矢量叉積運算滿足分配率的一種簡單證明

焦重慶

(華北電力大學電氣與電子工程學院，北京102206)

0 引言

矢量分析與場論是學習“電磁場”課程的基本數學工具。在矢量分析中，叉積運算則是兩個矢量之間的基本運算之一。叉積教學時，一般要先講其幾何定義:

其中，A、B為矢量，A、B分別為其模。θ為A、B之間的夾角。en是與A、B都垂直的單位矢量，且A、B、en三者呈右手螺旋關系。

然后，介紹叉積在直角坐標系下的計算公式:

式中，ex，ey和ez分別為x，y和z方向的單位矢量。

從式(1)到式(2)，其關鍵是承認叉積運算滿足分配率，即

上式根據式(1)給出的幾何定義，并根據以下六個等式直接導出:

在電磁場教材中，一般對叉積運算的分配率性質沒有給出證明[1-4]。實際上，這一性質的得出并非顯而易見，由于涉及到方向的旋轉問題，具有一定的難度，特別是對于初學的本科生。在美國麻省理工學院教材中，特意在附錄部分用約1頁的篇幅，對這一性質進行了證明，但過程稍顯復雜[5]。

本文則借助于矢量之間的標量三重積等式，給出了叉積運算滿足分配率的一種非常簡單的證明。

1 標量三重積

矢量A、B、C之間的標量三重積定義為A·(B×C)，它滿足如下等式

上式證明見圖1。A·(B×C)代表了圖1中平行六面體的體積，同理，B·(C×A)和C·(A×B)均代表了該平行六面體的體積。不難理解，式(5)的得出并不需要用到叉積運算滿足分配率性質。

圖1 標量三重積的幾何意義示意圖

2 叉積運算滿足分配率的證明

借助式(5)，有

由于點積運算滿足分配率，進而從上式可得:

上式第二步的導出用到了式(5)。綜合式(6)和式(7)，有

由于C的任意性。從式(8)導出

叉積運算滿足分配率由此得證。

3 結語

矢量之間的叉積運算滿足分配率是推導直角坐標系下叉積計算公式的基礎。叉積運算滿足分配率的證明過程在一般電磁場教材中很少涉及。本文提出了一種證明叉積運算滿足分配率的方法，該方法基于矢量之間標量三重積的循環等式，具有思路新穎且簡單易懂的特點，對電磁場理論部分教學有參考意義。其中，標量三重積的循環等式的證明依據了平行六面體的體積公式，屬于一般電磁場教材上的常規內容，幾何意義明確且便于學生理解和接受。

[1]倪光正.工程電磁場原理[M].北京:高等教育出版社，2009.

[2]馮慈璋，馬西奎.工程電磁場導論[M].北京:高等教育出版社，2000.

[3]王澤忠，全玉生，盧斌先.工程電磁場[M].北京:清華大學出版社，2011.

[4]雷銀照.電磁場[M].北京:高等教育出版社，2008.

[5]Markus Zahn.Electromagnetic Field Theory:A Problem Solving Approach[M].Krieger Pub Co，2003.