基于排隊論的防空導彈武器系統作戰效能研究*

趙廣彤，俞一鳴，劉群，王成

(1.北京特種機電技術研究所，北京 100012； 2.北京電子工程總體研究所，北京 100854)

0 引言

防空導彈系統在擔任掩護某固定目標或移動目標的任務時,指揮員需要根據被掩護目標的特點,來襲目標特性、種類、目標來襲強度,以及出現的各種空情環境等信息來確定部署防空導彈武器系統的類型及數量,或評估已部署地空導彈的作戰效能及效費比。如果部署的導彈數量過多,就會出現資源浪費的現象,過少則不能完成指定作戰任務,所以需要一種有效的方法來解決此類問題。從排隊論的角度看,防空導彈系統是一個隨機服務系統,用排隊論方法可以解決這類問題[1-3]。

1 效能分析方法

武器系統效能分析方法多種多樣，歸納起來可以分為4類：解析法、指數法、統計法和作戰仿真方法。排隊論屬于統計法中常用的一種分析方法。

1.1 解析法

解析法是根據所描述效能指標與給定條件(常常是低層次系統的效能指標及作戰條件)之間的函數關系建立解析表達方式并計算獲得武器系統作戰效能。解析表達式可以直接根據軍事運籌理論建立，也可以用數學方法求解所建立的效能方程得到。早在第一次世界大戰初期，英國人Lanchester F W建立了描述作戰雙方兵力損耗過程的微分方程——Lanchester方程，開創了用數學理論研究作戰效能的先河。另外，ADC法、排隊論法等都屬于此類方法。解析法的特點是表達公式明了，易于理解，計算簡單，且物理意義明確、便于進行變量間關系的分析和應用。但所能考慮的因素少、只在嚴格限定的假設條件下有效，否則難于求解，因此只適宜于簡單問題的描述或低層次問題的表達。

1.2 指數法

指數法也是一種解析法，由于它突出的特點而成為一種獨立的方法。指數法有很多種，如冪指數法、杜佩指數法、綜合指數法等。指數法就是把系統中的因素量化為可以對比的相對于同一個量的數值。指數法提出了一個建立在軍事專家們的豐富經驗之上的統一度量標準，在量化方面有所發展，具有結構簡單、使用方便的特點，適用于對武器系統的宏觀分析和快速估計，而且指數法的效能模型建立在武器系統自身戰技指標的基礎上，避開了大量不確定因素的影響，從而增強了評估的確切性，對一些系數的確定也采用了層次分析法等專家評估法。但是，指數法的缺點是描述不細微較粗糙，只適用于宏觀評估。

1.3 作戰仿真法

作戰仿真實質是以計算機仿真模型為試驗手段，通過在給定數值條件下運用模型來進行作戰仿真試驗，由試驗得到的關于作戰進程和結果的數據可直接或者經過統計處理后給出效能指標的估值。

作戰仿真方法考慮了攻防對抗，以具體作戰環境和一定兵力編制為背景，能夠實施戰斗過程的演示，比較形象，但需要大量可靠的基礎數據和原始資料作為依托。要得到可靠結果依賴于有計劃的、長期大量數據的積累，仿真時對作戰環境的模擬比較困難，如干擾環境的不確定性將直接影響結果?？傊?，作戰仿真對于武器系統作戰效能分析具有不可替代的作用，能詳細地考慮影響實際作戰過程的因素，能在一定程度上反映對抗條件和交戰對象，考慮了武器系統的協同作用、武器系統的作戰過程以及不同規模作戰效能的差別，因而特別適合于進行武器系統作戰方案的作戰效能指標的預測評估。但是，作戰仿真方法也存在缺點，一方面建模難度大、編程任務重、仿真試驗工作量大，另一方面所得的仿真結果物理意義不明確，并且不易得到規律性結論。

1.4 統計法

統計法是根據實戰、演習、試驗獲得的大量數據，采用數理統計方法對數據進行處理得到一個武器系統的作戰效能評估結果。統計法應用的前提是所獲統計數據的隨機特性可以清楚地用模型表示，由于它直接來源于實踐和實戰，因此它是最可信、最可靠的效能評估方法。但一個評估方法要有一定的置信度，就必須建立在大量數據的基礎上，如果這些數據的取得僅依賴于實踐和實戰，代價將極其昂貴。因此，它僅適用于武器系統單個效能指標的評估，也很難獲得所有因素對效能的影響規律，并且此方法只能用于經過實戰的武器系統的效能分析，而不能用于正在設計中的武器系統的效能分析。

排隊論是一種常用的統計分析方法，其基本思想是1910年丹麥電話工程師的A.K.埃爾朗在解決自動電話設計問題時開始形成的，當時稱為話務理論。排隊論就是通過對服務對象到來及服務時間的統計研究,得出這些數量指標 (等待時間、排隊長度、忙期長短等)的統計規律，然后根據這些規律來改進服務系統的結構或重新組織被服務對象,使得服務系統既能滿足服務對象的需要,又能使機構的費用最經濟或某些指標最優。凡是出現排隊現象的地方,一定有“顧客”，又遵守一定服務規則的“服務機構”,存在一定的“排隊規則”。這3個條件構成了排隊現象的基本要素,說明了排隊現象的和排隊服務的基本過程[4-6]。

2 計算模型

運用排隊論進行分析，首先明確以下條件[5]：

(1) 來襲目標流服從泊松分布，來襲時間間隔服從負指數分布，即

f1(t)=λe-λt，

式中:λ為目標流強度，即平均單位時間內來襲的目標數；1/λ為目標的平均到達間隔時間。

(2) 防空導彈對每個目標的服務時間(包括攔截時間、射擊準備時間和攔截間隔時間)服從負指數分布，即

f2(t)=μe-μt，

式中：μ為服務率，即平均單位時間內攔截的目標數；1/μ為防空導彈對每個目標的平均服務時間。

(3) 目標在防空導彈發射區內的停留時間服從負指數分布，即

f3(t)=νe-νt，

式中：ν表示目標的流失率，即平均單位時間內由于等待時間過長而流失的目標數；1/ν為目標的平均等待時間。

(4) 不考慮目標分配，來襲目標按照“先到達先服務”的規則接受服務，有空閑通道即對目標進行攔截，沒有空閑通道目標則排隊等待。

3 排隊論基本模型

排隊論模型的系統狀態轉移圖如圖1所示[7]。

圖1 系統狀態轉移圖Fig.1 System state transfer chart

圖1中，S為服務臺數，即目標通道的數量。

圖1表示系統從每一個狀態向另一個狀態的變化的規律，根據該圖可以列出狀態轉移方程：

式中：Pn(t)為t時刻有n個目標正在接受或等待服務的概率。

當λ>0，μ>0，ν>0的條件下，系統存在穩定解，即當t→+∞時，dPn=0，可以得到穩態概率為[8]

(1)

(2)

(3)

根據little公式可以得到

L=λPt(1/ν)，

(4)

式中：Pt為目標未被攔截的概率；L為隊長：

(5)

(5)

將式(5)和式(3)代入式(4)，可以求出：

(6)

因此，目標被攔截的概率為

PA=1-Pt.

(7)

4 事例分析

4.1 藍方空襲想定

需要的目標參數主要是目標速度、目標來襲強度和目標組成。初步將防空導彈武器系統所攔截的目標分為2類：

(1) 第1類目標

第1類目標為非隱身飛機類目標，對該類目標的攔截受雷達作用距離和導彈可用過載的影響，具有較大反射面積，速度較慢。

(2) 第2類目標

第2類目標為導彈類目標，對該類目標的攔截受雷達作用距離和導彈可用過載的影響，目標的飛行速度較快。

所有目標的平均速度為

(8)

式中：vTi為第i類目標的速度;CTi為第i類目標在總目標中所占比例;N所含目標的種類。

公式(8)用于計算不同類型目標以一定泊松流密度來襲時的平均速度。

4.2 紅方武器系統模型

4.2.1 武器系統仿真想定

武器系統仿真想定簡單描述如下[9-10]：

(1) 空中目標如果被至少一個雷達站發現，則此空中目標就認為已被觀察到；

(2) 發現空中目標時就向火力單元進行目標分配；

(3) 目標分配是按給定的時間步長進行的；

(4) 火力單元各個組成部分的工作按照其功能循環過程進行模擬；

(5) 空中目標只有在被火力單元的雷達發現后，才能從該火力單元發射防空導彈攔截目標；

(6) 對空中目標的射擊一直到將其消滅為止，或導彈全部消耗盡為止；

(7) 不考慮火力單元重新裝填導彈。

4.2.2 目標分配原則

防空導彈武器系統火力單元的目標分配原則簡單描述如下[11-12]：

(1) 只對已發現的空中目標進行目標分配；

(2) 目標只分配給具有空閑火力通道的火力單元；

(3) 對導彈與目標的遭遇點坐標進行預測，并估計此遭遇點是否落入火力單元的殺傷區內；

(4) 目標分配以攔截時間總和為最小原則。

4.3 仿真計算結果分析

俄羅斯“道爾-M1”防空導彈武器系統1個火力單元(1輛戰車)即可作為1個作戰單元，目標通道數S=2，“響尾蛇”防空導彈武器系統1個火力單元目標通道數S=1，1個作戰單元的目標通道數S=3。

以2型武器系統仿真參數作為仿真輸入，參見表1。分別對攔截固定翼飛機、導彈類目標以及同時攔截多類型目標時的作戰效能進行了計算，分別計算了“道爾-M1”1～4輛戰車和“響尾蛇”1個作戰單元的作戰效能。

表1 殺傷空域參數表Table 1 Velocity and killing zone

(1) 對單一目標的作戰效能

攔截相同目標流的固定翼飛機類目標時，“道爾-M1”作戰效能較“響尾蛇”具有明顯優勢。尤其應對大目標流強度時，仍保持較高的作戰效能。計算結果見表2，對比情況見圖2。

表2 攔截固定翼飛機的作戰效能計算結果Table 2 Combat effectiveness contrast results of heading off battle plans

圖2 攔截固定翼飛機作戰效能對比圖Fig.2 Combat effectiveness contrast chart of heading off battle plans

表2中給出了“道爾-M1”1～4輛戰車和“響尾蛇”1個作戰單元的作戰效能。由于“道爾-M1”1輛戰車就可作為1個作戰單元使用，所以圖2給出了“道爾-M1”1輛戰車與“響尾蛇”1個作戰單元的作戰效果對比圖。

攔截導彈類目標，在目標流不大情況下，“道爾-M1”與“響尾蛇”均能保持較高的作戰效能，當應對大目標流強度時，“道爾-M1”系統仍保持較高的作戰效能。詳細計算結果見表3，對比情況見圖3。

表3 攔截導彈類目標的作戰效能計算結果Table 3 Combat effectiveness contrast results of heading off missiles

圖3 攔截導彈類目標作戰效能對比圖Fig.3 Combat effectiveness contrast chart of heading off missiles

如表4和圖4所示，在相同目標類型、目標數量及目標流強度條件下，“道爾-M1”較“響尾蛇”具有高的作戰效能。當目標流為24枚/min時(包括12枚固定翼飛機和12枚巡航導彈)，“道爾-M1”1輛戰車仍能保持較高的射擊效能(83%左右)，而“響尾蛇”1個作戰單元下降較快(37%左右)，已經無法滿足有效攔截來襲目標的任務。隨著目標流的增大，這種趨勢愈發明顯，通過增配“道爾-M1”的戰車數量，仍能有效攔截來襲目標。

表4 攔截多類型目標的作戰效能計算結果Table4 Combat effectiveness contrast results of heading off aims

圖4 攔截多類型目標作戰效能對比圖Fig.4 Combat effectiveness contrast chart of heading off aims

5 結束語

本文通過采用排隊論的方法，對具有代表性的第2代防空導彈武器系統“響尾蛇”和第3代防空導彈武器系統“道爾-M1”進行作戰效能分析?？梢钥闯?，第3代防空導彈武器系統由于具備目標通道數多、殺傷空域大及作戰部署靈活(1輛戰車就可作為獨立的作戰單元開展作戰)等特點，其作戰效能遠大于第2代防空導彈武器系統的作戰效能，尤其針對大批次來襲目標情況下，第3代防空導彈武器系統的作戰效能凸顯。防空導彈編配部署及作戰模式研究可以據此計算結論開展進一步的研究。

參考文獻：

[1] 鄭春柏，魯小強，康永文，等. 排隊論在地空導彈系統作戰評估中的應用研究[J].艦船電子工程，2009(9)：47-49.

ZHENG Chun-bai，LU Xiao-qiang，KANG Yong-wen，et al. Research and Application of Queuing Theory in Surface to Air Missile System Appraisin[J]. Ship Electronic Engineering, 2009(9)：47-49.

[2] 宋志剛，魏太林，朱華邦.基于排隊論的艦空導彈系統群的作戰效率研究[J].現代防御技術，2008，36(2)：10-13.

SONG Zhi-gang,WEI Tai-lin, ZHU Hua-bang. Queuing Theory Based Evaluation of Ship to Air Missile System Group Operational Effectiveness[J]. Modern Defence Technology, 2008，36(2)：10-13.

[3] 苑立偉,楊建軍,張多林. 基于排隊論的防空導彈群作戰效能研究[J]. 現代防御技術，2005，33(5)：4-7.

YUAN Li-wei, YANG Jian-jun, ZHANG Duo-lin. Research on Operational Efficiency of Air Defencem Issile Group Based on Queuing Theory[J]. Modern Defence Technology, 2005，33(5)：4-7.

[4] 俞坤東,高桂清,趙后隨.一種防空系統射擊效能的評價模型[J].現代防御技術，2008，36(3)：6-9.

YU Kun-dong, GAO Gui-qing, ZHAO Hou-sui. An Evaluation Model of Fire Efficiency on Air Defense System[J]. Modern Defence Technology,2008，36(3)：6-9.

[5] 羅金亮,王璽.防空導彈網絡化作戰體系結構及效能評估[J].艦船電子對抗，2010，33(6)：77-80.

LUO Jin-liang,WANG Xi. Structure and Effectiveness Evaluation of Air-Defense Missile Network Combat System[J].Shipboard Electronic Countermeasure, 2010，33(6)：77-80.

[6] 陸傳賚.排隊論[M].北京：北京郵電大學出版社,2009.

LU Chuan-lai.Queue Theory[M]. Beijing: Beijing University of Post Telecommunication, 2009.

[7] 文仲輝.戰術導彈系統分析[M].北京：國防工業出版社,2000.

WEN Zhong-hui.Tactics Missile System Analyse[M].Beijing:Nation Defence Industrial Press,2000.

[8] 劉石泉.彈道導彈突防技術導論[M].北京：中國宇航出版社,2003.

LIU Shi-quan. Ballistic Missile Critical Technology[M].Beijing:China Astronautic Publishing House,2003.

[9] 王正元,劉靖旭,譚躍進,等. 基于作戰仿真的裝甲車輛作戰效能評估方法[J].國防科技大學學報，2004，26(2)：106-109.

WANG Zheng-yuan, LIU Jing-xu, TAN Yue-jin, et al. Combat Effectiveness Evaluation of the Armored Vehicle Based on Combat Simulation[J].Journal of National University of Defense Technology,2004，26(2)：106-109.

[10] 穆中林,于雷,廖俊,等.編隊對地攻擊作戰效能評估指標體系[J].火力與指揮控制,2011,36(1)：87-89.

MU Zhong-lin,YU Lei,LIAO Jun,et al. Research on the Index System of Operational Effectiveness Evaluation for Formation Attacking Ground Target[J].Fire Control & Command Control, 2011,36(1)：87-89.

[11] 彭紹雄，李學園，鄒強，等. 基于排隊論的艦空導彈武器系統射擊效能研究[J].戰術導彈技術,2011(4)：5-7.

PENG Shao-xiong，LI Xue-yuan，ZOU Qiang，et al. Research on Antimissile Firing Effectiveness of Ship-to-Air Missile System Based on Queuing Theory [J].Tactial Missile Technology, 2011(4)：5-7.

[12] 張勝濤,婁壽春,王君.基于排隊論的防空部署效率分析[J].上海航天，2006(4)：55-57，64.

ZHANG Sheng-tao, LOU Shou-chun, WANG Jun. The Efficiency Evaluation of Air Defense Weapon System Based on Queuing Theory[J].Aerospace Shanghai,2006(4)：55-57，64.