磁懸浮實驗分析

王慧娟，李 琳

(華北電力大學電氣與電子工程學院，1.河北保定071003;2.北京102206)

磁懸浮教學實驗是“電磁場”課程中經典實驗之一，通過該實驗可以讓學生對課堂教學中電磁感應定律、電磁力等內容有更深刻的理解，提高教學效果，增進學生對電磁場現象過程的感性認識，拓展學生的動手能力。目前，有關磁懸浮實驗分析的理論較少[1，2]，本文結合磁懸浮實驗系統，對實驗原理及算法進行探討、分析，供教師和學生參考。

1 實驗系統

磁懸浮實驗系統如圖1所示。圖中設備的參數如下:盤狀線圈匝數N=250匝，內徑R1=31mm，外徑 R2=195mm，厚度 h=12.5mm，質量 M=3.1kg，鋁板的厚度為14mm，自耦變壓器電壓量程為0～100 V，電流0～30 A，交流電源為220V，50Hz。

圖1 磁懸浮實驗系統

扁平盤狀線圈的激磁電流由自耦變壓器提供，盤狀線圈放在鋁板上，當線圈中的正弦交變電流增大到某一值時，由于鋁板中產生的感應渦流的去磁效應，克服了線圈自身的重力，線圈便被浮起。

實驗原始數據如表1所示。

表1 線圈所加電流與鋁板起浮高度

2 磁懸浮力的兩種算法及分析

磁懸浮力的分析法通常都是基于理想的情況下分析的，即假設鋁板是理想導體，并且無限大，不存在熱損耗，鋁板的厚度足夠大，以致磁場能量無法透過它。

2.1 算法一

這種算法是從能量的角度來計算的，也是普遍采用的理論分析法[3，4]，線圈等效為平均半徑為 a的N匝線圈，導線的半徑R遠遠小于浮起高度h。則根據鏡像法可求得該磁系統的自感為

將盤狀載流線圈和鋁板的組合看成一個磁系統，則其對應于力狀態分析的磁場能量

式中，I為激磁電流的有效值。按虛位移法可求得作用于該系統的電動推斥力，也就是作用于盤狀載流線圈的向上的電磁懸浮力為

將式(1)代入上式得

當磁懸浮達到穩定時，磁力與盤狀線圈重力相等，即有

整理即可得到工作電流與懸浮高度的關系為

2.2 算法二

這種算法是從磁感應強度的角度直接推算的。假設在理想的情況下，如果盤狀線圈為載有電流I的單匝線圈，距離鋁板的高度為 h，應用鏡像法[5，6]。該電流環和在導電平面中所感應電流的合成場可以等效為原電流和對稱反向的鏡像電流合成的磁場，如圖2所示。環形電流的磁場由此可推導得到[7]。

根據文獻[9]的推導可知，如圖3所示的半徑分別為a和a'的兩個共軸圓環，圓心相距為b，分別載有電流I和I'。

圖2 鏡像法示意圖

圖3 共軸圓環電流

載流為I'的電流環所受沿z方向的電磁力FZ為

其中，令k2=4aa'/(a2+a'2+2aa'+b2)

當 a=a'，I=I'=NI，b=2h 時有

2.3 算法分析

算法一和算法二都是在理想的情況下推導出來的電流環和鋁板之間的作用力，算法一的電感計算中采取了近似，因此式(4)是式(8)的近似。式(4)表達式簡潔，方便計算:而式(8)含有橢圓積分，需用軟件計算，現在對兩式的計算結果做對比。

取圓盤的等效半徑為內徑和外徑的平均值，即a=(R1+R2)/2，勵磁電流取20A，用Matlab計算得到兩種算法的懸浮力隨起浮高度h變化的誤差為δ，δ=(F1－F2)/F2×100%。其中 F1為算法一得到的力，F2為算法二得到的力。誤差如圖4(a)所示。當起浮高度一定(取1cm)，且勵磁電流20A時，誤差隨等效半徑a的變化曲線如圖4(b)所示。

圖4 誤差分析

可見，兩種算法的誤差隨著懸浮高度的增加而變大。隨著圓環電流半徑的增大而減小，在懸浮高度不大，等效半徑取平均半徑時，兩種算法誤差不大(小于10%)，磁懸浮力可近似用算法一計算。當懸浮高度增加時，誤差增大。

2.4 算法與實驗結果的對比

以14mm厚的鋁板的實驗數據為基準，比較兩種算法在相同的勵磁電流和起浮高度下計算得到的懸浮力，如圖5所示。F1為算法一得到的磁力，F2為算法二得到的磁力，F0為實驗力，與盤狀線圈重力相等，根據式(5)可計算得到。

圖5 磁懸浮力對比

可見，這兩種算法在相同的勵磁電流和起浮高度下，得到的結果近似，但都比重力大很多，與實驗數據誤差較大，其原因有三點:①這兩種算法均為理想狀況下的計算結果。而在本實驗中，當頻率為50Hz時，鋁板的集膚深度為12mm，當選用14mm厚的鋁板時僅近似滿足這一要求，實際上有很大一部分磁場能量泄露掉了，沒有用于克服重力;②盤狀線圈的等效半徑被簡單的等效為內外徑的平均值，根據文獻[6]，在內外徑差距較大時，等效半徑應采用公式RoL=(R2－R1)/In(R2/R1)來計算;③在實驗過程中計算時被忽略的部分渦流熱損耗。

3 磁懸浮力的數值仿真

3.1 單匝線圈仿真

由于理論計算中沒有考慮頻率和等效半徑對磁懸浮力的影響，現用軟件Comsol對該磁懸浮系統進行建模仿真。模型如圖6(a)所示，取盤狀線圈的等效半徑為內外徑平均值113mm，導線為半徑1mm的銅線，勵磁電流20A，懸浮高度為1cm，底盤半徑為250mm，厚度14mm的鋁盤，計算得到在鋁盤的軸向截面上感應電流在頻率為50Hz和200Hz時的分布情況，分別如圖6(c)和圖6(d)所示。

圖6 單匝線圈仿真

可見隨著頻率的升高，集膚效應明顯。電磁力逐漸增大，如圖6(b)所示，當到達一定頻率，電磁力趨于穩定，可認為渦流只在鋁板的表面流動，與理想情況近似。

從圖6(b)可知，當頻率為3kHz左右時，磁力F=N2f=2502×0.0023≈144N，與圖5的理論計算結果近似，可見隨著頻率升高，磁懸浮力的仿真結果與理想情況下的理論計算趨于一致。

3.2 多匝線圈仿真

由圖6(b)可知，當頻率為50Hz時，單匝線圈的電磁力F≈0.0015N，所以等效的盤狀線圈總的磁懸浮力F=N2f≈94N?？梢?，當模型采用單匝線圈，等效半徑為平均半徑時，計算得到的電磁力與圓盤的重力(30N)相差仍很大。其原因是由于鋁板的尺寸比盤狀線圈的外半徑大得不很多，實際上有部分能量通過鋁盤的邊緣散失了，而模型中等效的線圈半徑比實際線圈的外半徑小很多，磁場能量幾乎未變。

現用多匝線圈來建模，為方便計算，取5匝等效線圈，即將盤狀線圈的寬度R2-R1平均分成5份，然后計算每份寬度的等效半徑RCL，分別得到五份的等效半徑 r1，r2，r3，r4，r5，然后建模。導線采用與實驗一致的片狀鋁導線，如圖7(a)所示。五匝線圈的電磁力頻率特性如圖7(b)所示。

圖7 多匝線圈仿真

從上圖可知，當頻率為50Hz時，5匝線圈的磁力為0.0124N，則作用于盤狀線圈總的磁力在小為F=(N/5)2f=2500f=31N，與鋁盤的重力大致相等。所以，這種多匝等效模型與實際情況更相符，能較為精確地表示盤狀線圈的受力情況。

4 結語

磁懸浮實驗涉及到“電磁場”課程的若干個知識點，包括電磁感應、磁場能量、電感參數和集膚效應等。本文結合這些知識點，分析了磁懸浮的兩種理論算法，與實驗結果做了對比。筆者在仿真建模的基礎上，提出了等效多匝線圈的建模方法。驗證表明，這種方法與實驗結果更接近，能比較精確地計算出盤狀線圈的受力情況。

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