基于時變電荷源計算空間電磁場的嚴格推導

朱 峰，楊 抗

(西南交通大學電氣工程學院，四川成都610031)

0 引言

在工程電磁場教學中，單元輻射子是研究天線輻射的基礎，因此推導出單元輻射子的電場強度和磁場強度具有重要意義。單元輻射子的磁場強度一般是從矢量磁位求旋度計算而來，而電場強度可由三種途徑推導出來。

由于有

1 問題的提出

單元輻射子為一既細又短的導線，它的長度Δl和橫截面尺寸都比電磁波的波長以及到觀察點距離小得多。因此，在單元輻射子上，可以忽略推遲效應，認為通過單元輻射子的電流是均勻和同相的，另外任一觀察點到細導線上各點的距離近似相同[3]。由電荷守恒dq/dt=i，用向量形式表示得到因此可以得到

標量位的散度為

計算出來的電場強度與用另外兩種方法計算出的電場強度的結果不同[1-6]，因此用點電荷計算標量位存在問題。

2 嚴格的理論推導

本文認為對電流密度散度的理解是解決上述問題的關鍵。即便是在微觀世界，也不能夠簡單理解為只有一維方向。如圖1所示，S表示面積。電流元中間部分電流密度都連續，其散度都為零，但是在邊界處電流密度發生突變，此時電流密度的散度不為零。筆者認為正是由于電流密度在其邊界處發生突變，是不能把電流元當成一個點源計算的原因。

圖1 電流元

2.1 推導標量位與電流密度散度的關系

2.2 標量位由正負時變電荷產生的證明

如圖1所示，電流密度在電流源內部連續，只有在其邊界處發生突變，因此在電流源的內部時有在電流源的兩截面S1和S2處有于是有

如圖1所示，可以推導出

如圖2所示，可以推導出

圖2 電振子

將 r1，r2，1/r1，1/r2泰勒展開，忽略高階無窮小[7]，得到

2.3 由時變電荷計算輻射子的電磁場強度

利用球坐標系中求梯度的公式

由電荷守恒以及公式(4)可得

可以推導出洛倫茲規范:

利用時變電荷源計算出來的電場強度和磁場強度與用另外兩種方法計算出的電場強度和磁場強度相同，說明空間電荷也可以當做是計算場的基本源。文獻[7]也提出了利用一對正負時變電荷計算單元輻射子電場強度的計算過程，但是其未對用該方法計算電源輻射子電場強度的合理性進行證明。而且文中的磁場強度仍然是從時變電流源也就是利用動態磁位的方法求得，而本文則是先計算單元輻射子的電場強度，再計算其磁場強度。同時對該文獻中公式(27)的結果進行指正，由該文的計算方法，得到的結果應為

此式與式(3)比較可以發現，計算的結果存在明顯不同。

3 結語

本文深入分析了利用時變電荷源計算單元輻射子電場強度和磁場強度的合理性和求解路徑，得出以下結論:

(1)直接用標量位計算單元輻射子的電場強度時應該用電振子的標量位，而不是單電荷的標量位。

(2)用電振子的標量位代替單電荷的標量位，原因在于電流元的電流密度在其邊界處發生突變，此時電流密度的散度不為零。

(3)電流不一定是時變場的根本源。計算電場場強時，可以從時變電荷源入手，利用電荷守恒從而計算出電流分布的變化，空間電荷也可以是計算場的基本源。

[1]William H.Hay，Jr.John A.Buck.Engineering Electromagnetics.[M](Seventh Edition).Mcgraw-Hill Compannies，Inc.2006

[2]Nannapaneni Narayana Rao.Elements of Engineering Electromagnetics.[M].(Sixth Edition).Person Education，Inc.200

[3]馮慈璋.電磁場.(第二版).[M].北京:高等教育出版社.1980.

[4]楊儒貴.電磁場與電磁波.(第二版).[M].北京:高等教育出版社.2007

[5]陳抗生編著.電磁場理論與微波工程基礎.[M].浙江:浙江大學出版社2009

[6]陳重.崔正勤.胡冰編著.電磁場理論基礎.[M].北京:北京理工大學出版社.2010

[7]王澤忠.單元輻射子電場強度的三種推導.[J].南京:電氣電子教學學報2008(8)