基于五軸運動優化的數控成形磨齒精密齒向修形

張 虎，方成剛，郭二廓，黃筱調

（南京工業大學 機械與動力工程學院，江蘇 南京 210009）

0 引言

高精度硬齒面齒輪由于其承載能力大、使用壽命長且傳動噪音低，應用越來越廣泛［1］。為進一步降低齒輪噪音、提高傳動精度和補償安裝誤差等，硬齒面齒輪一般都要進行齒面修形，包括齒廓修形和齒向修形［2-4］。成形砂輪磨齒是高效高精加工硬齒面齒輪的主要方法之一，成形砂輪磨齒可以加工內齒輪、外齒輪和特殊廓型齒輪，而且齒面修形靈活。

齒廓修形可以通過調整砂輪的軸向廓形實現，不會產生原理誤差。而齒向修形則需要改變砂輪和齒輪之間的相對螺旋運動［5］，接觸線是動態變化的，從而使齒向修形過程較為復雜。成形磨齒有單齒面磨削和雙齒面磨削兩種加工方式。單齒面磨削時砂輪和齒輪只有單面接觸，加工完一側齒面再加工另一側齒面；雙齒面磨削時砂輪和齒輪為雙面接觸，兩側齒面同時加工。因此，雙齒面磨削的效率幾乎是單齒面磨削的兩倍。單齒面磨削可以通過調整砂輪安裝角的優化單側接觸線，使單側接觸線盡可能與齒輪的端面平行，然后再通過附加的齒輪轉動或砂輪切向運動獲得較高精度的齒向修形［6］。而雙齒面磨削一般是通過附加徑向運動來實現近似的齒向修形，原理誤差較大，齒面易扭曲［5，7］。因此當齒向修形要求較高時，只能選擇單齒面磨削，效率較低。梁錫昌等［8］研究了三種附加運動實現齒向修形的方法及其對齒形的影響。鄧興奕等［9］研究了鼓形齒加工中徑向微量進給對齒形精度的影響。李國龍等［10］在附加徑向運動的基礎上，通過優化砂輪形狀，在一定程度上提高了齒向鼓形修形的精度。郭二廓［11］等研究了砂輪安裝角對齒面加工效率和精度的影響，并通過安裝角優化減小了齒向修形的不均勻量。雙齒面磨削中齒向修形精度差的問題，目前還沒有文獻給出理想的具體解決方法。

齒面修形和齒面誤差修正都是對齒面的幾何形狀進行微調，在算法和原理上相通。很多學者對螺旋傘齒輪的加工誤差修正和補償進行了研究。周超等［12］研究了砂輪位置誤差和齒面誤差之間的關系，為齒面誤差溯源和修正提供了基礎。唐進元等［13］建立了螺旋錐齒輪機床五軸聯動的數學模型，用多項式函數擬合機床的各軸運動。李敬財、王志永和唐進元等［14-16］使用不同的方法計算了機床調整參數修正量，實現了齒面誤差補償。Fan［17］將數控弧齒錐齒輪加工機床的各軸運動擬合為高階多項式，用各軸的多項式系數作為調整量來修正齒面誤差。Gabiccini等用非線性優化的方法求解了與螺旋傘齒輪目標齒面修形相對應的機床參數［18］，并研究了幾種常用齒面拓撲修正算法的可靠性和魯棒性［19］。

本文基于螺旋傘齒輪齒面修正技術，使用五軸運動優化方法實現圓柱齒輪的精密齒向修形。首先，建立實際齒面數學模型，依據砂輪軸向廓形和機床運動求解實際加工齒面，并計算齒面拓撲誤差。然后，以機床多軸運動的參數為設計變量，以齒面實際拓撲誤差與目標拓撲偏差差值最小為優化目標，建立優化模型。最后，求解得到優化后的五軸運動。

1 成形磨齒實際齒面數學模型

成形磨齒加工主要涉及砂輪軸向廓形和齒面幾何拓撲形狀兩方面的計算。在磨齒之前，需要依據齒輪的端面廓形、砂輪與齒輪的中心距以及砂輪的安裝角計算砂輪的軸向廓形，并用金剛滾輪進行修整。砂輪的軸向廓形計算已有很多文獻進行了研究［20-21］；計算齒面幾何拓撲形狀是模擬在一定的輸入條件下（包括齒輪參數、砂輪參數和機床運動參數等），加工得到的實際齒面形狀，它們之間的關系稱為實際齒面數學模型。實際齒面數學模型是研究齒面修形和齒面誤差修正的基礎。砂輪與齒輪之間為相對螺旋運動時，它們之間的接觸線保持不變，此時實際齒面數學模型相對簡單［20-21］；當砂輪與齒輪之間的相對運動不是螺旋運動時，接觸線是實時變化的，此時實際齒面數學模型相對復雜。下面詳細闡述基于成形磨齒加工的實際齒面數學模型。

1.1 機床結構和坐標系

本文的實際齒面數學模型基于一種立式結構數控成形磨齒機。如圖1所示，該磨齒機有X，Y，Z，A，C共五個光柵全閉環數控軸和SP1，SP2，SP3共三個電主軸，主要由轉臺、床身、立柱、拖板和磨頭等部件組成。成形砂輪磨齒主要分兩步加工：①Y軸和W軸聯動，用金剛滾輪修整砂輪；②用修整好的砂輪進行單分度磨齒。

依據機床結構和各數控軸的運動關系，本文建立了圖2 所示的坐標系。坐標系Ofxfyfzf（記為Sf，其他坐標系采用同樣方法表示）與轉臺的靜止部件固定連接，為空間固定坐標系。Ofxf平行于機床的X軸運動，Ofzf為轉臺的回轉軸線。坐標系Sg與轉臺回轉運動部件和待磨齒輪連接，初始時與坐標系Sf重合。轉臺回轉時坐標系Sg繞Ofzf旋轉，轉臺的回轉角度記為ψc。

坐標系Se固定于拖板上，原點Oe為A軸回轉軸線與砂輪回轉軸線的交點，Oexe平行于Ofxf，Oeye平行于Ofzf。坐標系Se與Sf之間的相對位置關系由參數Dx和Dz決定。Dx和Dz分別代表機床的X軸和Z軸的坐標。坐標系Sd固定于A軸上，隨著A軸一起轉動。當A軸為0時，坐標系Sd與坐標系Se重合。A軸轉動時坐標系Sd繞Oexe旋轉，轉過的角度記為ψa。坐標系Sw固定于砂輪主軸的靜止部件上，原點Ow為砂輪的對稱中心面與砂輪回轉軸線的交點，Owzw與砂輪回轉軸線重合。當機床的Y軸坐標為0時，坐標系Sw與坐標系Sd重合。Y軸移動時，坐標系Sw沿著Odzd方向平移，Y軸坐標記為Dy。

1.2 實際加工齒面

如圖3所示，砂輪的軸向廓形在截面坐標系Sp中用參數u表示為：

當坐標系Sp繞Owzw軸旋轉時，rp在空間掃掠形成砂輪回轉曲面，

式中Mwp為坐標系Sp到坐標系Sw的變換矩陣，

這樣就建立了雙參數砂輪曲面rw（u，φ），u為軸向廓形參數，φ為相位參數。再通過坐標系Sw到Sg的變換矩陣Mgw，得到機床運動時砂輪曲面rw在齒輪坐標系Sg中形成的曲面族：

式中t為機床各數控軸運動函數（Dx，Dy，Dz，ψc和ψa）的自變量，是曲面族的族參數，

實際齒面是單參數曲面族rg（u，φ；t）的包絡面。先依據齊次坐標變化矩陣Mgw（t）分離出坐標變換的旋轉矩陣R（t）和平移向量p（t），然后依據式（4）計算曲面族的旋轉運動速度ω（t）和平移運動速度v（t）［22］：

再根據式（5）計算曲面族和包絡面的接觸條件［21］。

式（5）表明φ為u和t的函數，則砂輪曲面族的包絡面，即實際齒面可以表示為

1.3 齒面偏差

為了直觀地描述實際齒面的形狀，如圖4a所示，將實際齒面與標準（本文中“標準”是指沒有任何齒面修形）漸開螺旋面在齒面網格拓撲點上進行比較，得到齒面拓撲偏差。如果是斜齒輪，則需要將各個端面的齒形繞齒輪軸線旋轉一個角度，變換成直齒。圖4b所示為齒面拓撲偏差圖，虛線為標準漸開螺旋面的拓撲網格，實線為實際齒面的拓撲網格，對應網格點之間的線段長度表示了該拓撲點處的齒面偏差的大小。圖中左右齒面各有7條齒向偏差線和9條齒廓偏差線。

如圖5所示，在齒輪端面內計算實際加工齒面與標準漸開螺旋面在每一拓撲點處的偏差。A′為實際加工齒廓L′上的某一點，A′B與基圓相切并與標準漸開線L相交于A點，則實際加工齒面上A′點的偏差齒面上所有拓撲點的偏差組成齒面拓撲偏差向量，記為e=［e1，e2，…，em］T。

2 基于五軸運動優化的齒向修形

雙齒面磨削實現齒向修形的傳統方法是，依據齒向偏差與機床X軸、Y軸或者C軸運動之間的關系，計算機床對應的附加運動。這種方法精度不高，鼓形修形時容易產生齒面扭曲。實際齒面數學模型描述了砂輪形狀和機床各軸運動與實際齒面的映射關系。砂輪形狀一般只影響齒廓形狀，而機床運動主要影響齒向形狀。通過優化實際齒面數學模型中的五軸運動函數，可以實現齒向修形。

2.1 優化模型

將機床的各數控軸運動表示為高次多項式：

式中：t為與Z軸運動成線性比例的無量綱量，B為齒寬，Dx0和Dx1等為多項式系數。優化參數為各多項式系數組成的參數向量：

優化目標為實際齒面拓撲偏差與理想齒面拓撲偏差的差值最?。?/p>

式中：e（ξ）=［e1，e2，…，em］T為實際的齒面拓撲偏差向量，et=［et1，et2，…，etm］T為理想齒面拓撲偏差向量。

2.2 數學求解

由于實際齒面偏差與機床運動多項式系數之間的關系e（ξ）是非線性的，式（9）表示的優化模型也是非線性的，需要采用數值方法進行迭代求解。采用Gauss-Newton法進行求解：

式中J（n）為Jacobi矩陣，表示ξ=ξ（n）時f（ξ）變化量與ξ變化量之間的關系。J（n）采用差分法進行近似計算：

式中：Δξn為運動多項式系數的擾動量，Δem為齒面上拓撲偏差的擾動量。首先僅在第j個多項式系數ξj上施加一個微小擾動量Δξj，其他多項式系數保持不變；然后使用實際齒面數學模型計算實際齒面拓撲偏差的變化量Δei（i=1，2，…，m）；最后用拓撲偏差變化量除以多項式系數的擾動量Δei／Δξj（i=1，2，…，m），即為Jacobi矩陣的第j列。

3 舉例與討論

本文以一具體齒輪為例詳細闡述所提出的齒向修形方法。齒輪和砂輪的基本參數如表1所示。

表1 齒輪成形磨削的基本參數

續表1

五軸運動優化實現齒向修形的具體步驟為：①計算砂輪軸向廓形和標準的各軸運動多項式系數；②建立實際齒面數學模型，描述機床運動與齒面偏差之間的關系，即e與ξ之間的關系；③建立五軸運動優化模型，并以標準的各軸多項式運動系數為迭代初始值，求解優化模型得到多項式運動系數ξ（n）。

依據表1中的數據，可以計算得到砂輪軸向廓形。標準的各軸運動多項式系數如表2所示。為驗證實際齒面數學模型，將表2中的數據代入式（7），并按式（4）～式（6）求得實際加工齒面rs（u，t）。然后按照1.3節的評價方法計算齒面的拓撲誤差。結果顯示齒面上所有拓撲誤差都小于10-10mm，近似為0，說明實際加工齒面的數學模型是正確的。

表2 無齒向修形時各軸的運動多項式系數

當有齒向修形要求時，按照式（8）和式（9）建立優化模型，并按式（10）和式（11）求解得到齒向修形運動。式（9）中的理想齒面拓撲偏差向量et依據目標齒向修形獲得。式（11）中計算Jacobi矩陣時，直線軸對應的系數擾動量為0.001 mm，回轉軸對應的系數擾動量為0.000 01rad。本文提出的方法適用于多種齒向修形形式，包括鼓形齒、K形齒、錐形齒等，下面以常見的鼓形齒為例進行分析。

3.1 齒向鼓形修形

圖6所示為目標修形量為40μm 的齒向鼓形修形。如果采用傳統的附加徑向運動的方法來加工，則利用實際加工齒面數學模型，經過數值分析得到齒面的拓撲誤差如圖7a所示，實際齒面拓撲偏差與目標拓撲偏差之間的誤差平方和為18 391.1 μm2。按照五軸運動優化方法建立優化模型，經過6次迭代后誤差f（ξ）穩定，迭代計算中止。優化后實際齒面拓撲偏差如圖7b所示，與目標拓撲偏差之間的誤差平方和僅為351.1μm2，誤差顯著降低。圖8所示為優化前后各軸運動的差值，稱為各軸的附加運動。圖8中，運動函數的上標（0）表示優化前的機床運動，運動函數的上標（s）表示優化后的機床運動。由圖8可見，X軸的附加運動范圍約為-0.8 mm～0mm，沿齒寬左右對稱分布；Y軸的附加運動范圍約為-2mm～2mm，沿齒寬中心對稱分布；A軸的附加運動范圍約-800″～100″，沿齒寬左右對稱分布；C軸的附加運動范圍約-2 000″～2 000″，沿齒寬中心對稱分布。由于機床各軸的附加運動，導致砂輪與齒輪之間的相對運動已經不是螺旋運動，加工過程中接觸線是不斷變化的。圖9為整個加工過程的實際接觸線在砂輪坐標系中的變化。

3.2 試驗

本文在自主研發的數控成形磨齒機上，進行了齒向鼓形修形的加工試驗。加工的基本參數如表1所示，齒向修形要求如圖6所示。分別使用傳統加工方法和五軸運動優化方法進行試驗，然后在三坐標測量儀WENZEL（LH1512）上測量齒輪誤差。測量結果如圖10所示，分別在靠近齒根處、分度圓處和靠近齒頂處測量齒向偏差，結果發現傳統方法加工的齒向偏差曲線扭曲嚴重，而五軸運動優化加工的齒向偏差曲線與圖6中的理想曲線接近。其中分度圓處兩種方法的齒向偏差曲線最大相差10μm，靠近齒根處最大相差約為20μm，靠近齒頂處最大相差約為45μm。試驗結果說明采用五軸運動優化可以避免齒向鼓形修形產生的齒面扭曲，顯著提高齒向修形的精度。

4 結束語

本文針對數控成形磨齒加工中單面磨齒齒向修形效率低和雙面磨齒齒向修形精度不高的難題，采用一種五軸運動優化方法來實現雙齒面磨削精密齒向修形。本文的主要貢獻如下：

（1）建立了數控成形磨齒加工的實際齒面數學模型。通過該模型，可以依據砂輪的軸向廓形、磨齒過程中機床的各軸運動，求得實際加工齒面。在齒輪的端面內計算實際加工齒面上每一點的偏差，建立齒面拓撲偏差圖。

（2）建立了五軸運動優化的數學模型。以實際機床的五軸運動多項式系數為優化參數，以實際齒面拓撲偏差與理想齒面拓撲偏差的差值最小為優化目標。

（3）將五軸運動優化方法應用于齒向鼓形修形，數值分析和試驗結果均表明：該方法可以顯著降低傳統方法導致的齒面扭曲，提高齒向修形的精度。

該方法在其他形式齒向修形中的應用將在后續研究中驗證。

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