帶五次項的非線性Schr?dinger方程的一個緊致差分格式

初日輝

(南京航空航天大學 理學院,江蘇 南京 211100)

0 引言

帶五次項的非線性Schr?dinger方程是一個重要的數學物理模型,它在諸如非線性光學、等離子物理等方面有著廣泛的應用[1]．關于帶五次項的非線性Schr?dinger方程的數值研究有很多,如有限差分法、有限元法、有限體積法等,其中有限差分法以其簡單、實用等優點被廣泛使用．最近,關于偏微分方程的高精度緊致差分格式研究是國際上的一個熱點[2-3].基于此,本文考慮如下的帶五次項的非線性Schr?dinger方程:

iut+uxx-(|u|2+|u|4)u=f(x,t)u, (x,t)∈(a,b)×(0,1),

(1)

u(x,0)=u0(x),x∈(a,b),

(2)

u(0,t)=u(1,t)=0,t∈(0,T],

(3)

其中u0(x)為已知的復函數,f(x,t)和u(x,t)分別是實值和復值函數，i為虛數．經過簡單的計算可得該問題的電荷和能量滿足如下的關系:

(4)

(5)

其中Q(t),E(t)分別稱為某時刻的電荷和能量,而Q(0),E(0)則分別稱為初始時刻的電荷和能量,(4)式表示的是電荷守恒．

對于本文研究的方程,張魯明等[4]構造了一個差分格式,并證明方程的收斂階為O(τ2+h2)．王詢等[5]提出一個五點四階的差分格式．但對于帶五次項的非線性Schr?dinger方程的緊致差分格式,目前未發現相關文獻．本文的目的是提出一個緊致差分格式,使得收斂階達到O(τ2+h4),并通過理論和數值實驗驗證格式的正確性．

1 相關符號的定義

本文中使用的記號如下:

xj=a+jh,tn=nτ,j=0,1,…，J;n=0,1,…,N,

定義三對角矩陣

注意到矩陣H是一個對稱正定矩陣,因此存在一個對稱正定矩陣M,使得M=H-1．

2 差分格式及其解的估計

2.1 差分格式的建立

通過大量的數值試驗可知,非守恒的格式在計算中容易出現非線性“爆炸”[4],守恒的格式能較好地完成計算．基于此,提出如下的差分格式:

(6)

(7)

(8)

設

則(6)式可變為

(9)

為了計算方便,方程(9)可等價寫成如下的向量形式:

(10)

2.2 差分格式解的估計

Qn=Qn-1=…=Q0.

(11)

將(10)與Un+1-Un做向量內積,運用Cholesky分解,取實部得

其中M=RTR.

令

則

將上式兩端對n求和得

(12)

其中Qn,En分別稱為離散電荷與離散能,(11)和(12)式分別為(4)和(5)式的數值模擬.基于以上的討論得到定理1．

證由(11)式可得

‖Un‖≤C,

(13)

由(12)和(13)式可得

根據Sobolev不等式可知‖Un‖∞≤C. 證畢.

3 差分格式的穩定性和收斂性

定理2假設u(x,t)∈C6,3，并且滿足定理1的條件,則差分格式(7)，(8)和(10)式依平方模連續地依賴于初始條件與f(x,t).

證設精確解un滿足

(14)

(15)

將(15)式的兩端與en+1+en做內積,然后取虛部得

(16)

其中

(16)式的第1項為

(17)

(16)式的第2項為

(18)

(16)式的第3項為

(19)

(16)式的第4項為

(20)

(16)式的右端項為

(21)

結合(17)～(21)式,并兩端對n求和,得

(22)

根據定理1,有

≤C(‖en+1‖2+‖en‖2).

(23)

同理可得

|I2|≤C(‖en‖2+‖en+1‖2),

(24)

≤C(‖δFn‖2+‖en+1‖2+‖en‖2),

(25)

將(23)～(25)代入(22)式，有

類似地，可以證明差分格式的解依平方模收斂到方程的解．

4 數值實驗

考慮如下一個具體算例,取

f(x,t)=4(x-2t)2-exp(-2(x-2t)2)-exp(-4(x-2t)2),

u0(x)=exp(-x2+ix).

這時有孤波解u(x,t)=exp(-(x-2t)2+i(x-3t)).

運用上述提出的差分格式(7),(8)和(10)式對此算例進行求解,取計算區間為[-15,15]．首先驗證格式的收斂階,這里分別取h=0.025,0.05,0.1,0.2,τ=h2,T=1,從圖1中可以很明顯看出差分格式(7)的收斂階為O(τ2+h4),圖2繪出了在τ=0.01時數值解的圖像,數值實驗說明了理論證明的正確性．

圖1 τ=h2時差分格式的收斂階

圖2 τ=0.01時對孤波解的數值模擬

5 總結

本文對帶五次項的非線性Schr?dinger方程給出了一個緊致差分格式,從數值上模擬了Q(t)和E(t)，并利用能量的方法證明了該差分格式的穩定性和收斂性,數值實驗的結果很好地驗證了理論的證明．

參考文獻:

[1] Abdullaev F K,Salerno M.Gap-Townes solitons and localized excitations in low-dimensional Bose-Einstein condensates in optical lattices[J].Phys Rev A,2005,72(3):033617.

[2] 王廷春，郭柏靈.一維非線性Schr?dinger方程的兩個無條件收斂的守恒緊致差分格式[J].中國科學：數學，2011,41(3):207.

[3] Hu X,Zhang L.A compact finite difference scheme for the fourth-order fractional diffusion-wave system[J].Comput Phys Commu,2011,182(8):1645.

[4] 張魯明,常謙順.帶五次項的非線性Schr?dinger方程差分解法[J].應用數學學報,2000,23(3):351.

[5] 王詢,曹圣山.帶五次項的非線性Schr?dinger方程新差分格式[J].中國海洋大學學報,2009,39(9):487.