變壓器直流偏磁場路耦合計算中的磁化曲線擬合

潘 超,王夢純,蔡國偉,姜言金,李鐵峰

（1.東北電力大學 電氣工程學院,吉林 吉林 132021；2.吉林市供電公司,吉林 吉林 132001）

0 引言

近年來，高壓直流（HVDC）與地磁感應電流GIC（Geomagnetic Induced Current）環境中變壓器的直流偏磁問題備受關注[1-2]，包括變壓器非線性磁場、電流畸變、渦流損耗等備受關注，其中，勵磁非線性的研究分析是解決上述問題的關鍵[3-5]。

利用J-A磁滯模型可以有效模擬變壓器的勵磁特性，但參數獲取困難，計算復雜，且磁滯回線易受直流偏磁水平影響[6]。文獻[7]采用單段雙曲正切函數擬合飽和段磁化曲線，簡化計算，結果與實驗相比誤差較小，但未考慮磁化曲線不飽和段對變壓器勵磁的影響。文獻[8]建立三相變壓器模型分析鐵芯損耗，考慮磁滯效應模擬變壓器電磁場分布。文獻[9-10]基于諧波有限元建立場路模型，計算變壓器直流偏磁問題。上述方法均采用二維模型，具有較高的精度和效率，缺點是僅可作為局部場域的近似處理，只能用于特定運行方式或模型特性的分析。

另一方面，傳統變壓器磁場數值計算以穩態電磁場分析為基礎，時域求解有限元微分方程，數據運算規模龐大、效率低[11]。本文建立三維變壓器磁場模型，采用時域場路耦合模型將變壓器瞬態電磁場計算分解為場和路的耦合計算，利用場模型計算動態電感，利用路模型求解瞬態過程，從而降低求解難度，提高計算效率；在此基礎上計算變壓器直流偏磁，分段擬合飽和段與不飽和段磁化曲線；最后對比分析不同方法對變壓器在正常運行和直流偏磁時耦合參數和伏安特性的影響，并總結其規律。

1 時域場路耦合方法

單相三柱式雙繞組變壓器直流偏磁的場路模型見圖1。圖中，Φa、Φb和Φ0分別為鐵芯主磁通和繞組漏磁通；L1、L2和M分別為自感和互感；UDC為直流電壓源。

圖1 變壓器基本電磁關系Fig.1 Electromagnetic relation of transformer

利用時域場路耦合模型分析變壓器直流偏磁問題時，動態電感和瞬態電流為關鍵耦合參數[12]。棱邊有限元法采用矢量磁位A，假設導磁介質各向同性，得到非線性磁場方程：

對式（1）應用格林定理，得伽遼金加權余量方程：

其中，m，n∈N+；｛Mm｝、｛Mn｝分別為基函數和權函數序列，且｛Mn｝與｛Mm｝相同；An為單元的標量磁位；m、n為單元編號；V為體積分變量。把權函數代入式（2），針對全部權函數，將加權余量方程離散形成代數方程組，求解可得所有棱邊上的A，進而計算其他場量。

變壓器實際運行時鐵芯工作于接近飽和區，直流偏磁時處于飽和區，傳統方法計算時通常采用雙曲正弦函數對飽和段磁化曲線進行擬合[7]。本文考慮到實際磁化曲線可分為不飽和段與飽和段，對磁化曲線進行分段處理，曲線擬合及誤差公式分別為：

其中，B、H分別為磁感應強度和磁場強度數值；C1、C2、C3、C4為擬合參數，根據實際變壓器硅鋼片材料確定；ε 為均方根誤差；Bj為實際磁感應強度；B′j為磁感應強度擬合值；K為統計總數。

將擬合磁化曲線數據代入磁場方程中，即可進行磁場求解計算。

變壓器磁鏈方程為：

其中，ψ為線圈磁鏈向量；LS為靜態電感矩陣。

由u=dψ/dt，推導電路系統的瞬態微分方程：

其中，LD為動態電感矩陣，需由磁場模型計算。

由式（5）推導存在直流源時變壓器電路微分方程的矩陣形式：

其中，UDC1、UDC2分別為變壓器兩側提供直流的電壓源。

根據文獻[13]中能量擾動的思想，當繞組線圈電流增量為Δi，引起的電路能量增量為：

由電流增量Δi引起的場矢量變化為ΔH、ΔB，計算線圈體電流分布磁場系統的能量增量：

能量方程式（7）、（8）相等，則可計算動態電感 LD。

采用四階龍格庫塔法對上式求解，由tk時刻的線圈電流 i（k）計算 tk+1時刻的電流 i（k+1）：

其中，h為步長；s1—s4為步長內的計算斜率。

2 直流偏磁計算與分析

圖2 變壓器直流偏磁的時域場路耦合模型Fig.2 Time-domain field-circuit coupling model

采用時域場路耦合模型計算變壓器非線性時變場問題，模型如圖2所示，編譯四階龍格庫塔法程序求解電路模型的瞬態響應方程，利用ANSYS軟件建立三維有限元模型，基于棱邊有限元法求解非線性磁場模型，場與路的耦合通過時域迭代實現。對實際單相變壓器BK300進行直流偏磁實驗和仿真計算，具體參數如表1所示。

表1 實際變壓器參數Tab.1 Parameters of an actual transformer

變壓器鐵芯硅鋼片型號為DW360-50，疊片系數α 取 0.95[13]，磁化曲線擬合結果如圖 3所示，虛線框中為不飽和區。

圖3 磁化曲線擬合Fig.3 Magnetization curve fitting

變壓器運行時工作于飽和狀態或不飽和狀態，通過圖3對比，說明采用分段擬合法分段擬合勵磁曲線，能更準確地反映出實際勵磁的變化情況。結合表2參數，應用時域場路耦合方法計算分析變壓器空載直流偏磁。

表2 曲線擬合參數Tab.2 Parameters of curve fitting

2.1 計算方法1

采用單段雙曲正弦函數擬合磁化曲線的飽和段，變壓器空載運行時引入直流源，計算直流電流IDC分別為 0、50%I0、100%I0、200%I0時的偏磁情況（I0為空載電流有效值）。

分析變壓器交流勵磁受到直流擾動IDC的影響，結果如圖4（a）所示，空載運行時原邊電流i1即為勵磁電流ie，由的電磁耦合關系可知，ie為對稱波。當注入直流時，ie發生畸變，并且隨著IDC的升高而增大，ie波形畸變情況一致；無直流時，動態電感L1在勵磁的正負半周為對稱波形，其變化規律與ie對應，ie增大時勵磁飽和程度加深，電感減小，ie減小時勵磁趨于不飽和，電感增大。存在直流時，L1受直流偏磁水平影響，正負半周不對稱。由圖4（b）可以確定動態電感變化與勵磁非線性的對應關系，L1的波峰區與波谷區分別表示鐵芯勵磁處于非飽和區與飽和區。ie接近零時，鐵芯勵磁處于非飽和區，L1數值趨于最大；當ie達到各半周內極值時，勵磁飽和程度最深，L1數值最小。分析結果表明，隨著直流電流增大，變壓器勵磁飽和程度加深，ie波形畸變，L1在正負半周不對稱。

圖4 方法1的計算結果Fig.4 Calculative results of method 1

2.2 計算方法2

采用雙段函數分別擬合磁化曲線的飽和區與非飽和區，直流偏磁實驗與計算結果對比如下。

如圖5所示，方法2與方法1的勵磁變化情況相似，鐵芯飽和程度受直流影響，IDC增大，i1與L1波形在正負半周不對稱程度加劇。與實驗結果對比發現，測量的結果為非對稱波形，而仿真計算的電流為對稱波形，其原因可能是未考慮磁滯效應。分析結果表明，發生直流偏磁時，計算結果與實測數據誤差較小。說明利用本文所采用的磁化曲線擬合方法可以有效計算變壓器直流偏磁問題，結果較為準確。

2.3 方法比較

對比2種方法的計算結果，方法1的動態電感在半個周期內的波形為單峰波，方法2則為鞍形波，這與磁化曲線的擬合情況有關。方法1采用單段曲線擬合，磁化曲線在勵磁不飽和區單調變化，當勵磁電流接近為零時，動態電感達到最大值，然后隨著電流增大，動態電感逐漸減小。方法2采用分段曲線擬合，考慮了磁化曲線在不飽和區的實際特性，因此在勵磁電流過零時存在增大減小增大的情況。

2種方法計算的勵磁電流對比（IDC=200%I0）如圖6所示，相同直流擾動下2種方法的計算電流基本相同，在電流過零時波形略有區別。

圖5 方法2的計算結果Fig.5 Calculative results of method 2

圖6 勵磁電流對比Fig.6 Comparison of exciting currents

分析變壓器空載運行時的伏安特性。首先通過實驗調節電壓激勵，其有效值范圍為[0.5UN，1.5UN]（UN為額定電壓有效值），測量勵磁電流有效值I。然后根據本文方法計算電流，并與實驗測量數據進行對比，結果如圖7所示。

圖7 不同擬合方法的U-I比較Fig.7 Comparison of U-I among different fitting methods

不同方法的結果均符合實際變壓器的非線性電磁耦合關系。不考慮疊壓系數α，伏安特性與實際情況有較大誤差。計及α時，采用不同方法擬合磁化曲線，由于不飽和區的勵磁非線性，方法2的計算準確性高于方法1，這與前面的分析結果一致。綜上所述，2種擬合方法都能模擬變壓器的U-I特性，但方法2考慮不飽和區的勵磁特性，結果更為準確。

研究表明，分段模擬磁化曲線的方法可以充分反映出變壓器勵磁的變化情況。若采用多段擬合的方法可能在模擬勵磁非線性的準確性方面有所提高，這類方法擬合不飽和區磁化曲線時精度較高，但對應的動態電感數值較大，因此對計算電流的結果影響并不明顯。

文中在改進磁化曲線擬合方法的基礎上建立變壓器三維時域場路耦合模型，對其不同勵磁特性下的直流偏磁問題進行了仿真計算，并與實驗結果對比，總結其規律。針對實際變壓器，根據其相關信息，如銘牌數據、線圈與鐵芯參數、勵磁非線性等，就可以對直流偏磁問題進行瞬時場路的計算分析。

3 結論

通過對單相三柱式變壓器直流偏磁的研究分析，得出以下結論。

a.利用時域場路耦合模型計算變壓器直流偏磁時的動態電感和瞬態電流，能夠反映出變壓器磁場與電路等效參數在直流擾動下的變化規律，實驗結果證明用該方法計算變壓器直流偏磁是正確可行的。

b.擬合磁化曲線的方法可以簡化磁場模型求解，提高計算效率。不同分段擬合方法都能有效模擬變壓器的電壓電流特性與直流偏磁時的飽和勵磁特性，兩者的計算結果一致。由于本文方法考慮了不飽和勵磁的非線性，與實際情況更為接近，結果更為準確。