廣義量詞理論對一階邏輯的擴展

張曉君

(四川師范大學政治教育學院，成都 610066)

廣義量詞理論對一階邏輯的擴展

張曉君

(四川師范大學政治教育學院，成都 610066)

廣義量詞理論是一階邏輯的擴展。該理論已經成為邏輯學和語言學中重要的推理工具之一。廣義量詞是對來自于一階邏輯中兩個標準量詞(全稱量詞和存在量詞)的推廣。對一階邏輯進行擴展的主要原因有二:其一是為了解釋亞氏三段論形式以外的大量的有效推理;其二是為了提升一階邏輯的表達力，使得計算機能夠更好地處理自然語言。文章闡述了廣義量詞理論來自于哪里，是如何得來的?，F代謂詞邏輯首先通過固定一階邏輯中的全稱量詞和存在量詞的真值定義，然后把它們的真值定義推廣到〈1〉類型的廣義量詞，之后把〈1〉類型的廣義量詞的真值定義推廣到任意的廣義量詞。這樣就可以把任意的廣義量詞添加到一階邏輯中，從而得到表達力更強的邏輯——廣義量詞理論。

廣義量詞;一階邏輯;全稱量詞;存在量詞;真值定義

主持人語:中國邏輯學會會長 鄒崇理研究員

廣義量詞理論已經成為邏輯學和語言學中重要的推理工具之一，廣義量詞理論的研究也取得了相關成果。那么，廣義量詞理論來自于哪里，是如何得來的;廣義量詞理論為什么要對一階邏輯進行擴展，其擴展的基本思路是什么;相關研究成果有哪些?論文《廣義量詞理論對一階邏輯的擴展》將對上述問題作出回答。

人的理性選擇產生了法律，法律制約著人的理性選擇。法律對合理性與正當性的需求決定法律活動中邏輯理性的必要性，對法律事實的認定形成一個命題或判斷，法律規則正是對法律命題或判斷進行哲學意義上的推理。在法律推理中，實現形式正義的首要條件是法律必須具有一致性、可預見性和可計算性。而法律的要義在于法律規范與法律事實之間的對應與配置，這里必須考量客觀事實作為法律事實的基石性要件。在法律推理過程中，最為關切的是作為推理的大前提和小前提的建構，《論法哲學視野下的法律推理重構方案》一文將對上述觀點進行闡述。

廣義量詞理論是一階邏輯的擴展。該理論已經成為邏輯學和語言學中重要的推理工具之一。廣義量詞是對來自于一階邏輯中兩個標準量詞(全稱量詞和存在量詞)的推廣。

在漢語和英語等自然語言中，基本語句都是由名詞短語與動詞短語組成的。最簡單的名詞短語就是名稱(比如:張三、李四、王五)，它們與一階邏輯中的常元相對應。復雜的名詞短語是由普通名詞短語與限定詞(比如:所有的、有些、沒有、并非所有的、大多數的、至少三分之一的)組成的，例如:三班的所有男生、有些三角梅、沒有蘋果、并非所有的三葉蟲、大多數股票、至少三分之一的車。這類名詞短語在邏輯學中叫作量化表達式，包含量化表達式的語句叫作量化語句。量化語句的邏輯性質很大程度上依賴于它們所包含的限定詞［1］227。例如:

三段論1:

大前提:每個漂亮女人都很有錢。

小前提:李蘭是個漂亮女人。

結 論:李蘭很有錢。

三段論2:

大前提:很多漂亮女人都很有錢。

小前提:李蘭是個漂亮女人。

結 論:李蘭很有錢。

雖然這兩個三段論都具有相同的邏輯形式: (p∧q)→r，但是很顯然，三段論1是邏輯有效的，而三段論2則是無效的。這主要是由“每個”和“很多”這兩個限定詞的邏輯性質不同決定的?？梢?，量化語句的真假不能夠僅僅由其組成語句的真值來決定，其真假與它對應的量化表達式有關。

一、對一階邏輯進行擴展的必要性

雖然自然語言中有很多形式的量化，但是一階邏輯僅僅建立在全稱量詞(“所有的”，用?表示)和存在量詞(“有些”，用?表示)這兩個標準量詞之上［2］49。一些形式的量化表達式可以利用謂詞和真值聯結詞，通過?和?來加以定義，比如:三班的所有男生、有些三角梅、沒有蘋果、并非所有的三葉蟲、這部手機、某個人、5輛車、每當。而另外一些形式的量化表達式則不能夠利用一階邏輯中的?和?來加以定義，比如:大多數股票、很多漂亮女人、無窮多個偶數、至少三分之二的計算器［3］18。為了研究這些量化表達式的邏輯語義性質，邏輯學家把限定詞以及可以做主語的所有名詞短語、一階邏輯中的標準量詞都統稱為廣義量詞［4］。自然語言中存在最廣泛的量詞是〈1〉類型和〈1，1〉類型的廣義量詞［5］11-18。廣義量詞理論產生和發展的主要原因有二:其一是為了解釋亞氏三段論形式以外的大量的有效推理，其二是為了提升一階邏輯的表達力，使得計算機能夠更好地處理自然語言［6］7。

利用謂詞和真值聯結詞以及一階邏輯中的全稱量詞?和存在量詞?，可以把一些自然語言語句翻譯成邏輯表達式。例如:“無商不奸”的本意是“每個商人都是奸詐的”，可以翻譯為“?x(商人(x)→奸詐的(x))”，其意思是“如果x是一個商人，那么x就是奸詐的”?！澳硞€商人是奸詐的”，可以翻譯為“?x(商人(x)∧奸詐的(x))”，其意思是“存在某個x是一個商人，并且x是奸詐的”。而“大多數商人都是奸詐的”應該翻譯成怎樣的邏輯表達式呢?

事實上，“大多數的”是不能夠利用一階邏輯中的全稱量詞?和存在量詞?來加以定義的，即“大多數”這一廣義量詞在一階邏輯中是不可表達的。為什么呢?我們來考察“大多數商人都是奸詐的”這一語句，令S表示“奸詐的那部分商人組成的集合”，T表示“不是奸詐的那部分商人組成的集合”，語句“大多數商人都是奸詐的”是對S與T的相對大小進行比較，只說明了集合S比集合T大，但并沒有說明這兩個集合或者話語的論域中究竟有多少個商人。在此，用“S(x)”來表示“商人(x)∧奸詐的(x)”，用T(x)來表示“商人(x)∧﹁奸詐的(x)”。我們試圖用下面的方式來表達“大多數商人都是奸詐的”這樣的語句:

由于論域中沒有給出全部商人的數目的一個有窮的固定的上界，因此這樣的析取需要無窮地進行下去，因而得到的該語句的翻譯就是一個無窮長的語句，這在一階邏輯中是不允許的［1］383-387。如果在某個具體世界中，正如在Tarski世界中一樣，商人的總數是有限的，比如是30個，那么通過有窮步就可以對此語句進行翻譯;如果沒有這個限制，那么對此語句的翻譯將需要無窮步。因此，“大多數的”在一階邏輯中是不可表達的。我們把這類在一階邏輯中不能夠得到表達的廣義量詞叫作不可化歸的量詞。

要對這些不可化歸量詞進行分析和處理，就需要把它們作為新的量詞符號添加到一階邏輯中，對一階邏輯進行擴張，以增強一階邏輯的表達力。把不同的不可化歸量詞引入一階邏輯，可以得到一階邏輯的不同擴張邏輯。比如:把“大多數的”引入一階邏輯對其進行擴張;用Lindstr?m量詞對一階邏輯進行擴張［7］。

隨著邏輯學和計算機科學的發展，邏輯學學者發現:現實中存在諸多一階邏輯不能夠解決的問題，為此發展更強大的邏輯就顯得尤為必要［8］18。比如:在一階邏輯FO中不能夠表達“只有有窮多個前驅的序關系＜”，但是用表示“存在無窮多個的”廣義量詞Q0對一階邏輯FO加以擴張而得到的邏輯FO(Q0)中，這一關系則可以表示為:?x﹁Q0y(y＜x)。

二、廣義量詞理論對一階邏輯進行擴展的基本思路

許多英語語句和漢語語句都有“Q A B”這樣的三分結構的語句形式［2］，其中Q是比如“所有的、有些、沒有、并非所有的、大多數的、至少三分之一的、張三的”這樣的一個限定詞表達式;A是比如“股票、三角梅、手機、漂亮女人、商人”這樣的一個普通名詞短語;B是比如“下跌了、在盛開、丟了、有錢、打人”這樣的動詞短語。

如果“Q A B”這樣的語句的論域是E，那么就可以把這樣的語句寫作“QE(A，B)”。QE(A，B)為真，當且僅當，在論域E中，滿足A的那些Q也滿足B。例如:

(1)10%x(股票(x)，下跌了(x))在一個世界中為真，當且僅當，在那個世界中10%的股票下跌了。

(2)至少5x(股票 (x)，下跌了(x))在一個世界中為真，當且僅當，在那個世界中至少5支股票下跌了。

(3)有窮多x(股票(x)，下跌了(x))在一個世界中為真，當且僅當，在那個世界中有窮多支股票下跌了。

(4)大多數x(股票(x)，下跌了(x))在一個世界中為真，當且僅當，在那個世界中大多數股票下跌了。

如何把一個不可化歸的廣義量詞，添加到一階邏輯中而得到表達力更強的邏輯呢?在此，我們以把“大多數的”添加到一階邏輯中而得到表達力更強的邏輯為例加以說明。我們的形成規則是:兩個合式公式和一個變元能夠構造一個新的合式公式，即，如果S與T是合式公式，v是一個變元，那么“大多數的v(S，T)”就是一個合式公式，而且出現在“大多數的v(S，T)”中的v是約束出現的。

合式公式“大多數的x(S，T)”的意思是“滿足S的大多數的 x也滿足 T”?？梢?，“大多數的x(S，T)”表示了滿足S的集合與滿足T的集合之間的二元關系。也可以用“大多數的x(R)”來表示“大多數的x(x=x，R)”，其意思是“大多數的人或物滿足R”，這就是“大多數的”特殊形式，它只有一個合式公式，即R;而一般形式則有兩個合式公式?！按蠖鄶档膞(S，T)”為真，當且僅當，在一個世界中，滿足 S(x)的大多數的人或物也滿足T(x)。

從某種意義上說，使用廣義量詞Q1，Q2，…對一階邏輯進行擴張后得到的邏輯FO(Q1，Q2，…)是由一個語句的集合、一類模型以及語句和模型之間的真值關系(或滿足關系)組成，這種邏輯被稱為模型論邏輯。這是因為這些邏輯是根據模型和真值，從語義方面加以定義的，而不是根據推導定理的演繹系統從證明論的角度加以定義的［1］385-387。比如，用一個〈1〉類型的廣義量詞Q對一階邏輯FO進行擴張得到邏輯FO(Q)時，需要添加一個形成規則和真值定義。要想對一階邏輯FO進行擴張得到邏輯FO(Q)，首先就需要對一階邏輯中的全稱量詞?和存在量詞?的真值定義的意義加以固定，然后把它們的真值定義推廣到〈1〉類型的廣義量詞Q的真值定義，最后把〈1〉類型的廣義量詞Q添加到一階邏輯中即可。下面我們對這一擴張過程加以詳細說明。

三、全稱量詞和存在量詞的真值定義及其推廣

一階邏輯通過真值定義中的相應條款對?和?的意義加以固定［9］。該定義給出了相應的歸納條件:一個模型M=(E，I)中相應元素b1，…，bn滿足一個公式φ(y1，…，yn)(其中最多 y1，…，yn自由)，記作:M?φ(b1，…，bn)，其中E是論域，I是為非邏輯符號指派外延的解釋函數。?和?的真值定義分別為:

定義1:M??xψ(x，b1，…，bn)，當且僅當，對于每一個a∈E，M?ψ(a，b1，…，bn);

定義2:M??xψ(x，b1，…，bn)，當且僅當，存在某個a∈E，使得M?ψ(a，b1，…，bn)。

為了引進其他量詞，需要弄清表達式?和?究竟是什么東西。從語法的角度看，?和?都是在一個公式中約束了一個變元的算子。為了展示其語義特征，需要對定義1和定義2加以改寫。首先，要明確的是:具有一個自由變元的每個公式ψ(x)在一個模型M中表示的是E的一個子集;E中個體的集合滿足ψ(x)。更一般地說，如果ψ(x，y1，…，yn)=ψ(x，［y］)中最多 y1，…，yn自由，而且［b］=b1，…，bn，令ψ(x，［b］)M，x={a∈E:M?ψ (x，［b］)}是ψ(x，［y］)在M中相對于b1，…，bn的外延，那么?和?的真值定義則可分別改寫為:

定義3:M??xψ(x，［b］)，當且僅當，ψ(x，［b］)M，x=E;

定義4:M??xψ(x，［b］)，當且僅當，ψ(x，［b］)M，x≠?。

定義3和定義4的右邊部分是作為集合ψ(x，［b］)的性質出現的。也就是說，一個集合等同于論域的性質可以用?表示，一個集合的非空的性質可以用?表示。類似地，集合的其他性質可以用其他量詞來表示。

需要注意的是，這些性質僅僅依賴于論域E，而不依賴于模型M的其余部分。更明確地說，這些性質僅僅是論域E的子集的集合。這就引出了下面的定義5［9］。

定義5:

(1)從語法上講，一個〈1〉類型的廣義量詞Q是一個變元約束算子，該算子使得:如果φ是一個公式，那么Qxφ也是一個公式，而且Qx約束φ中x的所有自由出現;

(2)從語義上講，一個〈1〉類型的廣義量詞Q是一個映射，即是從任意論域(非空集合)E到E的子集的集合QE的映射，該映射根據下面的(3)來解釋形如Qxφ的公式;

(3)M?Qxψ(x，［b］)，當且僅當，ψ(x，［b］)M，x∈QE。

這里，對于量詞表達式及其所表示的映射我們采用相同的符號。這樣，?即可以表示全稱量詞，也可以表示全稱量詞所對應的映射，即:對于所有的論域E，?E={E}。存在量詞(所表示的映射是:?E={A?E:A≠?}。類似地，其他一些〈1〉類型的廣義量詞所對應的映射分別為: (?≤7)E={A?E:|A|≤7}，(?=4)E={A?E: |A|=4}，(Q0)E={A?E:A是無窮的}，(Qeven)E={A?E:|A|是偶數};(QR)={A?E:|A|＞|E-A|}(Rescher量詞)?！?〉類型的廣義量詞Q的真值定義可以推廣到任意廣義量詞的真值定義［9］。限于篇幅，本文略去不談。

我們發現:把定義5的條款(1)添加到一階邏輯的形成規則中，并把定義5的條款(3)添加到一階邏輯的真值定義中，就可以把一階邏輯FO擴展成邏輯FO(Q)。類似地，若在一階邏輯中添加一個以上的量詞Q1，…，Qn，則得到邏輯FO(Q1，…，Qn)。在這種邏輯中，可以討論在一階邏輯FO中不可以表達的性質。例如，雖然在一階邏輯FO中，不可以表達一個(有窮)集合A包含了論域E中正好一半的元素;但是在邏輯FO(QR)中，卻可表達成:﹁QRxA(x)∧﹁QRx﹁A(x)，其中第一個合取支表示|A|≤|E-A|，第二個合取支表示|E -A|≤|A|［4］。由此可見，一階邏輯的表達力小于邏輯FO(Q0)與邏輯FO(QR)的表達力，即后兩個邏輯都是 FO的真擴張，可分別記作 FO＜FO(Q0)、FO＜FO(QR)，其他記法類似。

在研究僅僅使用一個變元的廣義量詞Q時，令Q約束每個公式中同一個變元，問題就變得簡單些，例如，“most As are not B”在相應的邏輯語言中就可寫成“mostx(A(x)，﹁B(x))”而不是寫成“mostx，y(A(x)，﹁B(y))”。廣義量詞通過其真值定義所給出的映射來揭示其論元集合之間的關系，從而達到描述量詞的語義性質的目的。例如:自然語言中存在最為廣泛的〈1，1〉類型的廣義量詞，就是通過其真值定義所對應的映射，來揭示其左論元的集合與其右論元的集合之間的關系，來達到描述量詞的普遍語義性質的目的。比如，下列表達式中的斜體表示廣義量詞，A、B、C是量詞的論元所組成的集合，E表示論域，|X|表示集合的基數，一些〈1，1〉類型的廣義量詞在其真值定義中所對應的映射如下［5］93-120:

(between-three-and-seven)E(A，B)?3≤|A∩B|≤7;

(more)E(A，B)? |A|＞|B|;

IE(A，B)? |A|=|B|(H?rtig量詞或等基數量詞);

(at-least-half-of-the)E(A，B)? |A∩B|≥1/2·|A|;

(just-finitely-many)E(A，B)? 存在一個自然數n，使得|A∩B|=n;

(infinite many)E(A，B)? A∩B是無窮的; (Q0)E={A?E:A是無窮的}。

四、相關研究成果

對于通過引入廣義量詞對一階邏輯進行擴張而得到的兩個模型論邏輯L1、L2，如果每一個L1-語句φ邏輯等值于某個L2-語句ψ，即φ與ψ在同樣的模型中為真，那么就說L2至少與L1具有同樣的表達力，即L2是L1的擴張，記作L1≤L2。如果L1與L2具有同樣的表達力，即是同樣的邏輯，就記作L1≡L2;如果L2是L1的真擴張，就記作L1＜L2。廣義量詞理論對一階邏輯的擴張的相關成果主要有:

事實1［9］11對于任意廣義量詞Q，Q在用其親緣量詞Qrel對一階邏輯FO進行擴張后得到的邏輯FO(Qrel)中是可定義的。

事實2［9］11FO(Q1，Q2，…，Qn)≤L，當且僅當，每一個Qi(1≤i≤n)在L中是可定義的。

另一方面，為了證明一個邏輯不是另一個邏輯的擴張，可以直接說明第一個邏輯中的某個語句不邏輯等值于第二個邏輯中的任何語句，也可以用下面這兩個邏輯的性質對它們加以區分。例如，利用一階邏輯的下面這4個著名的性質，可以判斷兩個邏輯不等值［5］239-242:

(1)緊致性:如果一些語句的集合的每一個子集都有一個模型，那么由這些語句的全體所形成的集合就有一個模型。

考察FO(Q0)-語句的如下集合:{﹁Q0x(x= x)}∪{?≥nx(x=x):n=1，2，3，…}，該集合沒有模型，但是其有窮子集都有模型，因此，FO(Q0) (以及它的所有擴張)都不是緊致的。特別地，FO (Q0)FO。

(2)塔斯基(Tarski)性質:如果一個語句有一個可數的模型，那么該語句就有一個不可數模型。

令φ是一個FO-語句，＜是帶有第一個元素的離散線性序，那么FO(Q0)-語句(a)φ∧?x﹁Q0y (y＜x)表示了自然數序〈N，＜〉(即〈E，R〉是語句(a)的模型，當且僅當，〈E，R〉與〈N，＜〉同構)。語句(a)的所有模型都是可數的，因此FO(Q0)不具有塔斯基性質。

(3)完全性:有效語句的集合是遞歸可枚舉的。

把(2)中的例句(a)引入FO的語句中定義加法和乘法，比如，0是最小的元，x+1是x的直接后繼，就可以得到能夠表示算術的標準模型N=〈N，＜，+，×，0，1〉的一個語句θ，那么對于在該詞庫中的每一個FO(Q0)-語句ψ而言，N?ψ?θ→ψ是有效的。因為這種真的算術語句的集合不是遞歸可枚舉的，所有FO(Q0)不是完全的。

(4)駱文海姆(L?wenheim)性質:如果一個語句有一個無窮的模型，那么該語句就有一個可數的模型。

考察用等詞，即 IE={〈X，Y〉∈E2:|X|= |Y|}對一階邏輯進行擴張后得到的邏輯FO(I)，我們可以寫下FO(I)的一個語句，＜是沒有終點的一個稠密的線性序，那么就存在一個元素，該元素的前驅的個數與其后繼的個數不一樣多。在一個模型中，該元素的前驅的集合與其后繼的集合都是無窮的，并且具有不同的基數，那么該模型必定是不可數的。而FO(Q0)具有駱文海姆性質，因此FO(I)FO(Q0)。

對此，介紹一個有名的定理，其證明可參見Flum的論文［9］:

定理1:(Lindstr?m定理)

如果L是緊致的并且具有駱文海姆性質，那么L≡FO。假定L是可以親緣化的，如果L是完全的并且具有駱文海姆性質;或者說L同時具有駱文海姆性質和塔斯基性質，那么L≡FO。

此外，對于通過一些廣義量詞對一階邏輯進行擴張后得到的邏輯之間的表達力的強弱問題，D．Westerst?hl提出了下面兩個定理［10］240-249:

定理2:FO＜FO(Q0)＜FO(I)＜FO(more)＜FO(H)

定理3:FO(most)＜FO(more);在有窮結構上，FO(most)≡FO(more);FO(more)≡FO(most，Q0)。

綜上所述，廣義量詞理論首先通過固定一階邏輯中的全稱量詞?和存在量詞?的真值定義，然后把它們的真值定義推廣到〈1〉類型的廣義量詞，之后把〈1〉類型的廣義量詞的真值定義推廣到任意的廣義量詞。這樣就可以把任意的廣義量詞添加一階邏輯中，實現了對一階邏輯的擴展，從而得到表達力更強的邏輯。為了更好地進行自然語言信息處理，對這些擴張后的邏輯進行更加深入的研究是必要的。

［1］BARWISE J，ETCHEMENDY J．Language，Proof and Logic［M］．［S．l．］:CSLI Publications，2003．

［2］張曉君，吳寶祥．廣義量詞的單調性與其他語義性質之間的關系［J］．重慶理工大學學報:社會科學，2015 (1):49-53．

［3］張曉君，郝一江．廣義量詞的單調性與數字三角形［J］．重慶理工大學學報:社會科學，2010(3):18-24．

［4］張曉君．廣義量詞的相關性質研究［J］．邏輯學研究，2010(3):67-79．

［5］PETERS S，WESTERST?HL D，PETERS S，et al．Quantifiers in Language and Logic［M］．［S．l．］:Claredon Press，2006．

［6］張曉君，黃朝陽．基于廣義量詞理論的亞氏三段論［J］．重慶理工大學學報:社會科學，2012(10):7-11．

［7］DAWAR A，GR?DEL E．Generalized Quantifiers and 0 -1 Laws［EB/OL］．［2010-05-18］．http://www．eprints．kfupm．edu．sa/42572/，1995．

［8］WESTERST?HL D．Quantifiers in Formal and Natural Languages［M］//GABBAY D M，GUENTHNER F．Handbook of Philosophical Logic，2ndEdition，Vol．14，Springer，2007．

［9］FLUM J．Characterising logics［C］//Barwise J，Feferman S．Model-Theoretic Logics，1985:77-120．

［10］WESTERST?HL D．Generalized Quantifiers［EB/OL］．［2010-05-16］．Standford Encyclopedia of Philosophy，http://www．plato．standford．edu/entries/generalizedquantifiers，2005．

(責任編輯張佑法)

Extension of First-Order Logic by Generalized Quantifier Theory

ZHANG Xiao-jun
(College of Political Education，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，China)

Generalized quantifier theory is the extension of first-order logic．The theory is now one of important tools of reasoning equipment in logic and linguistics．The term“generalized quantifier”reflects that these entities were introduced in logic as generalizations of the standard quantifiers from first-order logic，universal and existential quantifier．The main reasons for the extension of first-order logic are two:the one is to explain many of valid syllogistic forms beyond Aristotlian syllogisms;theother is to enhance the expressive power of first-order logic，so that the computer can better deal with natural language．The main purpose of this paper is to describe where and how generalized quantifier theory comes from．Modern predicate logic firstly fixed the meaning of universal and existential quantifier with the respective clauses in the truth definition，then generalized the definition of them to the one of generalized quantifiers of type〈1〉，and then generalized the latter to the one of generalized quantifiers of arbitrary types．Hence one can add any generalized quantifier first-order logic in order to gain more expressive logic:generalized quantifier theory．

generalized quantifier theory;first-order logic;generalized quantifiers;existential quantifiertruth definition

B81

A

1674-8425(2015)11-0009-06

10．3969/j．issn．1674-8425(s)．2015．11．002

2015-06-13

國家社會科學基金西部項目“面向中文信息處理的漢語主謂句的邏輯語義及其推理模式研究”(15XYY012)

張曉君(1970—)，女，四川南充人，副研究員，博士后，研究方向:現代邏輯和Agent理論。

張曉君．廣義量詞理論對一階邏輯的擴展［J］．重慶理工大學學報:社會科學，2015(11):9-14．

format:ZHANG Xiao-jun．Extension of First-Order Logic by Generalized Quantifier Theory［J］．Journal of Chongqing University of Technology:Social Science，2015(11):9-14．