任意擺幅的擺類振動規律研究

朱 平

(普洱學院 理工學院，云南 普洱 665000)

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任意擺幅的擺類振動規律研究

朱 平

(普洱學院 理工學院，云南 普洱 665000)

任意擺幅的擺類振動由于涉及橢圓積分，問題的討論帶來一定的困難，通常僅局限于討論擺角較小時的情況，近似處理為簡諧振動.如果不做這種近似處理，對任意的擺幅，擺類的振動規律又如何，振動又有什么特點，是否是簡諧振動，這是大學力學教學中學生感到困惑的問題.運用橢圓積分的理論給出了問題的解，并進行了系統、深入的討論.

任意擺幅;擺類;振動;規律

在力學問題的教學中，單擺、復擺、碗擺、環擺、扭擺等的振動是一類最為基本和重要的振動[1-4]，是研究其他復雜振動的基礎.然而，對這類振動的研究，涉及橢圓積分，給問題的討論帶來一定的困難[5-9],一般情況僅局限于討論擺幅較小時的情況，近似處理為簡諧振動.如果不做這種近似處理，對任意的擺幅，這類問題的振動規律又如何，振動又有什么特點，是否是簡諧振動，這是大學力學教學中學生感到困惑的問題.下面對這一問題展開分析和討論.

任意擺幅的單擺、復擺、扭擺以及碗擺等這一類的振動可以簡化為通過一剛體的復擺的振動來加以討論，如圖1所示.

一剛體復擺，質量為m,轉動慣量為I，過O點的垂直軸為轉軸，轉軸到質心的距離為d、C為質心，剛體可以繞O的軸自由往復地振動.

當O點為固定點，剛體為集中在C的質點時，為單擺，擺長為d；當過O點的轉軸為固定扭體，mg替換為扭擺的內回復力矩，為扭擺；當d為碗的半徑，剛體為質量集中于C的半徑為r的小球，沿d的方向有碗的支持力，此時為碗擺；當剛體為一環，環上支點為O，環的質量為m，半徑為d，為環擺.

研究這一類擺的振動規律，可以先簡化為討論復擺的振動規律，從復擺的振動規律的結果中再使問題具體化得到單擺、扭擺、環擺、碗擺等的具體振動規律.

圖1 復擺

1 任意擺幅的復擺

對于一任意擺角φ，復擺受到的回復力矩為-mgdsinφ，由定軸轉動定理有

令

則有

對于復擺的振動，有

(1)

從微分方程(1)式有

(2)

(2)式為橢圓積分.為得到相應的解對其作變量變換，令

θ.有

于是

(3)

方程(3)為橢圓積分，其解為[10]

(4)

F[θ,k]為第一類橢圓積分函數.從解析式(4)，可以通過計算機數值計算得到角位移隨時間的演化規律

φ=G(t)

(5)

(4)或(5)即為任意擺幅的復擺的振動規律的解.

圖2 角幅與初角速度的關系

圖3 任意擺幅復擺的振動圖像

利用復擺微分方程的解析式(4)，通過計算機數值計算的方法，在圖3里給出了任意擺幅的復擺振動角位移隨時間的演化圖φ=G(t).這里，k0=0.7，擺的初角速度ω0取不同的值.從圖3看到，任意擺幅的振動是周期函數，但振動的周期和振動的幅度與初角速度有關，在ω0的取值范圍里，初角速度越大，振動的幅度越大，周期也越大.顯然，振動周期與振動幅度有關，這與簡諧振動的周期與擺幅無關是不同的，任意擺幅的復擺的振動不是簡諧振動.

于是，可以得到任意擺幅復擺的振動周期解析式[10]

這里，K[k]為第一類完全橢圓積分函數.

圖4 單擺的振動周期分布圖

圖4給出了復擺的振動周期與初角速度ω0、系統固有屬性k0間的關系.當初角速度增加，擺幅增大時，系統的周期增大.當初角速度接近系統的限制值(2mgd/I)時，系統的周期迅速增大.在初角速度一定時，系統固有常數k0越大，復擺的振動周期就越小.

如果復擺作sinφ～φ的近似處理，為簡諧振動，且

其解為

圖5 復擺振動圖像與作近似處理

在圖5里給出了任意擺幅的復擺振動圖像與作近似處理為簡諧振動圖像的比較.這里，k0=0.5，ω0=0.7.虛線為解析解(4)式給出的任意擺幅的復擺振動圖像.實線為復擺作近似處理為簡諧振動的振動圖像.從圖5 看到，當擺角較小時，任意擺幅的振動與作近似處理的簡諧振動差別不大，擺角越小，這種一致性就越高.但當時間增加、擺角增大時，復擺實際振動的規律與簡諧振動的差別迅速增大.實際復擺的振動周期比近似處理的簡諧振動的周期更大，振幅也更大.

圖6 振動幅角為3°時復擺振動圖像與相應簡諧振動圖像比較

圖6給出了振動幅角為3°時簡諧振動圖像(實線)與解析式(4)給出的振動圖像(實圓點)，這里，ω0=0.7.顯然，兩者的圖像已幾乎是重合一致.因此，當幅角較小時，復擺的振動可看作簡諧振動.然而，實際的復擺，幅角小于3°的振動不太容易實現，因此，實際的復擺多為非簡諧振動，它的振動規律可以由式(4)與式(5)給出.

2 單擺振動規律

對任意擺幅單擺的振動規律

圖7 任意擺幅單擺振動圖像與作近似處理的簡諧振動圖像的比較

圖7給出了任意擺幅單擺振動圖像與作近似處理的簡諧振動圖像的比較，這里，k0=0.4，ω0=0.6.從圖7看到，單擺任意擺幅的振動與作近似處理的簡諧振動的差別比復擺的差別更突出.擺角較小時，一致性較高.但當擺角增大時，單擺實際振動的規律與簡諧振動的差別更加突出.單擺實際振動的周期、振幅比簡諧振動給出的周期、振幅更大.這是因為單擺作近似處理給出的回復力矩比實際回復力矩更大，所以簡諧振動的振幅、周期就更小.周期為

實際單擺的振動周期與復擺的周期有類似的規律，周期與擺幅有關，擺幅越大，周期越大.

3 碗擺的振動規律

碗的半徑為R，小球的質量為m, 半徑為r，轉動慣量為

任意擺幅的碗擺振動規律

周期

顯然，系統的固有參數一定時，碗擺的周期與擺幅有關.

圖8 碗擺的振動周期與擺球半徑關系分布圖

圖9 碗擺的振動周期與擺碗半徑關系分布圖

圖8和圖9里，ω0=1.2,圖8中R=10；圖9中r=0.2.在擺幅一定的條件下，碗擺的周期與擺球的半徑和擺碗的半徑有關，擺球和擺碗的半徑越大，碗擺的周期越大.

4 環擺的振動規律

圓環的半徑為R，質量為m,轉動慣量為

任意擺幅的振動規律

周期

5 扭擺的振動規律

對于扭轉軸為理想彈性體的扭擺，當轉角為φ時，內回復力矩與扭轉角呈線性關系，轉動慣量為I,則

c為常數.此時的振動為簡諧振動.振動規律

如果扭擺的內回復力矩與扭轉角成非線性關系，為非簡諧振動.

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Research on Vibrations of Pendulums for Arbitrary Amplitudes of Angle

ZHU Ping

(School of Science and Technology，Puer Universiy,Puer 665000,China)

Because vibrations of pendulums for arbitrary amplitudes of the angle involve the elliptic integrals,it is difficult to investigate and solve this problem.Usually,the vibration of the amplitude of the angle being smaller is only discussed,which is approximated as a simple harmonic vibration.This paper investigates the problem which makes students feel confused in mechanics teaching and presents the angular displacement function and the period function of pendulums for arbitrary amplitudes of the angle by using the theory of elliptic integrals and the analytic method.

Rbitrary amplitudes of the angle; Pendulums; Vibrations; Law

2014-10-17

朱 平(1958-)，男，云南普洱人，博士，教授，碩士生導師,主要從事大學物理教學方面研究.

朱 平.

O32

A

1007-9793(2015)03-0051-05