王劍紅,楊素芳
(山西藥科職業學院 基礎部,山西 太原 030031)
對于正交飽和設計問題,通??捎萌缦碌木€性統計模型來描述
Y=β01n+β1x1+…+βmxm+ε=μ+ε
(1)
其中Y=(y1,y2,…,yn)T是觀察值向量;xj=(x1j,x2j,…,xnj)/,j=1,2,…,m由試驗設計來確定;矩陣X=(x1,x2,…,xm)為上述正交表H所對應的設計陣;β=(β0,`β1,…,βm)T;ε=(ε1,ε2,…,εn)/是誤差向量,且εi(i=1,2,…,n)是相互獨立同分布的隨機變量,且有ε~N(0,σ2In).
由于模型(1)是基于正交飽和設計,故此時的誤差平方和等于零,從而使總平方和SSj與各列的效應平方和之間有如下總平方和分解公式
SST=SS1+SS2+…+SSm,fT=f1+f2+…+fm成立.
這篇文章我們給出了總平方和SST與各列的效應平方和SSj之間的矩陣證明方法,優化了文獻[1]中對其的證明.
在一個試驗設計中,當被考慮因子(包括交互作用)個數多到使得需估計參數的個數達到可估計參數的最大個數時,這樣的試驗設計稱為飽和設計.當一個飽和設計又為一個正交設計時,稱為正交飽和設計.
又注意到
Tj為對應設計陣第j列的置換矩陣,即Tj中只有0和1兩個元素,而且每一行、每一列有且只有一個1,其余的元素全是0.由張應山的博士論文知,Tj具有存在性.
故
這樣,對于模型(1),各列的效應平方和
且Pn,A1,…,Am為相互正交的投影陣.
因為
diag(Pr1,Pr2,…,Prm)Tdiag(Pr1,Pr2,…,Prm)=
diag(Pr1,Pr2,…,Prm)且Pndiag(Pr1,Pr2,…,Prm)=
Pn,PnAj=0,AiAj=0(i≠j).
所以Pn,A1,…,Am為相互正交的投影陣.
容易驗證
τn=In-Pn=
所以SST=YTτnY=YT(A1+A2+…+Am)Y=
SS1+SS2+…+SSm.
總平方和自由度為fT=n-1,fj=pj-1為第j列平方和的自由度(j=1,2,…,m),而完全正交設計是指上述正交設計滿足如下的等式n-1=(p1-1)+(p2-1)+…+(pm-1).
故SST=SS1+SS2+…+SSm,fT=f1+f2+…+fm.對比文獻[1]和本文中證明的方法,顯然用矩陣知識證明更為簡潔.