一道練習題所想到的結論

趙憲君

（吉林省四平市伊通滿族高級中學數學組）

圓錐曲線知識是現行高中解析幾何學的重要內容之一，既是高中數學的重點，又是難點，因而成為高考的重點考查內容。在每年的全國高考題中，有關圓錐曲線的試題占解析幾何總分值的三分之二，約占全卷總分的13%。有關圓錐曲線的試題每年一般有兩到三道，其中兩道為選擇題或填空題，一道為解答題，是高中數學的重點內容之一。隨著新課改的進行，其重要性應該不會下降。而解析幾何問題的解答又非常煩瑣，計算量又非常的大，所以學生在解答解析幾何問題時會浪費很多時間還會出現很多失誤導致解答的失敗。那么一些有用的數學結論就顯得尤為重要，它能幫助學生快速地解題。那么教師就要在平時講課時注意發現一些有用的結論教給學生并注意在平時注意應用。

例如：2015 屆高三第三次月考題，選擇題第12 題：橢圓=1 的左、右頂點分別為A1，A2，點P 在橢圓C 上且直線PA2的斜率的取值范圍是［-2，-1］，那么直線PA2的斜率的取值范圍是（ ）此題解答比較麻煩，學生不易得到正確的答案。

但它與人教版選修2-1 教材中的兩個例題有關。人教版選修2-1 教材第41 頁例3 如右圖，設點A，B 的坐標分別為（-5，0），（5，0）直線AM，BM 相交于點M 且它們的斜率之積是-，求點M 的軌跡方程并判斷軌跡形狀。

人教版選修2-1 教材第55 頁探究如右圖，設點A，B 的坐標分別為（-5，0），（5，0），直線AM，BM 相交于點M，且它們的斜率之積是，求點M 的軌跡方程并判斷軌跡形狀。

由這兩個例子可以看出，分別過兩個定點的直線斜率之積等于一個常數，那么這兩個直線的交點的軌跡就是雙橢圓或雙曲線。這個結論是不是一個一般的結論教師就要把這個結論給學生做一個總結，得出一個普遍的結論。

設點A，B 的坐標分別為（-a，0），（a，0）（a＞0），直線AM，BM 相交于點M，且它們的斜率之積是t（t 是常數，且t≠0），求點M 的軌跡方程并判斷軌跡形狀。

解：設點M 的坐標為（x，y）

所以，（1），當t=-1 時，方程為x2+y2=a2，則點M 的軌跡是個圓心在原點，半徑為的圓。（2）當t=1 時，方程為x2-y2=a2，則點M的軌跡是中心在原點的等軸雙曲線。（3）當t＜0 且t≠-1 時，方程為=1，則點M 的軌跡是中心在原點，焦點在x 軸的橢圓。（4）當t＞0 且t≠-1 時，方程為=1，則點M 的軌跡是中心在原點，焦點在x 軸的雙曲線。

這是一個一般的結論，再把這個結論做一個推廣，那就是：如果分別過兩個定點的直線交于一點斜率之積等于常數t，那么交點的軌跡是個橢圓其方程為=1，那么這個常數t 與a，b 的關系為

應用這個結論，上面的12 題就好做了。

這就是一個普通結論在解題中的應用。在數學中這樣的結論有很多教師要善于給學生總結，有了一個一般的結論，學生在解題時加以應用，就可以大大提高學生的解題速度。