一個含有五項的分數階混沌系統的動力學分析

楊麗新

(陜西科技大學 文理學院， 陜西 西安 710021)

0 引言

分數階微積分作為數學學科的一個重要分支，是傳統的整數階微積分的推廣[1-3].最近十年，分數階微積分引起了很多學者的關注和研究.分數階微積分在描述粘彈性系統、電磁波等物理過程中有很重要的應用，并且描述的系統更加精確[4-6].

另一方面，分數階系統是描述很多的自然現象的有效工具.很多學者提出了不同的分數階系統，并且研究了它們的動力學行為，文獻[7]討論了分數階Chua 電路系統的混沌同步問題.另外，研究發現分數階Chen系統的產生混沌的階數是0.3，這是到目前為止發現的混沌系統的最低階數[8].

目前，不同領域的學者對分數階混沌系統的動力學行為作了廣泛的研究并得到了優秀的成果.但是，尋求項數更少的分數階混沌系統是一個重要的研究方向.在文獻[9]中，作者提出了一個含有五項的整數階混沌系統，并且研究了此系統的豐富動力學行為.

1 分數階微積分

(1)

式(1)中：q表示分數階,R(q)表示q的實部，實數a和t分別表示積分的上下限.目前， Riemann-Liouville 和 Caputo 定義是最有效的分數階微積分定義[10].

Riemann-Liouville (RL) 定義如下描述

n-1

(2)

The Caputo 微積分如下:

(3)

式(2)和(3)中：Γ(·)表示伽瑪函數如下

2 分數階新系統的穩定性分析

整數階的很多理論不能直接推廣到分數階混沌系統中.接下來，給出分數階非線性系統的穩定性充分條件[3].

引理1對于如下的分數階系統

(4)

漸近穩定的充分條件是矩陣A的特征值滿足如下條件:

在文獻[9]中，作者構造了一個只含有5項的整數階的混沌系統，方程如下

(5)

當系統參數取值為a=5,b=90,系統 (5) 有豐富的動力學行為.

接下來，假設系統的階數是分數階，則系統(5)對應的分數階系統可以如下描述：

(6)

系統(6)中：qi(i=1,2,3)是分數階的階數.

首先，通過下式計算系統(6)的平衡點：

(7)

計算可得如下兩個平衡點

(8)

并且雅克比矩陣的特征值計算如下:

λ1=-7.094 3,

λ2=1.470 1+10.544 4i

λ3=1.470 1-10.544 4i

(9)

根據行列式|λE-J|=0發現矩陣J-和J+有相同的特征值.其中λ1是一個負實數且|arg(λ2,3)|=1.432 3，根據引理1， 若分數階系統(6)的階數在0.912≤q≤1.0范圍時,分數階系統(6)的兩個平衡點都不穩定.

3 分數階新系統的分岔行為研究

分岔圖是研究混沌系統動力學行為的一個重要工具，因此，在本節內容中，分別以階數和系統參數作為分岔參數，深入研究系統(6)的動力學行為.對于分數階混沌系統，在MATLAB仿真中，采取的方法是預估-校正算法，接下來，介紹此方法.首先考慮如下方程

(10)

等式(10) 和如下的Volterra積分方程等價

(11)

令h=T/N,tj=jh,(j=0,1,…,N).則方程(11)的校正式可以離散為如下形式:

(12)

(13)

aj,n+1=

該方法的截斷誤差是

maxj=0,1,…,N|x(tj)-xh(tj)|=O(hP),

其中p=min(2,1+q).

3.1 系統階數作為分岔參數

和整數階混沌系統相比，分數階系統的階數是一個很重要的參數，是影響分數階混沌系統的動力學行為的關鍵因素之一.為了驗證分數階吸引子的存在性，選取系統(6)的系統參數為a-5，b=90,以及系統的初始條件為x(0)=1,y(0)=2,z(0)=3，分別調整系統的階數qi(i=1,2,3)的值，觀察系統的動力學行為.

首先，假設系統(6)是等階系統，也就是說階數qi(i=1,2,3)取相同的值.

選取系統的階數分別為q=0.84和q=0.86,系統(6)的正平衡點是一個穩定點，如圖1 (a)～(b)所示.繼續增加階數q的值到 0.88,系統(6)的相圖呈現出一個混沌吸引子，如圖1(c)所示.當階數q=0.98系統(6)相圖還是呈現混沌吸引子，但是和q=0.88的吸引子完全不一樣，如圖1(d)所示.從這些相圖，發現分數階系統(6)呈現出豐富的動力學行為，接下來進一步借助于分岔圖，深入分析系統的復雜動力學行為.

(a)階數q=0.84系統(6)的相圖

(b)階數q=0.86系統(6)的相圖

(c)階數q=0.88系統(6)的相圖

(d)階數q=0.98系統(6)的相圖圖1 當階數q取不同值時，系統(6)的相圖

為了更加深入地研究分數階系統(6)的動力學行為，以系統的階數作為分岔參數，借助于數值仿真的方法，當q∈[0.88,1]，系統(6)的分岔圖如圖2所示.從圖2可以看出，當q∈[0.89,0.95]和q∈[0.96,1]范圍內時，系統是混沌狀態.但是當階數q=0.95,混沌吸引子突然消失，系統呈現出周期軌道； 當q從0.948變化到0.958.系統發生了鞍結分岔；當階數q>0.96，系統再一次呈現混沌狀態.對應的相圖如圖3 (a)～(b)所示,可以看出，當系統階數取不同的值時，系統的吸引子有很大的差別.

(a)q=0.95系統(6)的相圖

(b)q=0.98系統(6)的相圖圖3 當q取不同值時，系統(6)的相圖

眾所周知，對于分數階系統，不等階系統的動力學行為比等階系統的要復雜很多.接下來，固定分數階數q2=q3=0.98,以階數q1作為分岔參數，分析系統的動力學行為，當q1∈[0.91,0.99]的分岔圖如圖4所示，從圖4可觀察到：當參數q1從0.91開始，經過一系列的倍周期分岔進入混沌狀態.例如當q1=0.92時2-周期軌道，當q1=0.93時4-周期軌道.并且，可以觀察到混沌系統當參數q1∈[0.975,0.983]時，發生鞍結分岔和霍普夫分岔.

圖4 當階數q1∈[0.91,0.99]時，系統(6)的分岔圖

3.2 系統參數作為分岔參數

為了更進一步研究系統 (6)的豐富動力學行為，固定系統的分數階數q1=q2=q3=0.98，調整系統參數a和b.首先以系統參數a作為分岔參數，分岔圖如圖5所示.

圖5 當a∈(5.8,6.2)時，系統(6)的分岔圖

從圖5可以觀察出，當參數a<5.2時，系統(6)呈現出混沌態；當a∈[5.93,6.08]時，系統出現一系列的周期軌道，例如周期1，周期4等等；當分岔參數a>6.08，系統再一次進入混沌態.當a=6.08時，系統發生了霍普夫分岔.不同的參數對應的不同吸引子如圖6所示.

(a)階數qi(i=1,2,3)=0.98、a=5.2，系統(6)的相圖

(b)階數qi(i=1,2,3)=0.98、a=6.8，系統(6)的相圖

(c)階數qi(i=1,2,3)=0.98、a=7.3，系統(6)的相圖

當選取分數階的階數為q1=q2=q3=0.91,系統參數a=5,調整系統的另一個參數b，觀察系統的動力學行為.

通過大量的數值計算和仿真，對于參數b,系統(6)的動力學行為可以概括如下:

(1)當參數b≤175,系統呈現周期軌道，如圖7(a)所示；

(2)當參數175

(3)當參數b>193,系統呈現出一個混沌吸引子，如圖7(c)所示.

通過選取不同的分岔參數，對系統(6)的動力學行為進行了詳細研究，結果表明，新系統的階數和系統的參數都對它的動力學行為產生很大的影響，不同的階數和參數，系統的吸引子有很大的差異.

(a)階數q1=q2=q3=0.91、b=175，系統(6)的相圖

(b)階數q1=q2=q3=0.91、b=180，系統(6)的相圖

(c)階數q1=q2=q3=0.91、b=200，系統(6)的相圖圖7 系統的階數值為q1=q2=q3=0.91，當參數b 取不同的值時，系統(6)的相圖

4 分數階新系統的投影同步

在本小節內容，主要研究分數階新系統的投影同步問題.非線性系統的同步在各個領域具有很大應用前景，很多學者提出不同類型的同步.例如完全同步、相同步、內同步、外同步研究結果已有很多[11-15].但是投影同步是比較重要的一類同步形式，接下來給出投影同步的定義[16].假設驅動系統和響應系統的方程分別如下描述：

(14)

(15)

其中：x=(x1,x2,…,xn)∈Rn,y=(y1,y2,…,yn)∈Rn分別是狀態向量;q∈(0,1]是分數階數.f,g:Rn→Rn是連續的非線性函數，U(t,x,y)是待設計的控制器.對于驅動系統(14)和響應系統(15)，當且僅當下式成立

(16)

則稱兩個系統實現了投影同步.

其中M(t)=diag(φ1(t),φ2(t)),…,φn(t))是標度矩陣.

對于分數階新系統(6),構造驅動系統和響應系統分別如下：

(17)

(18)

為了實現驅動和響應系統的同步，首先定義誤差系統如下：

(19)

圖8 驅動系統(17)和響應系統(18)的誤差曲線隨時間的演化過程(當標度矩陣選取為M(t)=diag(sin(πt),1,2)時)

根據誤差系統，設計如下的控制器：

(20)

為了驗證設計控制器的有效性，借助數值仿真驗證，誤差曲線隨時間的演化過程如下：

從圖8可以看出，誤差曲線隨著時間的演化最后趨于零，表明驅動和響應系統在控制器的作用下，實現了投影同步.

5 結論

本文提出了一個新的分數階混沌系統.首先，從理論上研究了系統的一些基本特征.其次，借助于數值仿真的方法，調整系統分數階數和系統參數，得到系統在不同條件下的吸引子以及分岔圖.研究結果表明，分數階新系統有不同的分岔行為，包括倍周期、霍普夫、鞍結分岔等形式.最后，對分數階新系統的投影同步進行了研究，設計了合理有效的控制器，實現了驅動和響應系統的同步控制.