循環加-卸載巖石本構模型研究

張平陽，夏才初，周舒威，周 瑜，胡永生

（1.同濟大學 土木工程學院 地下建筑與工程系，上海 200092；2.中國大唐集團新能源股份有限公司，北京 100053）

1 引 言

地下巖石工程難免受到周期荷載作用，如周期交通荷載、地震等，這使得諸多學者都對巖石在周期性荷載作用下的性質展開研究[1-4]，但這些研究極少涉及對巖石本構關系的探索。而地下壓氣儲能洞室作為巖石受周期荷載作用的典型例子[5]，在其長期運營階段，圍巖受到內部氣壓的反復作用，其力學性能將發生改變，從而影響洞室的長期穩定性，因而合理的本構模型將成為預測洞室穩定性的關鍵。但目前壓氣儲能（特別是有襯隧洞）的巖石本構還只是采用彈性模型[6-7]或彈塑性模型[8-9]，這與實際不甚相符，因此，需要迫切地開展巖石在循環加-卸載作用下的本構模型研究。

對于巖石在循環加-卸載下的本構模型研究，莫海鴻[10]開展了紅砂巖和大理巖的循環加載試驗，給出了巖石的內時本構方程，但其中的材料函數復雜，參數較多，沒有明確的物理意義；王者超等[11]開展了花崗巖三軸循環荷載試驗，提出了可以反映循環荷載作用下巖石變形模量變化的內變量疲勞本構模型，但該模型無法完整地描述巖石的應力-應變關系。此外，巖石在循環荷載不斷作用下，實際上是一個損傷累積的過程[12]，因此，可以將巖石損傷理論應用到本構模型研究領域。對于巖石損傷，曹文貴等[13]建立了基于Weibull 分布的巖石損傷軟化模型，較好地反映了巖石破裂過程的全應力-應變試驗曲線，但該模型只是針對單調加載過程，不能反映循環荷載的影響。劉博等[14]對循環剪切荷載作用下的巖石節理變形特性進行了試驗研究。

基于以上研究背景，本文將基于Weibull 分布的巖石損傷軟化模型進行拓展，并用內變量疲勞本構模型描述每個循環的初始模量和卸載模量的變化，進而提出循環加-卸載作用下的巖石本構模型。該模型能夠用于描述每個循環內的應力-應變關系，且與試驗數據吻合，該模型的成功建立為循環加-卸載下巖石本構模型的研究提供了新思路。

2 循環加-卸載作用下的巖石本構模型

2.1 本構模型的建立

將循環加-卸載作用下的巖石本構模型分為加載段和卸載段兩部分。加載段采用基于Weibull 分布的巖石損傷軟化模型[13]：

式中：σ1與 σ3分別為巖石三軸試驗中軸向應力和圍壓；E0和μ為每個循環內的初始彈性模量與泊松比；ε1為每個循環內的軸向應變，每個循環內的初值為應力下限值與初始彈性模量之比；m和F0為巖石微元強度的Weibull 隨機分布參數，在每個循環內都會變化，是循環次數的函數，在本文中將通過對試驗數據線性擬合得到；F為巖石微元強度；I1為應力張量的第1 不變量；J2為應力偏量的第2 不變量；α為與內摩擦角φ 有關的參數。

為使本構模型簡便實用，卸載段本構模型表達式為

式中：σ1p和ε1p分別為循環內峰值應力和應變；E′為每個循環內的卸載模量。

對于每個循環內的初始彈性模量和卸載模量，采用王者超等[11]提出的內變量疲勞本構模型中變形模量的表達式：

式中：A、n和l 均為模型參數；ε1r為殘余軸向應變；為等效應力；β為等效應力線傾角，與巖石內摩擦角有關。

這樣，通過式（1）、（4）、（5）即可獲得全部循環內巖石應力與應變的關系，即得到循環加-卸載作用下的巖石本構模型。

提出的循環加-卸載作用下的巖石本構模型涉及到的參數有式（1）中的m和F0，式（5）中的A、n和l。對于單個循環內m 及 F0的確定，曹文貴等[13]已做了詳細地介紹，可基于三軸試驗結果，引進線性擬合的方法確定。對于初始彈性模量和卸載模量計算公式的3 個參數，可先將式（5）變形為

然后采用多參數線性擬合方法，即可擬合式（9），確定A、n和l 3 個參數。

2.2 m和F0與循環次數N 的關系

采用了張媛等[15]的試驗數據對m、F0隨循環次數的變化規律進行研究。首先，獲得不同圍壓下循環內參數m和F0與循環次數的關系，如圖1 所示。而曹文貴等通過參數敏感性分析得出[13]：巖石峰值強度隨 F0增大而增大，F0反映了巖石宏觀平均強度的大??；m 反映巖石微元強度分布集中程度，m 越大，微元強度分布越集中，材料的脆性度越高。從圖1 中不難看出，隨著循環次數的增加，m 值也相應增加，說明材料的脆性度變高，原因是強度低的微元在循環過程中已發生破壞，故微元強度的分布隨著循環次數增加而變集中。隨著循環次數的增加，F0值也相應減小，這是因為隨著循環次數的增加，巖石的強度在不斷降低。

將獲得的參數值m和F0隨循環次數的變化規律用趨勢線描述（見圖1），可以獲得參數m和F0的表達式為

式中：B、C、D、E為擬合參數；N為循環次數。

圖1 循環內擬合參數與循環次數N 的關系Fig.1 Relationships between fitting parameters of every cycle and the cycle number

將式（5）、（10）、（11）代入式（1），最終獲得循環加-卸載下加載段的巖石本構模型為

3 模型擬合效果

為了驗證本文提出的循環加-卸載作用下的巖石本構模型，采用張媛等[15]的試驗數據。張媛等進行了砂巖在循環荷載作用下的三軸壓縮試驗。首先測定砂巖的三軸抗壓強度，然后取抗壓強度的25%和70%作為循環荷載的下限值和上限值進行試驗，最后給出了與試驗結果相關度極高的擬合曲線，從其擬合曲線中可以獲得每個循環中的軸向最大應變、軸向殘余應變、初始模量和卸載模量等。采用本文提出的循環加-卸載巖石本構模型，對張媛獲得的試驗數據進行擬合，獲得的初始模量和卸載模量參數如表1 所示。

采用表1 的擬合參數，與原始數據進行對比。將不同圍壓下，初始模量和卸載模量的試驗數據和擬合曲線進行對比，在圖2 中給出。從圖中可以看出，雖然原始數據有一定的波動，但初始模量和卸載模量的擬合曲線與原始數據還是基本吻合，采用式（5）能夠反映初始模量和卸載模量的變化趨勢。

表1 文獻[15]試驗擬合參數Table 1 Fitting parameters of tests in literature[15]

圖2 砂巖初始模量擬合曲線與試驗數據對比Fig.2 Comparision of fitting curves and test data of initial modulus of sandstone

循環加-卸載作用下的巖石本構模型重點是描述每個循環內的應力-應變關系，因此，對循環內的擬合尤為重要。選取不同圍壓下，第5、10、15 次循環內的試驗數據和擬合曲線進行比較，對比結果分別見圖3～5。從這些圖中可以看出，擬合曲線與原始數據基本保持一致。

圖3 20 MPa 圍壓下加載段擬合曲線與試驗數據對比Fig.3 Comparisons of fitting curves and test data in the loading stages under a confining pressure of 20 MPa

圖4 40 MPa 圍壓下加載段擬合曲線與試驗數據對比Fig.4 Comparisons of fitting curves and test data in loading stages under a confining pressure of 40 MPa

圖5 60 MPa 圍壓下加載段擬合曲線與試驗數據對比Fig.5 Comparisons of fitting curves and test data in loading stages under a confining pressure of 60 MPa

從圖3～5 可以看出，采用本文提出的本構模型獲得的每個循環內的應力-應變曲線與試驗數據完全吻合。在不同圍壓、不同循環數下，本文提出的本構模型均能夠獲得與試驗數據一致的應力-應變關系，能夠準確獲得與循環荷載上、下限值相對應的軸向應變，也能反映在循環內部變形模量衰減的趨勢，這些都體現了本文方法的可行性以及準確性。

4 結 論

本文將基于Weibull 分布的巖石損傷軟化模型進行拓展，并用內變量疲勞本構模型描述每個循環的初始模量和卸載模量的變化，得到以下結論：

（1）提出了循環加-卸載作用下的巖石本構模型。該模型物理意義明確，涉及的參數較少，且便于擬合。

（2）提出的循環加-卸載下巖石本構模型對試驗數據擬合效果較好，能較準確地反映循環荷載上、下限值對應的軸向應變，也能反映出循環內部變形模量衰減的趨勢。

（3）該模型的成功建立為循環加-卸載下巖石本構模型的研究提供了新思路。

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