，而“6+9=15”也是進“1”留“5”。

(四)驗證兩個加數交換位置之前、之后的和值之中的十位上的值保持不變

在本步驟中，實際上需要驗證的就是“S12= S21”成立。利用排列組合知識可知，十位上的數字“S1、S2”共有100種可能的組合形態。同時，在兩個加數交換位置之前、之后，從個位向十位上的進位值共有兩類不同的情況，那么，十位上的“S1、S2”和實際的“JS①、JS②”之間共可以得到100×2= 200種組合形態，可以利用排列組合知識把這200種組合形態全部羅列出來，針對每種具體的“S1、S2、JS①、JS②”，分為兩大方面進行計算、比較:第一方面是當兩個加數未交換時，計算“S1+S2+JS①”的值，進而可得“JB①”、“S12”的值;第二方面是當兩個加數交換位置之后，計算“S2+S1+JS②”的值，進而可得“JB②”、“S21”的值?？山柚嬎銠C數據庫技術快捷地實現［2］。

對以上計算的“S12”、“S21”逐對進行比較可知，對于“S1、S2、JS①、JS②”的任意實際值，交換加數位置之前、之后，“S12=S21”均成立，即是說，和值之中的十位上的值保持不變。

(五)統計十位向百位上進位值的所有不同情況

對在上個步驟中計算的“JB①”、“JB②”進行完全統計，可得到全部共有兩類不同的情況:

(1)“JB①=0‖JB②=0”:

即交換之前、之后均不需要進位。

(2)“JB①=1‖JB②=1”:

即交換之前、之后均需要進位，進位值均為1。

(3)證明兩個加數交換位置之前、之后的和值之中的百位上的值保持不變，即證明“B12= B21”成立。

利用排列組合知識可知，“B1、B2”和實際的“JB①、JB②”的全部可能的組合與上文步驟(四)中“S1、S2”、“JS①、JS②”是完全一樣的，因此，和步驟(四)的驗證過程一樣，也可以驗證“B12=B21”成立。

同理，也可驗證“Q12=Q21”、“W12=W21”均成立?？梢?，驗證過程中出現了重復現象，這是本證明的關鍵。

綜上所述，能夠完全證明“G12=G21”、“S12= S21”、“B12=B21”、“Q12=Q21”、“W12=W21”，故而“W12Q12B12S12G12=W21Q21B21S21G21”(二者是同一個數)，故而“Q1B1S1G1+W2Q2B2S2G2= W2Q2B2S2G2+Q1B1S1G1”成立。

在上文中，是以一個4位自然數和一個5位自然數為例子進行證明，可推而廣之，對于任意長度的自然數或小數，均可以證明加法交換律的成立，用字母表示即“a+b=b+a”。至此，加法的交換律全部驗證完畢。

二、加法結合律的驗證

加法結合律用字母表示即:“(a+b)+c=a+(b +c)”。下面為其具體驗證過程。

(一)設定證明中使用的代數符號

(1)在加法結合律中，使用到三個加數，在本證明中，暫且假定三個加數均為自然數。假設第一個加數的代表符號為“Q1B1S1G1”，第二個加數的代表符號為“W2Q2B2S2G2”，第三個加數的代表符號為“Q3B3S3G3”，其中各個字母符號所在的位置含意，與前文加法交換律證明中步驟的一樣。實際上要驗證的就是:“(Q1B1S1G1+ W2Q2B2S2G2)+Q3B3S3G3=Q1B1S1G1+ (W2Q2B2S2G2+Q3B3S3G3)”

(2)對于“(Q1B1S1G1+W2Q2B2S2G2)+ Q3B3S3G3”(即前兩個加數進行結合)，如果列成豎式，根據最原始的運算步驟，需要進行兩輪加法運算，如圖3:

圖3 前兩個加數結合時的加法豎式

在圖3中，符號的含意如下:

“JS①”——代表第一輪相加時，個位相加(即“G1+G2”)之后向十位進位的值。

“JB①”——代表第一輪相加時，十位相加(即“S1+S2+JS①”)之后向百位進位的值。

“JQ①”——代表第一輪相加時，百位相加(即“B1+B2+JB①”)之后向千位進位的值。

“W12Q12B12S12G12”——代表第一輪相加得到的和值。

“JS②”——代表第二輪相加時，個位相加(即“G12+G3”)之后向十位進位的值。

“JB②”——代表第二輪相加時，十位相加(即“S12+S3+JS②”)之后向百位進位的值。

“JQ②”——代表第二輪相加時，百位相加(即“B12+B3+JB②”)之后向千位進位的值。

“W123Q123B123S123G123”——代表第二輪相加得到的最終的總和值。

(3)對于“Q1B1S1G1+(W2Q2B2S2G2+ Q3B3S3G3)”(即后兩個加數進行結合)，如果列成豎式，根據最原始的運算步驟，需要進行兩輪加法運算，如圖4:

圖4 后兩個加數進行結合時的加法豎式

在圖4中，使用的符號的含意如下:

“JS③”——代表第一輪相加時，個位相加(即“G2+G3”)之后向十位進位的值。

“JB③”——代表第一輪相加時，十位相加(即“S2+S3+JS③”)之后向百位進位的值。

“JQ③”——代表第一輪相加時，百位相加(即“B2+B3+JB③”)之后向千位進位的值。

“W23Q23B23S23G23”——代表第一輪相加得到的和值。

“JS④”——代表第二輪相加時，個位相加(即“G1+G23”)之后向十位進位的值。

“JB④”——代表第二輪相加時，十位相加(即“S1+S23+JS④”)之后向百位進位的值。

“JQ④”——代表第二輪相加時，百位相加(即“B1+B23+JB④”)之后向千位進位的值。

“W231Q231B231S231G231”——代表第二輪相加得到的最終的總和值。

(二)證明三個加數相加，應用加法結合律之前、之后的總和值之中個位上的值是相等的(或保持不變):

利用排列組合知識可知，在三個加數的個位上，“G1、G2、G3”共有1000種可能的組合形態，下面，針對每一種具體的組合形態，分為兩大方面進行計算、比較:

第一方面是當把前兩個加數進行結合時，計算“G1+G2”的值，進而可得“JS①”、“G12”、“G12+ G3”、“JS②”、“G123”的值;第二方面是當把后兩個加數進行結合時，計算“G2+G3”的值，進而可得“JS③”、“G23”、“G1+G23”、“JS④”、“G231”的值?？山柚嬎銠C數據庫技術快捷地實現。

對以上計算的“G123”、“G231”逐對進行比較可知，對于“G1、G2、G3”的任意實際值組合，最終的“G123=G231”均成立，即是說，應用加法結合律之前、之后，最終的總和值的個位上的值保持不變。

(三)統計個位向十位上進位值的所有不同情況

對在上個步驟中計算的“JS①、JS②、JS③、JS④”進行完全統計，可得到全部共有6種不同情況，分別如表1:

表1 個位向十位上進位值的所有不同情況

(四)證明三個加數相加，應用加法結合律之前、之后的總和值之中的十位上的值是相等的(或保持不變)

利用排列組合知識可知，在三個加數的十位上，“S1、S2、S3”共有1000種可能的組合形態。同時，從個位向十位上的進位值實際共有6類不同的情況，那么，十位上的“S1、S2、S3”和實際的“JS①、JS②、JS③、JS④”之間共可以得到1000×6= 6000種新的組合形態，下面，針對每種具體的組合，分為兩大方面進行計算、比較:

第一方面是當把前兩個加數進行結合時，計算“S1+S2+JS①”的值，進而可得“JB①”、“S12”、“S12+S3+JS②”、“JB②”、“S123”的值;第二方面是當把后兩個加數進行結合時，計算“S2+S3+JS③”的值，進而可得“JB③”、“S23”、“S1+S23+JS④”、“JB④”、“S231”的值。同樣可借助計算機數據庫技術快捷地實現。

對以上計算的“S123”、“S231”逐對進行比較可知，對于“S1、S2、S3”的任意實際值，“S123=S231”均成立，即是說，應用加法結合律之前、之后，三個加數的最終的總和值的十位上的值保持不變。

(五)統計十位向百位上進位值的所有不同情況

對在上個步驟中計算的“JB①、JB②、JB③、JB④”進行完全統計，可得到全部共有6種不同情況，分別如表2:

表2 十位向百位上進位值的所有不同情況

(六)對向十位上和向百位上的實際進位值情況進行比較

通過比較表1和表2可知，“JS①、JS②、JS③、JS④”和“JB①、JB②、JB③、JB④”的實際情況都有6類，并且是完全相同的(不考慮出現次數)。

(七)證明三個加數相加，應用加法結合律之前、之后的總和值之中的百位上的值是相等的(或保持不變)

利用排列組合知識可知，“B1、B2、B3”、“JB①、JB②、JB③、JB④”的全部可能的組合與“S1、S2、S3”、“JS①、JS②、JS③、JS④”是完全一樣的，因此，和步驟(四)的道理一樣，也可以證明“B123=B231”成立。同理，也可證明“Q123=Q231”、“W123=W231”均成立。

綜上所述，能夠完全證明“G123=G231”、“S123=S231”、“B123=B231”、“Q123=Q231”、“W123=W231”均成立，故而“W123Q123B123S123G123=W231Q231B231S231G231”成立(或者說二者是同一個數)。故而“(Q1B1S1G1+W2Q2B2S2G2)+Q3B3S3G3= Q1B1S1G1+(W2Q2B2S2G2+Q3B3S3G3)”成立。

在上文中，是以一個4位自然數、一個5位自然數和一個4位自然數為例子進行證明，推而廣之，對于任意長度的自然數或小數，均可以證明加法結合律的成立，用字母表示即“(a+b)+c=a+(b +c)”。

三、結語

證明了加法交換律的成立和結合律的成立，以此為基礎，可容易地證明對于具有任意多個加數的加法算式，加法交換律和結合律仍然成立，用字母表示即“(a+b)+c=a+(b+c)”。

［1］張景中，彭翁成.數學哲學［M］.北京:北京師范大學出版社，2010.

［2］［德］費雷格.王路，譯.算術基礎［M］.北京:商務印書館，2010.

［責任編輯 程光輝］

A Verification Method of Commutative Law of Addition and Combination Law

WANG Ying-ru
(Technology Bureau of Sheqi County，Sheqi 473300，Henan)

On the algorithm basis of digital alignment algorithms，dotting and carrying one，combined with the decimal addition table，a verification method of commutative of addition and combination law is presented.

commutative law of addition;associative law of addition;verification

10.3969/j.issn.1672-0342.2014.01.004

O121.1

A

1672-0342(2014)01-0011-05

2014-01-04

王穎汝(1972-)，男，河南社旗人，河南省社旗縣科技局工程師，研究方向為三維及數字自然技術。