一道月考題的反思、聯想與拓展

沈岳夫

波利亞指出：“拿一個有意義但又不復雜的題目去幫助學生發掘問題的各個方面，使得通過這道題就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的領域.”在引領中考數學復習的教學過程中，以典型試題作為案例引導學生自主探究，學生每解決一個數學問題，教師就引導學生對自己解決的問題進行反思、聯想.一方面反思問題的解題方法、思路是否具有規律性，能否遷移處理類似的問題；另一方面反思問題的圖形結構能否改變，命題的條件能否弱化或加強，結論能否拓展、引申與推廣.這樣不但可以深化學生對問題的理解，優化思維過程，完善認知結構，而且可以提高學生自主探究、分析問題的創新能力.本文選取一道月考試題作為案例進行反思、聯想、拓展，以饗讀者.1 試題及其解析

例1 如圖1，拋物線y=x2的頂點為P，A、B是拋物線上兩點，AB∥x軸，四邊形ABCD為矩形，CD邊經過點P，AB=2AD.

（1）求矩形ABCD的面積；

（2）若將拋物線“y=x2”改為拋物線“y=2x2”，其他條件不變，則矩形ABCD的面積為 ；若將拋物線“y=x2”改為拋物線“y=2x2+1”，其他條件不變，則矩形ABCD的面積為 ；

（3）若將拋物線“y=x2”改為拋物線“y=12x2+x+1”，其他條件不變，求矩形ABCD的面積.如圖2若改為拋物線“y=ax2+bx+c”（a、b、c為常數，a≠0），影響矩形ABCD面積的是a、b、c中的哪個量，直接寫出矩形ABCD的面積.〖TPsyf-1.tif，BP〗〖TS（〗〖JZ〗圖1 圖2〖TS）〗

解析 （1）顯然，可知P（0，0）.設DP=AD=m（m>0，下同），則不難得D（-m，0），A（-m，m）.由（-m）2=m，進而求得m=0（舍），m=1，所以矩形ABCD的面積為：AB·AD=2m2=2.

（2）仿照（1），不難求得本題答案依次是：12，12.

附加題：如圖6，設拋物線y1=a1（x+h1）2+k1，則C（-h1，k1）.過點C作CE⊥AB于點E，設AE=m，則B（-h1+m，k1+〖KF（〗3〖KF）〗m）.不難求得m=〖KF（〗3〖KF）〗a1.進而得B（-h1+〖KF（〗3〖KF）〗a1，k1+3a1）.又點B為拋物線的C2頂點，所以y2=a2（x+h1-〖KF（〗3〖KF）〗a1）2+k1+3a1.因為拋物線C2經過C點，進而解得a2=-a1.從而得=-a1〖JB（[〗x2+2〖JB（（〗h1-〖KF（〗3〖KF）〗a1〖JB））〗x+〖JB（（〗h1-〖KF（〗3〖KF）〗a1〖JB））〗2〖JB）]〗+k1+3a1，則b2=-2a1〖JB（（〗h1-〖KF（〗3〖KF）〗a1〖JB））〗，即b2=-2a1〖JB（（〗b12a1-〖KF（〗3〖KF）〗a1〖JB））〗，化簡整理得b1+b2=2〖KF（〗3〖KF）〗.

評注 此題構造巧妙，問題前后設計逐層遞進，思維引導拾級而上.第（1）問是探究1的變式，難度不大，類比解決；第（2）問 與第（1）問相比，雖然表象發生了變化，解題思路一脈相承；附加題看似與前面沒有關聯，但只有在充分消化、理解、吸收第（1）問、第（2）問的基礎上，才能找到解題的突破口——用頂點式表示出頂點C的坐標→得到點B的坐標→代入拋物線C2，得到C2的解析式→……，即抓住點C、點B的雙重身份解決問題.縱觀整道題目及解答過程，可獲得如下的思維脈絡：感知（獲得初步經驗）——領悟（對經驗的提煉、積累）——變通（把經驗系統化、智能化）——遷移（活學活用，把經驗轉化為新情景下的思路，形成新的經驗）.如此的循環往復，學生的基本活動就有了經驗獲得后成功的正能量支撐，為后續的學習蘊足動力.

學生的疑難主要是知識性疑難和策略性疑難.毋庸置疑，經過這樣的課堂訓練，對架構在拋物線上圖形變換的規律題掌握比較熟練、扎實，這樣的訓練一定是有效的，甚至是高效的，因為很好地解決了學生的知識性疑難.前面著重強調對學生學習方法的訓練，如果再追加探究3，那就更有利于對學生全面分析問題和解決問題思維品質的培養，提高他們的發散力和創新力，為培養高尖人才奠定基礎，因為有效地幫助學生解決了策略性疑難.

探究3 若將例1題中的“y=x2”改為“y=ax2+bx+c”，“AB =2AD”條件不要，其他條件不變，探索矩形ABCD面積為常數時，矩形ABCD需要滿足什么條件？并說明理由.

解析 ABAD為常數.設拋物線y=a（x+h）2+n，則P（-h，n）.設AD=m，由ABAD=k，得AB=km， PD=12AB=km2.則A〖JB（（〗-h-km2，n+m〖JB））〗，不難解得m=4ak2，所以矩形ABCD的面積為：AB·AD=km2=16a2k3.因為a 為常數，所以k為常數時，矩形 ABCD的面積為常數.

評注 本題是例1的拓展題，為學生提供了一個自主探究、觀察、猜想并進行說理驗證的探究模型，讓學生能在一個逆向的數學情境中感悟知識的發生、發展過程，探索問題的結論和規律的邊與不變，從而真正理解此類問題的特征，對所有學生來說是公平、公正的，同時也對學生的學習與教師的教學起到一個很好的引領作用. 4 幾點思考

由于在復習時間緊、任務重，我們既要系統地復習主干知識和核心知識，又要關注中考的熱點和試題特征，準確把握復習方向；既要注重學生解題的數量和質量，又要注重揭示解題的思維過程，發現學生思維上的漏洞，及時加以彌補；既要關注習題的選擇，又要防止單純地就題論題，注重解題后的反思，以積累解題經驗、形成能力為落腳點；既要重視知識的綜合、聯系，又要關注數學思想方法、策略、學科能力的訓練和培養，把復習工作真正落到實處.在此，提出以下幾點反思.

4.1 反思解題思路

解題思路的形成，就是把從題目中捕捉的有關信息與從儲存機構中提取的有關信息結合起來，進行加工、重組與再生的過程.對思路的形成過程進行反思，就是在解題結束后，回顧自己是如何對信息進行加工、重組與再生.長期堅持這樣的反思，就可以總結出規律性的經驗，有利于思維監控能力的提高，更是一種學會學習能力的培養.endprint

4.2 反思解題方法

著名數學家波利亞指出“數學問題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題之后的回顧……如果沒有了反思，他們就錯過了解題的一次重要而有效益的方面” .很多數學題，由于審題的角度不同，往往有多種解法，如果只滿足于解出就行，時間長了學生會養成“背題”的習慣，而不善于分析和思考.因此，解完一道題后，不應滿足于已有解法，而應再審題、再思考，看能否從其他角度或途徑去尋求新解，尋求最佳的解決方案. 4.3 反思解題規律

解題最基本的目的使學生加深對知識的理解，掌握思考問題基本方法，形成技能、技巧，實現能力的有效遷移.因此，解完題目后，想一想：這道題滲透了哪些思想方法？有沒有規律可循？力求揭示解題規律，做到一般性的推廣和延伸，從而提高學生的化歸能力，提高自我監控能力.特別是有些重要的數學思想和方法的教學會分散在多次課中完成，這就需要學生做有心人，做好“回頭望”工作，把相關問題的解決方法進行歸類整理，形成系統，整體把握，再次遇到這類問題就能觸類旁通，要讓習題教學到達提高學生學習能力的目的.

從例1與3個探究過程中我們可以發現：猜想“改變圖形位置中結論變與不變”一類問題的命題思路為：問題（1）是根據特殊圖形（圖形的特殊位置）直接給出結論或證明的過程；問題（2）是考查學生由問題（1）搜索提取的有效信息，能否進行合理的類比歸納提出猜想，并對猜想選取有效解題策略進行邏輯推理與證明；問題（3）是由問題（2）的拓展與延伸，當然是在原題條件的基礎上弱化條件，變換圖形，繼續探究問題結論變與不變.這樣的設計符合學生的認知規律，既有利于學生發現數學結論的形成過程和數學思想方法的具體運用.同時學生在解決問題的層層深化推進的過程中，體驗到合情推理有助于探索解決問題的思路、發現和猜想結論；演繹推理有助于驗證結論的正確性.更重要的是給我們數學教學指明了航向，要求我們教師要突破傳統習題教學——題海戰術的瓶頸，發揮自己的教學智慧，積極挖掘課本中有效教學的素材，精心選編有典型性、可拓展性、遷移性的“題源”，對問題的條件、結論、背景進行創造性的改編，挖掘出問題的本質，通過邊與不變，培養學生對問題進行深層次構建的數學能力，強化學生思維探究的靈活性、深刻性、創造性.能夠從“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”的本質中探索出“變”的規律，學會數學地思考，體驗“會當凌絕頂，一覽眾山小”解題境界.endprint

4.2 反思解題方法

著名數學家波利亞指出“數學問題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題之后的回顧……如果沒有了反思，他們就錯過了解題的一次重要而有效益的方面” .很多數學題，由于審題的角度不同，往往有多種解法，如果只滿足于解出就行，時間長了學生會養成“背題”的習慣，而不善于分析和思考.因此，解完一道題后，不應滿足于已有解法，而應再審題、再思考，看能否從其他角度或途徑去尋求新解，尋求最佳的解決方案. 4.3 反思解題規律

解題最基本的目的使學生加深對知識的理解，掌握思考問題基本方法，形成技能、技巧，實現能力的有效遷移.因此，解完題目后，想一想：這道題滲透了哪些思想方法？有沒有規律可循？力求揭示解題規律，做到一般性的推廣和延伸，從而提高學生的化歸能力，提高自我監控能力.特別是有些重要的數學思想和方法的教學會分散在多次課中完成，這就需要學生做有心人，做好“回頭望”工作，把相關問題的解決方法進行歸類整理，形成系統，整體把握，再次遇到這類問題就能觸類旁通，要讓習題教學到達提高學生學習能力的目的.

從例1與3個探究過程中我們可以發現：猜想“改變圖形位置中結論變與不變”一類問題的命題思路為：問題（1）是根據特殊圖形（圖形的特殊位置）直接給出結論或證明的過程；問題（2）是考查學生由問題（1）搜索提取的有效信息，能否進行合理的類比歸納提出猜想，并對猜想選取有效解題策略進行邏輯推理與證明；問題（3）是由問題（2）的拓展與延伸，當然是在原題條件的基礎上弱化條件，變換圖形，繼續探究問題結論變與不變.這樣的設計符合學生的認知規律，既有利于學生發現數學結論的形成過程和數學思想方法的具體運用.同時學生在解決問題的層層深化推進的過程中，體驗到合情推理有助于探索解決問題的思路、發現和猜想結論；演繹推理有助于驗證結論的正確性.更重要的是給我們數學教學指明了航向，要求我們教師要突破傳統習題教學——題海戰術的瓶頸，發揮自己的教學智慧，積極挖掘課本中有效教學的素材，精心選編有典型性、可拓展性、遷移性的“題源”，對問題的條件、結論、背景進行創造性的改編，挖掘出問題的本質，通過邊與不變，培養學生對問題進行深層次構建的數學能力，強化學生思維探究的靈活性、深刻性、創造性.能夠從“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”的本質中探索出“變”的規律，學會數學地思考，體驗“會當凌絕頂，一覽眾山小”解題境界.endprint

4.2 反思解題方法

著名數學家波利亞指出“數學問題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題之后的回顧……如果沒有了反思，他們就錯過了解題的一次重要而有效益的方面” .很多數學題，由于審題的角度不同，往往有多種解法，如果只滿足于解出就行，時間長了學生會養成“背題”的習慣，而不善于分析和思考.因此，解完一道題后，不應滿足于已有解法，而應再審題、再思考，看能否從其他角度或途徑去尋求新解，尋求最佳的解決方案. 4.3 反思解題規律

解題最基本的目的使學生加深對知識的理解，掌握思考問題基本方法，形成技能、技巧，實現能力的有效遷移.因此，解完題目后，想一想：這道題滲透了哪些思想方法？有沒有規律可循？力求揭示解題規律，做到一般性的推廣和延伸，從而提高學生的化歸能力，提高自我監控能力.特別是有些重要的數學思想和方法的教學會分散在多次課中完成，這就需要學生做有心人，做好“回頭望”工作，把相關問題的解決方法進行歸類整理，形成系統，整體把握，再次遇到這類問題就能觸類旁通，要讓習題教學到達提高學生學習能力的目的.

從例1與3個探究過程中我們可以發現：猜想“改變圖形位置中結論變與不變”一類問題的命題思路為：問題（1）是根據特殊圖形（圖形的特殊位置）直接給出結論或證明的過程；問題（2）是考查學生由問題（1）搜索提取的有效信息，能否進行合理的類比歸納提出猜想，并對猜想選取有效解題策略進行邏輯推理與證明；問題（3）是由問題（2）的拓展與延伸，當然是在原題條件的基礎上弱化條件，變換圖形，繼續探究問題結論變與不變.這樣的設計符合學生的認知規律，既有利于學生發現數學結論的形成過程和數學思想方法的具體運用.同時學生在解決問題的層層深化推進的過程中，體驗到合情推理有助于探索解決問題的思路、發現和猜想結論；演繹推理有助于驗證結論的正確性.更重要的是給我們數學教學指明了航向，要求我們教師要突破傳統習題教學——題海戰術的瓶頸，發揮自己的教學智慧，積極挖掘課本中有效教學的素材，精心選編有典型性、可拓展性、遷移性的“題源”，對問題的條件、結論、背景進行創造性的改編，挖掘出問題的本質，通過邊與不變，培養學生對問題進行深層次構建的數學能力，強化學生思維探究的靈活性、深刻性、創造性.能夠從“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”的本質中探索出“變”的規律，學會數學地思考，體驗“會當凌絕頂，一覽眾山小”解題境界.endprint