引導學生觸摸數學的本質

李軍

當前的數學課堂教學中普遍存在著重“形式”輕“本質”的現象，較少引導學生思考和探究數學知識的本源，這不能不引起重視。下面以《用數對確定位置》一課為例，談談如何引導學生觸摸數學的本質。

筆者聽過該內容的課堂教學，幾乎都是一種模式。首先從座位表引入，座位表中講臺位于最下方，這樣學生從前往后數正好對應著座位表中從下往上的方向，與坐標系中的縱軸方向一致。然后在教師的引導和要求下，采用統一的說法即第幾列第幾行（或第幾組第幾個）來描述位置。接著教師提問：“第3列第2行能否更簡單地表示？”于是學生開始了各種創造：3-2，3.2，3（2），等等。最后教師會組織大家小組討論體會“數對用逗號隔開，外加一個括號”的合理性和優越性。

筆者認為，教師的提問有些牽強，缺少必要的解釋和說明，僅憑3和2怎么能確定位置呢？“從左往右數第3列，從下往上數第2行”與“3，2”提供的信息量并不對稱。問題同樣缺少探索性，為了簡潔必然要舍棄一些內容，而3和2是必須留下的，所以意義不大。

【思考】

課堂教學應給學生提供自主建構的機會，而學生自主建構的關鍵是提高對數學知識的本質及規律的理性認識，即讓學生能夠觸摸數學的本質。但在上述教學中，教師更多的是主動給予，學生被動接受。

首先，教師在不斷追問中引出數對，這一過程中學生是被動的。學生在低年級學習“上下左右”等方位詞時，如果說：“小明在第3個?！苯處熞欢〞穯枺骸笆菑淖髷档?個，還是從右數第3個？”讓學生明白描述位置時方向的重要性。而用數對表示位置這種方法簡潔嗎？從學生思維的角度看，未必。對初學者來說，首先要克服習慣性思維，如先看列再看行，要從左往右，從下往上看。其次，許多規定如坐標軸的方向，數對的書寫形式等對學生而言知道并記住這些規定就足夠了。其實，用數對的形式表示位置關鍵不是強調簡潔性，而是強調這種表示方法的統一性和結構性。

既然數對的形式不是知識的本質，那么什么是確定位置的本質？學生自主建構的點在哪里呢？

用數對確定位置的本質是一個數對對應著平面上唯一的一個點，最重要的是對“原點（參照點）、方向、單位”的感悟和體會，這就是中學數學所學的平面直角坐標系的三要素。在自然語言里，其本身就包含著參照點、方向、單位等要素，而從自然語言描述到用數對描述的前提是建立平面坐標系，目的只是使得這些要素和數實現分離。這二者之間更多的是聯系，而不能厚此薄彼，所以不必非得建立形式化的坐標系，而是在用自然語言描述位置時就可以對這些要素進行體會。

數對確定位置，重點不在數對本身，而在于要實現用數對確定位置究竟需要確定哪些要素，這正好與笛卡爾思考的“如何實現點與數的對應”這個問題一致。把建立坐標系替換成制定規則，從規則中分解出坐標系的要素讓學生體會，在最重要、最本質的問題上做文章，讓學生經歷著類似笛卡爾那樣的思考，這才是讓學生自主發現并建構的數學知識。

【踐行】

無論是一維空間、二維空間還是三維空間，數與點之間的一一對應性是用數對確定位置的本質。小學階段所學的“用數對確定位置”是用有序數對來刻畫二維空間中某點的位置，即在二維直角坐標系（平面直角坐標系）中研究點的位置是如何用數對來描述的，它也具備坐標系的三要素。在唯一確定的直角坐標系下，一個有序數對就與平面上的某一個點建立了一一對應關系。

因此，課堂教學中所有的學習活動都需要以這種一一對應關系為前提和基礎，有了數與點的一一對應，就便于溝通、交流和表達了。在教學中，筆者創設“砸金蛋”游戲情境，通過讓生A（看屏幕）描述金蛋的位置，生B（不看屏幕）根據生A的描述找出金蛋的位置。情境圖從一排金蛋（一維空間）到多排金蛋（二維空間），學生描述從“文字描述”到后來的兩人商量合作只用“兩個數”來表示金蛋的位置。這一環節的教學旨在讓學生先建構一維上的規定，再建構二維上的規定，從用文字描述到用兩個數描述，重在讓學生經歷空間結構化、抽象化的過程，通過學生間的自定標準來描述對應的位置，在此過程中初步體會和感悟兩人規定的必要性和合理性。沒有花費更多的時間去讓學生創造“數對”來描述位置，不去關注用兩個數表示位置的外在形式。

隨后，讓學生用自己的規定來描述教室里同學的位置，在交流的過程中發現同一個數對竟然能表示幾個學生，或者同一個學生可以用幾個數對來表示，讓學生在矛盾沖突中感受到統一規定的必要性和合理性，從而確定了用數對表示平面圖上點的位置的順序（先列再行）和方向（從左往右、從下往上）。

在規定了數對確定位置的順序和方向后，通過比較兩個點（1，5）（如下圖1和圖2）所在的位置，引導學生發現，還會出現同一個數對表示的點不同，或者同一個點不是同一個數對表示，從而進一步引發了學生的思考：用數對確定位置，除了規定順序和方向外，還要規定圖中的原點（參照點）（0，0）。這樣的教學設計，讓學生充分經歷了結構化、抽象化的過程，并體會到數學規定的必要性和合理性，讓學生經歷了整個類似平面坐標系的形成過程，感悟到用數對確定位置的本質。

最后，也可以引入學生常見的魔方，讓學生明白有時用兩個數表示一個點的位置是不行的。從而使學生的認知由最初的一維空間向三維空間過渡，使得學生的思維有進一步拓展。

雅思貝爾斯指出：“全部教育的關鍵在于選擇完美的教育內容和盡可能使學生之‘思不誤入歧途，而是導向事物的本源?！标P注數學本質，給學生一個有“根”的數學，以“再發現”的方式讓數學思想、方法、精神根植于學生的數學學習，有助于促進教學方式和學習方式的根本性改變，使得學生有機會通過自己的發現獲得新的數學知識、技能、方法及思想，在探究發現的過程中領悟數學的真諦，從而發展成為一個“具有數學思想和精神”的人。

（作者單位：江蘇省泰州市許莊中心小學）

當前的數學課堂教學中普遍存在著重“形式”輕“本質”的現象，較少引導學生思考和探究數學知識的本源，這不能不引起重視。下面以《用數對確定位置》一課為例，談談如何引導學生觸摸數學的本質。

筆者聽過該內容的課堂教學，幾乎都是一種模式。首先從座位表引入，座位表中講臺位于最下方，這樣學生從前往后數正好對應著座位表中從下往上的方向，與坐標系中的縱軸方向一致。然后在教師的引導和要求下，采用統一的說法即第幾列第幾行（或第幾組第幾個）來描述位置。接著教師提問：“第3列第2行能否更簡單地表示？”于是學生開始了各種創造：3-2，3.2，3（2），等等。最后教師會組織大家小組討論體會“數對用逗號隔開，外加一個括號”的合理性和優越性。

筆者認為，教師的提問有些牽強，缺少必要的解釋和說明，僅憑3和2怎么能確定位置呢？“從左往右數第3列，從下往上數第2行”與“3，2”提供的信息量并不對稱。問題同樣缺少探索性，為了簡潔必然要舍棄一些內容，而3和2是必須留下的，所以意義不大。

【思考】

課堂教學應給學生提供自主建構的機會，而學生自主建構的關鍵是提高對數學知識的本質及規律的理性認識，即讓學生能夠觸摸數學的本質。但在上述教學中，教師更多的是主動給予，學生被動接受。

首先，教師在不斷追問中引出數對，這一過程中學生是被動的。學生在低年級學習“上下左右”等方位詞時，如果說：“小明在第3個?！苯處熞欢〞穯枺骸笆菑淖髷档?個，還是從右數第3個？”讓學生明白描述位置時方向的重要性。而用數對表示位置這種方法簡潔嗎？從學生思維的角度看，未必。對初學者來說，首先要克服習慣性思維，如先看列再看行，要從左往右，從下往上看。其次，許多規定如坐標軸的方向，數對的書寫形式等對學生而言知道并記住這些規定就足夠了。其實，用數對的形式表示位置關鍵不是強調簡潔性，而是強調這種表示方法的統一性和結構性。

既然數對的形式不是知識的本質，那么什么是確定位置的本質？學生自主建構的點在哪里呢？

用數對確定位置的本質是一個數對對應著平面上唯一的一個點，最重要的是對“原點（參照點）、方向、單位”的感悟和體會，這就是中學數學所學的平面直角坐標系的三要素。在自然語言里，其本身就包含著參照點、方向、單位等要素，而從自然語言描述到用數對描述的前提是建立平面坐標系，目的只是使得這些要素和數實現分離。這二者之間更多的是聯系，而不能厚此薄彼，所以不必非得建立形式化的坐標系，而是在用自然語言描述位置時就可以對這些要素進行體會。

數對確定位置，重點不在數對本身，而在于要實現用數對確定位置究竟需要確定哪些要素，這正好與笛卡爾思考的“如何實現點與數的對應”這個問題一致。把建立坐標系替換成制定規則，從規則中分解出坐標系的要素讓學生體會，在最重要、最本質的問題上做文章，讓學生經歷著類似笛卡爾那樣的思考，這才是讓學生自主發現并建構的數學知識。

【踐行】

無論是一維空間、二維空間還是三維空間，數與點之間的一一對應性是用數對確定位置的本質。小學階段所學的“用數對確定位置”是用有序數對來刻畫二維空間中某點的位置，即在二維直角坐標系（平面直角坐標系）中研究點的位置是如何用數對來描述的，它也具備坐標系的三要素。在唯一確定的直角坐標系下，一個有序數對就與平面上的某一個點建立了一一對應關系。

因此，課堂教學中所有的學習活動都需要以這種一一對應關系為前提和基礎，有了數與點的一一對應，就便于溝通、交流和表達了。在教學中，筆者創設“砸金蛋”游戲情境，通過讓生A（看屏幕）描述金蛋的位置，生B（不看屏幕）根據生A的描述找出金蛋的位置。情境圖從一排金蛋（一維空間）到多排金蛋（二維空間），學生描述從“文字描述”到后來的兩人商量合作只用“兩個數”來表示金蛋的位置。這一環節的教學旨在讓學生先建構一維上的規定，再建構二維上的規定，從用文字描述到用兩個數描述，重在讓學生經歷空間結構化、抽象化的過程，通過學生間的自定標準來描述對應的位置，在此過程中初步體會和感悟兩人規定的必要性和合理性。沒有花費更多的時間去讓學生創造“數對”來描述位置，不去關注用兩個數表示位置的外在形式。

隨后，讓學生用自己的規定來描述教室里同學的位置，在交流的過程中發現同一個數對竟然能表示幾個學生，或者同一個學生可以用幾個數對來表示，讓學生在矛盾沖突中感受到統一規定的必要性和合理性，從而確定了用數對表示平面圖上點的位置的順序（先列再行）和方向（從左往右、從下往上）。

在規定了數對確定位置的順序和方向后，通過比較兩個點（1，5）（如下圖1和圖2）所在的位置，引導學生發現，還會出現同一個數對表示的點不同，或者同一個點不是同一個數對表示，從而進一步引發了學生的思考：用數對確定位置，除了規定順序和方向外，還要規定圖中的原點（參照點）（0，0）。這樣的教學設計，讓學生充分經歷了結構化、抽象化的過程，并體會到數學規定的必要性和合理性，讓學生經歷了整個類似平面坐標系的形成過程，感悟到用數對確定位置的本質。

最后，也可以引入學生常見的魔方，讓學生明白有時用兩個數表示一個點的位置是不行的。從而使學生的認知由最初的一維空間向三維空間過渡，使得學生的思維有進一步拓展。

雅思貝爾斯指出：“全部教育的關鍵在于選擇完美的教育內容和盡可能使學生之‘思不誤入歧途，而是導向事物的本源?！标P注數學本質，給學生一個有“根”的數學，以“再發現”的方式讓數學思想、方法、精神根植于學生的數學學習，有助于促進教學方式和學習方式的根本性改變，使得學生有機會通過自己的發現獲得新的數學知識、技能、方法及思想，在探究發現的過程中領悟數學的真諦，從而發展成為一個“具有數學思想和精神”的人。

（作者單位：江蘇省泰州市許莊中心小學）

當前的數學課堂教學中普遍存在著重“形式”輕“本質”的現象，較少引導學生思考和探究數學知識的本源，這不能不引起重視。下面以《用數對確定位置》一課為例，談談如何引導學生觸摸數學的本質。

筆者聽過該內容的課堂教學，幾乎都是一種模式。首先從座位表引入，座位表中講臺位于最下方，這樣學生從前往后數正好對應著座位表中從下往上的方向，與坐標系中的縱軸方向一致。然后在教師的引導和要求下，采用統一的說法即第幾列第幾行（或第幾組第幾個）來描述位置。接著教師提問：“第3列第2行能否更簡單地表示？”于是學生開始了各種創造：3-2，3.2，3（2），等等。最后教師會組織大家小組討論體會“數對用逗號隔開，外加一個括號”的合理性和優越性。

筆者認為，教師的提問有些牽強，缺少必要的解釋和說明，僅憑3和2怎么能確定位置呢？“從左往右數第3列，從下往上數第2行”與“3，2”提供的信息量并不對稱。問題同樣缺少探索性，為了簡潔必然要舍棄一些內容，而3和2是必須留下的，所以意義不大。

【思考】

課堂教學應給學生提供自主建構的機會，而學生自主建構的關鍵是提高對數學知識的本質及規律的理性認識，即讓學生能夠觸摸數學的本質。但在上述教學中，教師更多的是主動給予，學生被動接受。

首先，教師在不斷追問中引出數對，這一過程中學生是被動的。學生在低年級學習“上下左右”等方位詞時，如果說：“小明在第3個?！苯處熞欢〞穯枺骸笆菑淖髷档?個，還是從右數第3個？”讓學生明白描述位置時方向的重要性。而用數對表示位置這種方法簡潔嗎？從學生思維的角度看，未必。對初學者來說，首先要克服習慣性思維，如先看列再看行，要從左往右，從下往上看。其次，許多規定如坐標軸的方向，數對的書寫形式等對學生而言知道并記住這些規定就足夠了。其實，用數對的形式表示位置關鍵不是強調簡潔性，而是強調這種表示方法的統一性和結構性。

既然數對的形式不是知識的本質，那么什么是確定位置的本質？學生自主建構的點在哪里呢？

用數對確定位置的本質是一個數對對應著平面上唯一的一個點，最重要的是對“原點（參照點）、方向、單位”的感悟和體會，這就是中學數學所學的平面直角坐標系的三要素。在自然語言里，其本身就包含著參照點、方向、單位等要素，而從自然語言描述到用數對描述的前提是建立平面坐標系，目的只是使得這些要素和數實現分離。這二者之間更多的是聯系，而不能厚此薄彼，所以不必非得建立形式化的坐標系，而是在用自然語言描述位置時就可以對這些要素進行體會。

數對確定位置，重點不在數對本身，而在于要實現用數對確定位置究竟需要確定哪些要素，這正好與笛卡爾思考的“如何實現點與數的對應”這個問題一致。把建立坐標系替換成制定規則，從規則中分解出坐標系的要素讓學生體會，在最重要、最本質的問題上做文章，讓學生經歷著類似笛卡爾那樣的思考，這才是讓學生自主發現并建構的數學知識。

【踐行】

無論是一維空間、二維空間還是三維空間，數與點之間的一一對應性是用數對確定位置的本質。小學階段所學的“用數對確定位置”是用有序數對來刻畫二維空間中某點的位置，即在二維直角坐標系（平面直角坐標系）中研究點的位置是如何用數對來描述的，它也具備坐標系的三要素。在唯一確定的直角坐標系下，一個有序數對就與平面上的某一個點建立了一一對應關系。

因此，課堂教學中所有的學習活動都需要以這種一一對應關系為前提和基礎，有了數與點的一一對應，就便于溝通、交流和表達了。在教學中，筆者創設“砸金蛋”游戲情境，通過讓生A（看屏幕）描述金蛋的位置，生B（不看屏幕）根據生A的描述找出金蛋的位置。情境圖從一排金蛋（一維空間）到多排金蛋（二維空間），學生描述從“文字描述”到后來的兩人商量合作只用“兩個數”來表示金蛋的位置。這一環節的教學旨在讓學生先建構一維上的規定，再建構二維上的規定，從用文字描述到用兩個數描述，重在讓學生經歷空間結構化、抽象化的過程，通過學生間的自定標準來描述對應的位置，在此過程中初步體會和感悟兩人規定的必要性和合理性。沒有花費更多的時間去讓學生創造“數對”來描述位置，不去關注用兩個數表示位置的外在形式。

隨后，讓學生用自己的規定來描述教室里同學的位置，在交流的過程中發現同一個數對竟然能表示幾個學生，或者同一個學生可以用幾個數對來表示，讓學生在矛盾沖突中感受到統一規定的必要性和合理性，從而確定了用數對表示平面圖上點的位置的順序（先列再行）和方向（從左往右、從下往上）。

在規定了數對確定位置的順序和方向后，通過比較兩個點（1，5）（如下圖1和圖2）所在的位置，引導學生發現，還會出現同一個數對表示的點不同，或者同一個點不是同一個數對表示，從而進一步引發了學生的思考：用數對確定位置，除了規定順序和方向外，還要規定圖中的原點（參照點）（0，0）。這樣的教學設計，讓學生充分經歷了結構化、抽象化的過程，并體會到數學規定的必要性和合理性，讓學生經歷了整個類似平面坐標系的形成過程，感悟到用數對確定位置的本質。

最后，也可以引入學生常見的魔方，讓學生明白有時用兩個數表示一個點的位置是不行的。從而使學生的認知由最初的一維空間向三維空間過渡，使得學生的思維有進一步拓展。

雅思貝爾斯指出：“全部教育的關鍵在于選擇完美的教育內容和盡可能使學生之‘思不誤入歧途，而是導向事物的本源?！标P注數學本質，給學生一個有“根”的數學，以“再發現”的方式讓數學思想、方法、精神根植于學生的數學學習，有助于促進教學方式和學習方式的根本性改變，使得學生有機會通過自己的發現獲得新的數學知識、技能、方法及思想，在探究發現的過程中領悟數學的真諦，從而發展成為一個“具有數學思想和精神”的人。

（作者單位：江蘇省泰州市許莊中心小學）