關于動態電路階數的討論

田社平，孫 盾，張 峰

(1.上海交通大學電子信息與電氣工程學院，上海 200240;2浙江大學電氣工程學院，浙江杭州 310027)

動態電路可以用微分方程加以描述。根據描述電路的微分方程的階數，可以將電路分為一階電路、二階電路等?，F行電路教材幾乎均以此來定義動態電路的階數，如“用一階常微分方程描述的電路稱為一階電路”(文獻［1-3］)或“如果電路的輸入—輸出方程是一階微分方程，則稱該電路為一階電路。如果電路的輸入—輸出方程是n階微分方程，則稱該電路為n階電路”(文獻［4］)。

筆者在教學中發現，一個動態電路往往存在多個電壓變量和電流變量，當描述所有這些電壓變量和電流變量的微分方程的階數都相同時，上述定義是準確的，但是也有一些特別的電路，其電路變量的微分方程的階數并不相同，這樣上述定義則無法準確地描述動態電路的階數。

不失一般性，本文僅以線性非時變動態電路為例加以討論。

1 實例分析

考慮如圖1所示的電路，假設R1=R2=1Ω，R3=4Ω，C1=C2=1F，L=1H。下面分析描述電路變量i，uC1和uC2的微分方程表達式。

圖1 動態電路之一

列寫電路的KCL方程:

列寫KVL方程:

將元件參數值代入式(1)～式(3)并整理得

對式(6)兩邊微分，并將式(4)和式(5)代入，整理后可得

將式(6)和式(7)相加，得到描述電流變量i的微分方程為

將式(4)中的電流i代入式(8)，得到描述電壓變量uC1的微分方程為

類似可得到描述電壓變量uC2的微分方程為

由式(8)～式(10)可以看出，描述電流變量i的微分方程的階數為2，而描述電壓變量uC1和uC2的微分方程的階數為3，兩者并不相等。而觀察圖1所示電路，可知該電路包含三個獨立的動態元件，說明該電路是一個三階電路。

2 動態電路階數的確定

由上面討論可知，電路變量的階數和電路的階數并不完全相同。對動態電路的階數的判定，一般可采用如下四種方法。

(1)通過觀察電路，確定電路中獨立動態元件的個數，它也是電路的階數。這是一種常用的方法，適用于大多數電路。

(2)以電路變量的階數的最大值作為電路的階數。本文上一節的分析就采用了這種方法。

(3)用零輸入電路確定電路的階數［5］。電路的階數與電路的激勵大小無關，因此可以將電路的激勵置零，然后再確定電路的階數。

(4)電路的階數等于電路的非零固有頻率數。因此，求出電路的非零固有頻率數，也就得到了電路的階數。

下面就后面兩種方法進行討論。

圖2所示為包含兩個電容的電路，其中圖2(a)電路的激勵為電壓源，初看此電路，似乎兩個電容獨立，但將電壓源置零后發現，兩個電阻、兩個電容為并聯關系，因此該電路為一階電路。圖2(b)電路的激勵為電流源，如果將電流源置零，則R1、C1和R2、C2構成兩個獨立的回路，該電路是二階電路。如果兩個回路的時間常數相等，即R1C1=R2C2時，該電路退化為一階電路。

圖2 動態電路之二

圖3所示為一含受控源的電路，該電路中沒有畫出激勵［4］。

圖3 動態電路之三

由圖3所示電路可畫出s域模型(這里從略)，有網孔方程

其中，iL1(0-)=iL2(0-)，且u=2u+u2或u=-u2=-L2diL2/dt，所以

將上式代入式(11)，經整理得

由上式解得

由上式可見，如果L1≠L2，則電路有兩個固有頻率，說明圖3電路是一個二階電路;如果L1=L2，則只有一個固有頻率，此時Ia(s)=Ib(s)，于是iL1=iL2=iL3，三個電感電流只有一個是獨立的，說明圖3電路是一個一階電路。

3 進一步的討論

電路的特性決定電路的拓撲約束和元件約束。因此，動態電路的階數也決定于電路的拓撲約束和元件約束。在確定電路的階數時，還應注意以下幾個方面。

(1)零固有頻率對電路階數的影響。當電路存在零固有頻率時，則該電路的零輸入響應中就包含常數項［4］。因此，電路的零固有頻率不影響電路的階數。例如，對于如圖4所示的電路，從輸入端口看進去的網絡函數(阻抗)為

圖4 動態電路之四

顯然該電路存在一個零固有頻率和一個非零固有頻率s=-1/(RC2)。而該電路為一階電路，說明電路的零固有頻率不影響電路的階數。

(2)電路的階數與激勵的關系。電路的激勵包括電壓源和電流源，作為電路元件，它們也會對電路起到拓撲約束(激勵的接入方式)和元件約束(激勵的電壓電流關系)作用。從圖2電路的分析可以看出，盡管電路的階數與激勵的大小無關，但與激勵的形式(是電壓源還是電流源)有關。

4 結語

本文通過電路實例討論了電路的階數確定方法，盡管現行教材對電路的階數給出大致相同的定義，但這些定義具有一定的不確定性。事實上，只有當電路中的所有電路變量的微分方程的階數都相同時，這些定義才是適用的。

本文的討論可供教師在進行動態電路時域分析教學時參考。

［1］ C.A.狄蘇爾，葛守仁著，林爭輝主譯.電路基本理論［M］.下冊.北京:人民教育出版社，1979

［2］ 于歆杰，朱桂萍，陸文娟.電路原理［M］.北京:清華大學出版社，2007

［3］ 陳希有.電路理論基礎［M］，第二版.北京:高等教育出版社，2004

［4］ 陳洪亮，張峰，田社平.電路基礎［M］.北京:高等教育出版社.2007

［5］ 徐賢敏.確定電路的階時間常數和固有響應的零輸入法［J］.蘭州:蘭州鐵道學院學報，1996，15(1):41-44