小議差分方程的應用

周曉燕（福建省福州職業技術學院350108）

小議差分方程的應用

周曉燕（福建省福州職業技術學院350108）

本文主要討論了數學中的差分方程在實際生活中的應用。

差分方程蛛網模型減肥模型

一、定義：差分方程的概念

我們將含有未知函數yt的差分的方程稱為差分方程。一般地，n階差分方程的形式為：F（t，yt，△yt，△2yt，…，△nyt）。也可表示為：G（t，yt，yt+1，yt+2，…，yt+n）=0。

二、應用

（一）籌集教育經費模型

隨著人們生活水平日益提高，人們對于收入的理財認識逐步提高。部分家庭會考慮存入一小部分空余的資金，以供子女長大后完成學業。有一戶家庭從現在開始從每個月的家庭總收入中取出一部分資金存到銀行，計劃20年以后，每個月從該賬戶取出1000元，一直到子女全部完成學業，估計一共支取10年后賬戶資金全部用完。如果要實現這一計劃，在存錢的20年內一共要存入多少資金？每個月要存多少錢到賬戶中？假設銀行的月利率一直保持不變為0.6%。

假設前面存錢的20年內一共要存入x元資金，每個月存入該賬戶a元資金，該賬戶第個月的資金總額為Ii元，20年后的第i個月的資金總額為Si元。

從而，得到20年以后，關于Si的差分方程模型為：Si+1=1.006Si-1200并且：S120=0，S0=x

從開始存錢到20年之內，該賬戶第i個月的資金總額為Ii滿足差分方程：

Ii+1=1.006Ii+a且I0=0，I240=97560.12

解這一差分方程，得到：a=182.78

從而，要實現這一教育投資計劃，在存錢的20年內一共要存入97560.12元，平均每個月要存182.78元到賬戶中。

（二）減肥計劃——節食與運動

隨著人們生活水平的提高，肥胖的人越來越多。針對東方人的特點，聯合國世界衛生組織頒布的體重指數，當18.5≤BMI≤24為正常，24＜BMI＜29為超重，29＜BMI為肥胖。

1.模型假設

假設此人身體狀況正常，且肥胖不是遺傳性的；只考慮一周里由于與體重成正比的運動而消耗的總的能量；體重的增加與所吸收的熱量是成正比，平均每8000kcal增加體重1kg（kcal為非國際單位制單位1kcal=4.2kj）；正常代謝引起的體重減少以及運動（與運動形式有關）引起的體重減少都正比于體重，每周每公斤體重消耗熱量一般在200kcal至320kcal之間；安全起見，每一周體重的減少要小于1.5公斤，每一周吸收熱量大于10000千卡。

模型求解：

（1）在不運動只通過控制飲食來進行減肥的情況下安排如下計劃。

第一階段：要使得每周體重減少1公斤，則需要通過控制每周的飲食，使每周吸收熱量逐漸減少，直至達到下限（10000千卡）；

設：w(k)～第k周(末)體重c(k)～第k周吸收熱量

熱量轉換系數α=1/8000（公斤/千卡）β～代謝消耗系數(因人而異)

則：w(k+1)=w(k)+αc(k+1)-βw(k)

確定此人的代謝消耗系數每周吸收20000千卡w=100公斤不變

即每一周每公斤體重消耗熱量20000/ 100=200千卡

吸收熱量為：c(k+1)=12000-200k，k=0，1，…，9

第二階段：通過每周吸收熱量一直保持下限，直至減肥達到目標。

每周c(k)保持Cmin,體重w(k)減至75公斤。

w(k+1)=w(k)+αc(k+1)-βw(k)?w(k+1)=（1-β）w(k)+αCmin

第二階段19周,每周吸收熱量保持10000千卡,體重按照：w(n)=40×0.975n+50(n=1，2，…，19)減少至75公斤。

如果適當增加運動：

根據資料每小時每公斤體重消耗的熱量γ（千卡）：

t～每周運動時間(小時)

w(k+1)=w(k)+αc(k+1)-(β+αγt)w(k)

取αγt=0.003，即γt=24，分析計算后知：n=14

則有上述討論有：運動γt=24(每周跳舞8小時或自行車10小時),14周即可。

增加運動相當于提高代謝消耗系數β

β(=0.025)→β′=β+αγt(=0.028)，即代謝消耗系數β提高了12%。

減肥所需時間從19周降至14周，即減肥所需時間減少25%。

從模型的結果來看，該模型對于代謝消耗系數β很敏感。所以，在應用該模型時要仔細確定代謝消耗系數β，對不同的人，即使是同一個人在不同的環境，β可能都不一致。

（2）考慮達到目標體重75公斤后維持不變的方案

每周吸收熱量c(k)保持某常數C，使體重w不變

①若不運動：C=8000×0.025×75=15000（千卡）

②有運動：與上述討論保持一致，仍取αγt=0.003

則：C=8000×0.028×75=16800（千卡）

（三）市場經濟中的蛛網模型

在自由市場經濟中，有些商品的生產、銷售呈現明顯的周期性。試分析市場經濟中經營者根據市場經濟的規律，如何建立數學模型來表現和分析市場趨勢的。這就需要利用到差分方程建模。

設：xk～第k時段商品數量；yk～第k時段商品價格。k=1，2，…

這里我們將市場演變模式劃分為若干時段，用自然數k來表示，1個時段相當于商品的1個生產周期，如瓜果、蔬菜的生產周期是指種植周期，肉類則是指動物的飼養周期。

由經濟學的知識知道：

消費者的需求關系（需求函數）：yk=f（xk）這是一個減函數

生產者的供應關系（供應函數）：xk+1=h（yk）這是一個增函數

也可以表示為：yk=g（xk+1）

f與g的交點p0（x0，y0）是平衡點，從某個時段以后的每個時段的商品的數量和價格會一直保持在p0（x0，y0）。但這只是理想的狀態，實際中的各種狀況會干擾到商品的數量以及價格發生偏離，不會一直保持在p0（x0，y0）。這種通過需求曲線和供應曲線的來分析市場經濟的方法叫做蛛網模型。

為了進一步分析市場經濟中的供需關系，我們通過蛛網模型的另外一種表達形式——差分方程來描述。

建立模型：

在平衡點p0（x0，y0）附近可以用“以直代曲”的方法，即在p0附近近似地用直線來代替曲線f和g。

設需求函數和供應函數分別近似為：

進而：α=Kf，1/β=Kg，通過對k進行遞推，可以得出：xk+1-x0=(-αβ)k(x1-x0)

從而αβ＜1即(α＜1/β)也就是Kf＞Kg?xk→x0，p0穩定。

αβ＞1即(α＞1/β)也就是Kf＞Kg?xk→∞，p0不穩定。

所以，α體現著消費者對商品需求的敏感程度；β體現著生產者對商品價格的敏感程度。α小,有利于經濟穩定，β小,有利于經濟穩定。

從上述分析可以得出，當市場經濟不穩定的時候政府有兩種干預辦法。

1.使α盡量小，如可以考慮極特殊的情況α=0，?需求曲線變為水平

不論供應函數如何變化，即使β再大，都有αβ＜1，因此總體經濟都是穩定的。這可以通過政府以強制的行政手段控制價格不變來實現。

2.使β盡量小，如可以考慮極特殊的情況β=0，?供應曲線變為豎直

不論需求函數如何變化，即使α再大，都有αβ＜1，因此總體經濟都是穩定的。這可以通過政府依靠強大的經濟實力來嚴格控制市場上的商品數量。

模型的進一步延伸：

如果生產者管理水平有所提高，不僅僅只是依據前一個時段的價格來決定下一階段的生產規模。

延伸情況一：

生產者根據當前時段和前一時段的價格來決定下一時段的產量。為了簡化模型，可以考慮假設生產者根據當前時段價格yk和前一時段的價格yk-1的平均值來決定下一時段的產量xk+1，即：x=

同樣的用“以直代曲”的方法：

供應函數可以近似為：xk+1-x0=β[(yk+yk+1)/ 2-y0]

又因為需求函數不變，仍然是：yk-y0=-α (xk-x0)

由于二階線性常系數差分方程的平衡點穩定的條件是：該差分方程對應的特征方程的根都要落在單位圓內。分析可得：αβ＜2

平衡點的穩定條件從原來的αβ＜1放寬為αβ＜2。

延伸情況二：上一時段的商品的銷售情況也在影響著下一時段這一商品的價格。也就是如果上一時段的市場內的商品沒有銷售完，則未銷售完的商品的數量就會影響著下一時段的價格。因此，第k和第k+1時段的商品數量xk和xk+1共同決定這第k+1時段的商品價格yk+1。假設第k+1時段的商品數量xk+1僅僅只由yk來決定。

類似上面的討論得到，平衡點的條件是：αβ＜2

延伸情況三：生產者根據當前時段和前一時段的價格來決定下一時段的產量；并且，上一時段的商品的銷售情況也在影響著下一時段這一商品的價格，進而單前時段的商品數量和前一時段的數量共同決定本時段的商品價格。

類似于延伸情況一、二一致，平衡點的條件是：αβ＜2

顯然，生產者的管理水平、素質對市場經濟的穩定性有著一定的有利影響。所以，提高生產者的管理水平和素質是很重要的。使他們可以把目光放長遠一些，不要熱衷于追求一時的高利潤，應該要對整體的生產有著長遠的規劃。

三、結論

差分方程還有著很多廣泛的應用，如：最優的捕魚策略問題、買房貸款、按年齡分組的種群增長問題等等。

[1]姜啟源.數學模型[M].北京:高等教育出版社，1993.

[2]段勇，黃廷祝.將數學建模思想融入線性代數課程教學[J].中國大學數學，2009(3)：34-35.

（責編 趙建榮）