立體視覺中三維定位誤差分析的教學研討

李曉峰，王蒙蒙，周 寧，陳如通

(電子科技大學通信與信息工程學院，四川成都611731)

立體視覺是由多幅圖像(一般兩幅)獲取物體三維信息的方法[1]。物體表面的每一點對于成像面都有一條投射光線，而這條直線上的每個點在圖像上都有相同的二維投影坐標。若已知兩幅從不同角度對同一物體拍攝得到的圖像，則物體在這兩個成像面上的投影光線將在空中相交于一點，這一點的值即可視為被測物體的三維坐標[2]。由于可以直接獲得物體的空間位置，立體視覺是人類利用雙眼獲取環境三維信息的主要途徑。隨著計算機視覺理論的發展，它在工業測量中發揮的作用越來越重要，具有廣泛的應用性[3]。所以對立體視覺的研究是十分有意義的，而且其中所涉及的數學運算較為基本，是本科生“數字圖像處理”與“綜合課程設計”等課程的教學內容。立體視覺教學涉及的直觀有趣的實驗可以鍛煉學生的創新與實踐能力，是一個很好的教學模型。

本文基于攝像機成像的針孔模型，以參考文獻[4]為例，通過對比的方式幫助學生分析三維定位的誤差處理，促進學生創新意識與實踐素質的提高。

1 三維定位誤差的分析方法

在立體視覺三維測量中一般采用針孔模型來描述攝像機成像模型[5]。根據已知的一組空間點的三維坐標及其對應的圖像平面上投影得到的二維坐標來確定攝像機成像模型參數。但傳感器分辨率限制與量化誤差等原因造成檢測到的目標點與其真實位置之間存在誤差。

立體相機的設置如圖1所示。典型情況是兩臺攝像機放在高度相等、光軸平行的位置上，左右成像平面的圖像坐標系中原點為(I0，J0)。dv，du分別為兩成像平面的水平和垂直像素尺寸，在常見的情況下有dv=du?？臻g中某點S(x，y，z)在左右圖像平面上的投影點分別為(Il，Jl)，(Ir，Jr)。

圖1 立體相機設置

假設兩相機的焦距都用f表示，基線距離為Δ，由三角幾何原理容易得到的坐標為

實際上數字圖像的坐標只取整數，成像過程中引入量化誤差。因此，上式中(Il，Jl)和(Ir，Jr)應該更換為兩個實數，它們位于(Il±1/2，Jl±1/2)與(Ir±1/2，Jr±1/2)區間。分析中重點關注的是y－z坐標，它們對應于目標的縱深與水平位置。準確的描述為

其中，nl和nr為0到1之間的小數部分，其意義在本節末表述。

從公式(1)中可以看出，S點的y、z坐標僅是J的函數，而與I相互獨立。因此，可以僅通過y－z水平切面來分析目標點的y、z分量。為了分析量化誤差，可以考慮左右平面上的一個像素通過交匯所對應的微小目標區域，如圖2所示。這個區域(四邊形P1P2P3P4)就是量化造成的不定區域(ROU)，也就是誤差區域。

圖2 立體空間中目標點的量化誤差區域

為了分析量化誤差，相關參考文獻[4]研究了nl，nr概率特性。左圖像像素L－L+內任取一點對應于ROU中線段 的投影;再劃分為微元，它在右圖像像素 R－，R+間投影為微分 δnr。參考文獻基于幾何關系通過計算線段長度|P5－P6|與|P7－P8|求解邊緣概率密度，最終得出nl，nr的聯合分布概率密度:

式中，nl，nr正是量化舍棄的部分。

2 參考文章中誤差分析的改進

參考文章[4]是一篇經典文獻，它對三維定位誤差的分析并不深奧，但是過程相當繁瑣，學生閱讀時常常感到過于繁雜而不能深入理解。例如，在以立體視覺定位實驗作為項目的“綜合課程設計”中，學生首先學習有關的基本原理，而后通過實驗拍攝多組圖像，分別計算各個目標的位置，最后分析定位誤差。實驗中該文章被用做參考文獻，但教學實踐發現，大多數學生閱讀此文獻非常困難，教學效果很差。分析其主要原因在于其中的推導繁瑣且篇幅很長。其實，學生已學知識本身已經可以方便地解決這個看似復雜的問題。由此我們提出利用概率論和隨機信號分析中的標準方法完成這一分析的方案。

首先，由成像公式(2)可以看出 y，z為 nl，nr的函數，根據概率論可得到

其中，|J|為雅可比行列式[6]:

考慮ROU為均勻分布區域，則f(y，z)是ROU的面積的倒數，進而可得

將這一方案用于教學實踐后發現，因為都是學過的知識，學生容易理解。特別是通過運用已學知識有效地解決這種國際一流學術期刊中的問題，對學生探究問題是很大的鼓舞。他們普遍反映這種方法既提高了融會貫通的能力，又增強了探究問題的信心，因而很有收獲。

教學實施中其實還遇到一個新的問題，這種方法得到的nl，nr聯合分布密度結果與文獻所述的有所不同，而且反復檢查理論推導并沒有發現問題。這時，正是指導學生通過實驗驗證分析的良好時機。

3 仿真實驗

在比較上述這兩個結論時，它們的差異在許多地方并不很突出，只是在特殊點的地方差異明顯。因此，實驗過程中學生需要有意地選取特殊點來突出與簡化問題。

本實驗中設定兩攝像機基線距離Δ=50mm，攝像機焦距 f=25mm，像素尺寸 dv=12.9μm[7]。選擇某對像素Jl，Jr，在相應的ROU區域產生3百萬個隨機點，它們在左右像平面上成像在這對像素周圍，統計這對像素量化區間內20×20的三維直方圖，記下它們 50 次的平均值為 m1，1，m1，2，…，m20，20，而式(3)和式(5)的理論值分別記為 P1，1，P1，2，…，P20，20和 q1，1，q1，2，…，q20，20。圖 3 給出了兩公式理論值與統計值相差的一個例子(這里Jl=10，Jr=-3，單位:像素)。

圖3 理論值與統計值的差值統計

由圖3可以看出，參考文獻[4]的公式(3)比我們推導的公式(5)誤差大很多。更好的分析是對數據進行歸一化整理[8]。表1為當Jl，Jr選取不同數值時兩種方法得到的歸一化誤差的比較，其中δ1，δ2分別為式(3)和式(5)的歸一化誤差:

表1 Jl，Jr選取不同數值時歸一化誤差比較

可以清楚地看出，δ2明顯優于δ1。當Jl和Jr選取不同數值時，δ1的波動較大，δ2則趨于平穩。且|Jl|，|Jr|越小，μ = δ1/δ2越大。進行更為充分的實驗后，可以得出結論:利用雅可比行列式計算的式(5)才符合實驗數據，我們的結論是正確的。

4 結語

本文簡要闡述了立體視覺中三維定位誤差分析的過程，對比于參考文章提出了更簡單的誤差處理方法，有效地將復雜的計算過程簡單化并得到正確的結果。此方法簡單直觀，學生容易接受。同時我們還利用Matlab仿真實驗，指導學生通過實驗對比解決疑惑，讓學生在對比分析中理解和掌握相關的數據處理方法。

[1]馬頌德，張正友.計算機視覺[M].北京:科學出版社，1998:72-75.

[2]王彥霞，王震洲，劉教民.基于雙目立體視覺的三維重建算法[J].石家莊:河北科技大學學報，2008，29(3):219-222.

[3]尚 倩等.基于雙目視覺的關鍵點的檢測方法及定位研究[J].北京:計算機測量與控制，2011，19(7):1565-1568.

[4]STEVEN D.BLOSTEIN，THOMAS S.HUANG.Error Analysis in Stereo Determination of 3-D Point Positions[J].IEEE TRANSACTIONS ON PATTERN ANALYSIS AND MACHINE INTELLIGENCE，1987，9(6):752-765.

[5]高俊釵，雷志勇，王澤民.高精度測量的相機標定[J].洛陽:電光與控制，2011，18(2):93-95.

[6]李曉峰，李在銘，周寧等.隨機信號分析[M].北京:電子工業出版社，2007:12-14.

[7]JiandanChen，SiamakKhatibi，WlodekKulesza.Depth Reconstruction Uncertainty Analysis and Improvement-The DitheringApproach[J].Image and Vision Computing，2010，28:1377-1385.

[8]費業泰.誤差理論與數據處理[M].北京:機械工業出版社，2000:118-133.