滾動軸承動力學模型研究進展

劉保國, 孟華

(河南工業大學，鄭州 450000)

隨著機械工業的發展，對滾動軸承的精度、性能、壽命和可靠性要求越來越高，其中對軸承動態性能的研究尤為重要，為此，下文對軸承動力學模型研究進展進行論述。

1 軸承動力學模型研究

1.1 發展歷程

軸承力學模型經歷靜力學分析模型、擬靜力學分析模型、動力學分析模型3個發展階段。早期僅根據理想的運動狀態和簡單的運動關系建立靜力學分析模型，很難準確預測和描述軸承運動狀態。擬靜力學分析模型相對完善，可有效預測滾動體轉速、軸承疲勞壽命、軸承變形和剛度等運動參數，可基本滿足工程需要，但不能分析軸承瞬態不穩定現象，也不能完整描述軸承動態性能。動力學分析模型不僅可有效分析軸承的載荷和轉速隨時間變化時的工作狀態及滾動體和保持架的穩定性等，而且可更真實準確地描述軸承的動態和穩態運動，所以近些年動力學分析方法的研究開始得到重視。

高速軸承動態性能分析始于20世紀60年代，文獻[1-2]最早對軸承擬靜力學問題進行討論和分析，在傳統靜力學分析的基礎上提出套圈滾道控制理論，假設滾動體的運動狀態是純滾動，無自旋運動，同時在對高速轉動下的軸承進行受力分析時考慮陀螺力矩和離心率的作用，但模型中未考慮彈性潤滑的作用，不能正確預測軸承的內部滑動。隨著彈流理論的發展，文獻[3]在擬靜力學模型的基礎上考慮潤滑和慣性力的作用，建立軸承擬動力學分析模型，可分析軸承的變形、滾動體的自轉和公轉速度等穩定性參數，但仍不能分析軸承瞬時不穩定性及時變參數的影響等動態性能，故在此基礎上研究和探索軸承動力學模型。文獻[4]最早建立4自由度球軸承動力學模型，對球軸承各組件間的相互作用力進行適當簡化，隨后建立6自由度軸承保持架模型，開創性地分析保持架與滾動體的動態變化，利用四階Runge-Kutta法計算滾動體與保持架的瞬時位移、轉速及軸承的內部滑動等，但模型中未考慮油膜潤滑和保持架的彈性問題。文獻[5-6]考慮潤滑狀態下軸承載荷變化及保持架上的滑移，建立3自由度軸承保持架動力學模型，但由于當時對彈流潤滑理論的研究不夠成熟，模型有待完善。文獻[7-12]較全面地分析影響軸承動態性能的各種因素，系統地研究滾動體的運動和受力狀態，建立6自由度軸承動力學模型，并分別建立軸承各零部件的運動微分方程，此模型適用于各類軸承，主要用于分析軸承在變速和變載時的瞬時動態特性。

1.2 典型模型

文獻[11]將軸承-雙轉子系統的中介軸承簡化為彈簧和阻尼，利用傳遞矩陣法研究雙轉子系統的臨界轉速振型和不平衡響應問題。文獻[11]建立的軸承模型如圖1所示。圖中，e為偏心距；Fu為不平衡力；Nb為滾動體個數；ωc為保持架轉速；t為時間；W為垂直方向上的恒定力。

圖1 軸承模型

此模型假設滾動體等距分布在軸承內部進行純滾動運動，不考慮潤滑油膜的作用。通過分析得

Fx=K∑(xcosθi+ysinθi-γo)1.5+cosθi，

(1)

Fy=K∑(xcosθi+ysinθi-γo)1.5+sinθi，

(2)

式中：Fx為x向分量的復合彈簧力；Fy為y向分量的復合彈簧力；K為Hertz接觸剛度；θi為第i個滾動體處的角位置；γo為軸承徑向游隙。

以此建立軸承-轉子耦合系統的二階非線性微分方程為

cosθi=W+Fucos(ωt)，

(3)

sinθi=Fusin(ωt)，

(4)

式中：m為由軸承支承的轉子及軸承內圈質量；C為阻尼；ω為轉子轉速。

圖2 軸承簡化模型

此模型假設滾動體的質心在保持架軌道中心線上滑動，將其簡化為一個黏性滑動阻尼，將滾動體與保持架間的相互作用簡化為接觸表面的法向力和滑動摩擦力作用的阻尼彈簧系統。

軸承的滑動摩擦力為

(5)

(6)

力平衡方程為

(7)

力矩平衡方程為

(8)

此模型可用于軸承流體潤滑分析，但對軸承內部各零部件間的潤滑及作用力分析較少，模型相對較簡單。文獻[7-16]介紹3自由度圓柱滾子軸承模型建立方法，并建立6自由度和3自由度的滾子、套圈、保持架的碰磨模型，提出建立軸承動力學模型的一般方法和步驟。文獻[17]提出6自由度深溝球軸承動力學模型，模型中考慮Hertz接觸變形、彈性流體動力學及軸承徑向游隙等因素，還考慮軸承缺陷的影響，如內、外圈的波紋度和局部缺陷等。文獻[18-19]提出一種建立含徑向游隙參數的深溝球軸承支承的平面多體系統動力學模型的一般方法，模型中對深溝球軸承引入非線性動態力，考慮球與溝道之間接觸剛度及接觸體的幾何變形和材料變形的影響，并將建立的深溝球軸承模型應用于曲柄滑塊機構中驗證，為軸承動力學模型的研究提供有益參考。

1.3 缺陷軸承動力學模型

軸承在制造和使用過程中難免會出現各種缺陷，有時雖不影響使用，但在運轉過程中會對系統的振動響應和力學性能產生一定影響。文獻[20]分析軸承打滑引起的接觸表面損傷及有關軸承零部件間相互作用的動力學特性，建立軸承動力學模型。文獻[21]建立軸承-轉子多體系統的動力學模型，模型中考慮軸承各零部件間的接觸剛度，同時研究缺陷軸承的振動頻率問題，對含徑向游隙及內、外圈局部缺陷的軸承進行建模，并利用模型對缺陷軸承進行分析和試驗驗證。文獻[22]研究存在局部表面缺陷的軸承的載荷分布、油膜特性、結構彈性及軸承零部件間的滑動摩擦等問題，建立軸承的3自由度耦合模型，用于局部缺陷對軸承產生激勵響應的分析。文獻[23]建立內、外圈表面存在多個表面缺陷的深溝球軸承動力學模型，采用Runge-Kutta法求解耦合運動控制方程，分析含表面缺陷的保持架、套圈和球的瞬時振動頻率，該模型在分析軸承缺陷振動時得到廣泛應用。文獻[24]改進球軸承的二維振動模型，考慮離心載荷、徑向游隙及非線性Hertz接觸問題，采用Newmark時域積分方法對軸承-轉子系統的運動微分方程求解，研究表面缺陷和局部變形對軸承的影響。文獻[25]為得到缺陷軸承的振動響應，提出一種可用于診斷軸承多種缺陷的3自由度質量-彈簧-阻尼系統動力學模型，此模型中假設軸承的油膜潤滑作用是線性的，可用于診斷內、外圈及滾動體上的局部缺陷。文獻[25]建立的軸承動力學簡化模型如圖3所示。圖中，KOR，KOF，KIF，KIR，COF和CIF分別為軸承各零部件間的剛度和阻尼；MIR和MOR分別為內、外圈質量；MB為滾動體質量。

圖3 軸承動力學簡化模型

2 軸承-轉子系統動力學模型的研究及應用

軸承不再作為單獨的研究個體，而是同轉子之間的相互作用共同研究，即可更真實可靠地描述軸承性能。軸承-轉子系統又分為軸承-單轉子系統和軸承-多轉子系統，在軸承-單轉子系統中軸承主要起支承作用，而在軸承-多轉子系統中軸承還起連接作用，比如航空發動機的雙轉子系統的低壓轉子與高壓轉子間是由軸承連接的轉子系統。

2.1軸承-單轉子系統動力學模型

文獻[26]對深溝球軸承支承的軸承-轉子系統進行簡化，并對比分析支承系統分別為剛性支承和柔性支承時對軸承-轉子系統性能的影響，并且考慮非線性Hertz接觸力、球的離心載荷、角接觸力及軸向力對模型的影響。文獻[27]提出一種用于研究軸承-轉子系統動力學特性的軸承動力學模型，主要針對軸承的內部游隙和波紋度而建立，重點討論波紋度、徑向游隙和預緊力對保持架速度的影響。文獻[28-29]在之前研究的基礎上進一步考慮轉子不平衡力對軸承-轉子系統的影響，將軸承單元簡化為質量-彈簧模型，滾動體和內、外圈間的接觸被認為是非線性的彈性接觸，其剛度運用Hertz接觸變形理論得到，建立軸承支承的高速轉子的結構振動分析模型。在建立動力學模型時，假設軸承的塑性變形小到可忽略，僅考慮Hertz理論下的彈性變形的影響，假設保持架的角速度為常量，內、外圈及轉子在同一平面內運動，軸承各零部件及轉子均為剛體，文獻[28-29]建立的軸承質量-彈簧系統簡化模型如圖4所示。圖中，R為外圈半徑；r為內圈半徑；min和mout分別為內、外圈質量；rin和rout分別為內、外圈質量中心位置；ρj為滾動體徑向位置；θj為滾動體角位置；θx為滾動體與軸承內圈接觸點的角位置；χj為第j個滾動體中心與軸承內圈中心的偏角；(kin)j和(kout)j分別為滾動體與內、外圈的剛度。

圖4 軸承的質量-彈簧系統簡化模型

波紋度是影響軸承性能的重要因素，文獻[28-29]建立的軸承內、外圈波紋度動力學模型如圖5所示。圖中，∏0為波紋度的原始振幅；∏p為波紋度的最大振幅；j為轉角范圍內的滾動體個數；ωc為內圈角速度；ωy為滾動體公轉角速度。

圖5 軸承內、外圈波紋度動力學模型

軸承內、外圈波紋度的振幅為

(9)

式中：L為弧長；λ為波長。

2.2軸承-雙轉子系統動力學模型

作為連接航空發動機雙轉子系統中內、外轉子的中介軸承，其運動狀態及受力與普通支承軸承有所不同。文獻[30-32]在軸承動力學和轉子動力學的基礎上考慮中介軸承處的耦合特性，建立雙轉子Hertz軸承耦合系統的非線性動力學模型，用Newmark-β積分法和Newton-Raphson迭代法對軸承-轉子系統非線性動力學微分方程求解，分析轉子轉速、中介軸承游隙和滾子個數及支承軸承的結構參數對轉子系統穩定性的影響。文獻[33-40]深入研究航空發動機的雙轉子模型，把軸承作為航空發動機轉子系統的重要零部件，建立其動力學模型，充分考慮軸承游隙、滾動體與滾道的非線性Hertz接觸力及變柔性振動等因素，對軸承-雙轉子耦合動力學問題研究作出貢獻，并且建立軸承-轉子-機匣間耦合作用的動力學模型，在航空發動機軸承動力學模型方面取得一系列成果。文獻[41]建立一個4自由度航空發動機主軸雙轉子系統動力學分析模型，該系統中雙轉子由2套角接觸球軸承和2套深溝球軸承支承，在建立模型時考慮軸承的接觸力、非線性位移和彈性變形等因素，并將其與文獻[11]建立的3自由度模型及文獻[42]建立的5自由度動力學模型相比，闡述軸承-轉子系統的自由度對非線性動力學模型及系統動態仿真結果的影響。文獻[43]在研究球軸承支承的軸承-轉子系統的非線性響應時，研究帶浮環的擠壓油膜阻尼器的球軸承動力學模型，此模型假設內圈固定于軸上，外圈與擠壓油膜阻尼器或帶浮環的擠壓油膜阻尼器相連，并對基于這2種油膜阻尼模型建立的不同的軸承-轉子模型進行對比分析。

3 軸承動力學分析軟件

利用計算機仿真技術對軸承動力學進行分析研究非常有效。仿真技術用于軸承性能分析始于20世紀50年代末，至今已取得很大進展。

目前在三維軸承零部件間相互作用力瞬態動力學分析方面取得重大進展，FAG, NSK和SKF等均為公司內部的軸承開發和設計提供驗證的程序包，如BEAST三維分析軟件[44]是SKF開發的軸承動力學模擬軟件，可分析保持架上的力及其運動、滾子歪斜與球上的摩阻力等，并用實例驗證軟件的可靠性。SKF又與PELAB合作開發BEAST軸承仿真軟件包，采用每個滾動體都有6個自由度的全三維模型，該軟件包可進行大多數類型軸承的動力學仿真試驗，使軸承動力學仿真設計成為現實[45-46]。文獻[47]參考SKF美國技術中心SHABERTH的分析模型，建立油潤滑球軸承動力學分析模型，利用VB和Fortran 77 語言開發高速陶瓷球軸承的動力學分析程序，可計算軸承的變形、剛度、壽命、發熱和摩擦力矩等動態性能參數。文獻[15]使用Fortran 90編寫軸承動力學分析軟件包BA的程序架構，運用此軟件包可得到滾子的運動速度，滾子與內、外圈間的接觸載荷與保持架質心的運動軌跡等，但是分析結果建立在很多假設的基礎上，所以對滾子的受力和瞬態運動分析存在很大誤差。

4 存在的問題和發展趨勢

研究軸承動力學必須考慮彈性流體動力學問題，早期由于彈性流體動力學理論研究不夠成熟，制約軸承動力學的研究和發展。文獻[48]簡化彈性流體動力學模型，使模型更緊湊和簡便，計算速度較快，可廣泛應用于含彈流問題的復雜機械系統中，將對軸承動力學研究產生較大影響。

隨著旋轉裝備朝高速、重載方向發展，軸承與高速、重載轉子系統的耦合振動、非線性動力學、故障診斷都是今后值得重點關注的研究課題。

軸承動力學仿真結果目前與實際差距較大，國內的仿真分析軟件主要針對擬靜態分析模型，可參考一些較成熟的仿真軟件開發經驗，利用智能優化計算理論、并行設計及虛擬現實技術等當代前沿技術，使仿真結果更精確。