淺談“微元法”在高考物理題中應用

史文杰

在近幾年的高考中時常出現一些涉及物體在變力作用下，做非勻變速運動的問題.學生在解題時，感覺無從下手.因為日常的教學和練習中，大多數情況只討論恒力作用下的勻變速直線運動，對于變力問題下的非勻變速直線運動只作定性分析，很少進行定量研究.這類問題的解決涉及到“微元法”.

一、微元法

所謂“微元法”，又叫“微小變量法”，是解物理題的一種方法.它適用于變力作用下做變速運動（非勻變速運動）的情況.用微元法解題目體現了微分和積分的思想.

何為微分思想？例如時間Δt很短或位移Δx很小時，非勻變速運動可以看作勻變速運動，從v-t圖象中的圖形可近似看作矩形，所以vΔt=Δx.

何為積分思想？如許多小的梯形加起來為大的梯形，即Δx=X，（Δx代表微位移，X代表總位移），并且Δv=v-v0，當末速度v=0時，有Δv=v0，或初速度v0=0時，有Δv=v，這種求和的方法體現了積分思想.

筆者發現采用“微元法”解決的題目雖然很多，情景多變，但其解題的模式是相似的，都采用關系式Δv=aΔt=F合mΔt，即牛頓第二定律和加速度定義式的微元式，學生只要會受力分析和運動分析，寫出F合的表達式（與v有關的變力）以及初速

度v0和末速度v，根據上面的方程，解出相關的物理量即可.下面談一談“微元法”在電磁感應問題和動力學問題中的應用.

二、“微元法”在電磁感應問題中的應用

一些涉及“電磁感應”的題目，可以用微元法解，因為在電磁感應中，如導體切割磁感線運動，產生的感應電動勢E=BLv，感應電流I=BLvR，安培力F=BIL=B2L2Rv，因為是變力問題，所以可以用微元法.

例1如圖所示，一水平放置的光滑平行導軌上放一質量為m的金屬桿，導軌間距為L，導軌的一端連接一阻值為R的電阻，其它電阻不計，磁感應強度為B的勻強磁場垂直于導軌平面，現給金屬桿一個水平向右的初速度v0，然后任其運動，導軌足夠長，試求金屬桿在導軌上向右移動的最大距離是多少？

解析對桿進行受力分析，桿在豎直平面內受到重力、豎直向上的支持力這是一對平衡力，水平方面上向左的安培力是桿受到的合外力.而且F安隨速度的變小而變小.這是典型變力作用下求位移的題.

解設桿在減速中的某一時刻的速度為v，取一極短時間Δt，發生了一段極小的位移Δx，在Δt時間內， 磁通量的變化Δ=BLΔx， 感應電流I=ΔΔtR=BLΔxΔtR

安培力F安=BIL=B2L2ΔxΔtR， 由于Δt極短，可以認為F安=B2L2vR.

由牛頓第二定律在t到t+Δt時間內，Δv=aΔt=F合m=Δt （此處體現了微分思想）

方程兩邊求和：Δv=B2L2vmRΔt （此處體現了積分思想）

方程變形：

Δv=B2L2mRvΔt （vΔt=x，Δv=v0-0）

即v0-0=B2L2mRx， 解得：x=mv0RB2l2

三、“微元法”在動力學問題中的應用endprint

在近幾年的高考中時常出現一些涉及物體在變力作用下，做非勻變速運動的問題.學生在解題時，感覺無從下手.因為日常的教學和練習中，大多數情況只討論恒力作用下的勻變速直線運動，對于變力問題下的非勻變速直線運動只作定性分析，很少進行定量研究.這類問題的解決涉及到“微元法”.

一、微元法

所謂“微元法”，又叫“微小變量法”，是解物理題的一種方法.它適用于變力作用下做變速運動（非勻變速運動）的情況.用微元法解題目體現了微分和積分的思想.

何為微分思想？例如時間Δt很短或位移Δx很小時，非勻變速運動可以看作勻變速運動，從v-t圖象中的圖形可近似看作矩形，所以vΔt=Δx.

何為積分思想？如許多小的梯形加起來為大的梯形，即Δx=X，（Δx代表微位移，X代表總位移），并且Δv=v-v0，當末速度v=0時，有Δv=v0，或初速度v0=0時，有Δv=v，這種求和的方法體現了積分思想.

筆者發現采用“微元法”解決的題目雖然很多，情景多變，但其解題的模式是相似的，都采用關系式Δv=aΔt=F合mΔt，即牛頓第二定律和加速度定義式的微元式，學生只要會受力分析和運動分析，寫出F合的表達式（與v有關的變力）以及初速

度v0和末速度v，根據上面的方程，解出相關的物理量即可.下面談一談“微元法”在電磁感應問題和動力學問題中的應用.

二、“微元法”在電磁感應問題中的應用

一些涉及“電磁感應”的題目，可以用微元法解，因為在電磁感應中，如導體切割磁感線運動，產生的感應電動勢E=BLv，感應電流I=BLvR，安培力F=BIL=B2L2Rv，因為是變力問題，所以可以用微元法.

例1如圖所示，一水平放置的光滑平行導軌上放一質量為m的金屬桿，導軌間距為L，導軌的一端連接一阻值為R的電阻，其它電阻不計，磁感應強度為B的勻強磁場垂直于導軌平面，現給金屬桿一個水平向右的初速度v0，然后任其運動，導軌足夠長，試求金屬桿在導軌上向右移動的最大距離是多少？

解析對桿進行受力分析，桿在豎直平面內受到重力、豎直向上的支持力這是一對平衡力，水平方面上向左的安培力是桿受到的合外力.而且F安隨速度的變小而變小.這是典型變力作用下求位移的題.

解設桿在減速中的某一時刻的速度為v，取一極短時間Δt，發生了一段極小的位移Δx，在Δt時間內， 磁通量的變化Δ=BLΔx， 感應電流I=ΔΔtR=BLΔxΔtR

安培力F安=BIL=B2L2ΔxΔtR， 由于Δt極短，可以認為F安=B2L2vR.

由牛頓第二定律在t到t+Δt時間內，Δv=aΔt=F合m=Δt （此處體現了微分思想）

方程兩邊求和：Δv=B2L2vmRΔt （此處體現了積分思想）

方程變形：

Δv=B2L2mRvΔt （vΔt=x，Δv=v0-0）

即v0-0=B2L2mRx， 解得：x=mv0RB2l2

三、“微元法”在動力學問題中的應用endprint

在近幾年的高考中時常出現一些涉及物體在變力作用下，做非勻變速運動的問題.學生在解題時，感覺無從下手.因為日常的教學和練習中，大多數情況只討論恒力作用下的勻變速直線運動，對于變力問題下的非勻變速直線運動只作定性分析，很少進行定量研究.這類問題的解決涉及到“微元法”.

一、微元法

所謂“微元法”，又叫“微小變量法”，是解物理題的一種方法.它適用于變力作用下做變速運動（非勻變速運動）的情況.用微元法解題目體現了微分和積分的思想.

何為微分思想？例如時間Δt很短或位移Δx很小時，非勻變速運動可以看作勻變速運動，從v-t圖象中的圖形可近似看作矩形，所以vΔt=Δx.

何為積分思想？如許多小的梯形加起來為大的梯形，即Δx=X，（Δx代表微位移，X代表總位移），并且Δv=v-v0，當末速度v=0時，有Δv=v0，或初速度v0=0時，有Δv=v，這種求和的方法體現了積分思想.

筆者發現采用“微元法”解決的題目雖然很多，情景多變，但其解題的模式是相似的，都采用關系式Δv=aΔt=F合mΔt，即牛頓第二定律和加速度定義式的微元式，學生只要會受力分析和運動分析，寫出F合的表達式（與v有關的變力）以及初速

度v0和末速度v，根據上面的方程，解出相關的物理量即可.下面談一談“微元法”在電磁感應問題和動力學問題中的應用.

二、“微元法”在電磁感應問題中的應用

一些涉及“電磁感應”的題目，可以用微元法解，因為在電磁感應中，如導體切割磁感線運動，產生的感應電動勢E=BLv，感應電流I=BLvR，安培力F=BIL=B2L2Rv，因為是變力問題，所以可以用微元法.

例1如圖所示，一水平放置的光滑平行導軌上放一質量為m的金屬桿，導軌間距為L，導軌的一端連接一阻值為R的電阻，其它電阻不計，磁感應強度為B的勻強磁場垂直于導軌平面，現給金屬桿一個水平向右的初速度v0，然后任其運動，導軌足夠長，試求金屬桿在導軌上向右移動的最大距離是多少？

解析對桿進行受力分析，桿在豎直平面內受到重力、豎直向上的支持力這是一對平衡力，水平方面上向左的安培力是桿受到的合外力.而且F安隨速度的變小而變小.這是典型變力作用下求位移的題.

解設桿在減速中的某一時刻的速度為v，取一極短時間Δt，發生了一段極小的位移Δx，在Δt時間內， 磁通量的變化Δ=BLΔx， 感應電流I=ΔΔtR=BLΔxΔtR

安培力F安=BIL=B2L2ΔxΔtR， 由于Δt極短，可以認為F安=B2L2vR.

由牛頓第二定律在t到t+Δt時間內，Δv=aΔt=F合m=Δt （此處體現了微分思想）

方程兩邊求和：Δv=B2L2vmRΔt （此處體現了積分思想）

方程變形：

Δv=B2L2mRvΔt （vΔt=x，Δv=v0-0）

即v0-0=B2L2mRx， 解得：x=mv0RB2l2

三、“微元法”在動力學問題中的應用endprint