布朗運動與隨機積分的起源

楊靜，胡俊美

（1.北京聯合大學基礎部，北京100101；2.石家莊鐵道大學數理系，河北石家莊050043）

布朗運動與隨機積分的起源

楊靜1，胡俊美2

（1.北京聯合大學基礎部，北京100101；2.石家莊鐵道大學數理系，河北石家莊050043）

布朗運動是隨機過程理論的一個特殊而重要的隨機過程。通過考察和梳理隨機積分理論誕生的發展過程，發現對于布朗運動的數學研究是隨機積分理論的起源，并且隨機積分論的發展與布朗運動的深入研究密切相關。從這個層面再次說明了布朗運動的重要性。

布朗運動；隨機分析；隨機積分

隨機分析學，誕生于20世紀50年代，它是在隨機過程一般理論及現代鞅論的產生和發展過程中逐漸形成的，是一個生命力很強的概率論分支。隨機分析學不僅是研究概率論及隨機過程的有力工具，而且在許多數學分支（如偏微分方程、調和分析、微分幾何）、濾波與控制、通訊與動態系統及金融經濟學等領域都大有用武之地。什么是隨機分析學？它的創始人伊藤清（Kiyosi It?,1915—2008）曾說過：“隨機分析學是添加了隨機風趣的分析學，是概率論的一個新分支?！茖W的目的是以已知推斷未知。如果從已得到的資料能做出唯一正確的推斷，則可以建立確定性模式，分析學為此提供數學手段。當現象極其復雜，不可能做唯一推斷時，只好從已知來求未知的平均，然后再求偏離平均的平均，為此應建立隨機性模式，隨機分析學為此提供數學手段?！逼渲?，隨機積分是對某些隨機過程適當定義的各種積分的總稱，它們在隨機過程與隨機微分方程的研究與應用中有著深刻影響。

1827年英國植物學家布朗（Robert Brown，1773—1858）在觀察液體中某種植物的花粉顆粒時，觀察到它在不斷地作無規則運動。他做了大量的實驗來尋求顆粒運動的原因，故這種運動后來被命名為“布朗運動”。隨機積分的歷史始于布朗運動，因此我們首先回顧一下歷史上最早出現的布朗運動的3個理論模型，每一種嘗試都是獨立做出的。

1 布朗運動的理論模型

第一個嘗試來自丹麥的天文學家蒂勒（T.N. Thiele，1838—1910），他對天文學、保險精算、數學和統計學都做出過重要的貢獻，由于這些富有創造力的思想遠遠超前于他所處的時代，以至于他的大部分工作不能被同時代的人所理解。蒂勒的視力曾受到過嚴重的損害，這使得他不能再進行天文觀測，于是他把對天文的興趣轉移到計算工作中來。1880年，蒂勒最小二乘法的論文（Sur la compensation dequelques erreurs quasi-systématiques par la method des moindres carrés）發表，他在研究時間序列數據時，有效地創建了一個布朗運動模型。一段時間內星星的運動、室外的溫度等都是時間序列數據。由于望遠鏡精度的有限性，觀測過程是存在誤差的。蒂勒的目的是給出一個模型，可以描述一系列觀測過程所帶來的觀測誤差，從而預測真實值。他所考慮的過程本質就是微粒的布朗運動。他推導出的布朗運動具有獨立的、服從正態分布的增量，方差與時間成比例[1]。雖然蒂勒也發表了這篇論文的法語版本，但是在當時人們并沒有認識到它的重要性，很長一段時間里幾乎沒有影響。

第二個嘗試來自法國的數學家巴施利耶（L. Bachelier，1870—1946）。在他19歲那年，父母相繼去世，他不得不中斷學業謀生，同時照顧妹妹和弟弟。在積攢了一些錢之后，1892年他開始在巴黎的索爾邦大學學習，1898年獲得理學學士學位，1900年獲得博士學位。由于巴施利耶曾在巴黎的股票交易所工作過，所以他的博士論文選擇了用數學來研究股票市場，博士論文的題目是《投機理論》。文中在推導巴黎股票市場的動態行為時，創建了一個布朗運動的模型。巴施利耶試圖將巴黎股票交易所的市場噪音（市場波動）建立模型。他意識到市場噪音（市場波動）應該沒有記憶，利用中心極限定理的思想，他推斷股票價格的增量應該是獨立的、正態分布的。諾貝爾經濟學獎得主經濟學家莫頓（Robert C.Merton，1944—）曾指出，大多數金融數學的起源都可追溯到《投機理論》，另外，他認為這篇文章標志著連續時間隨機過程的數學理論的誕生，及連續時間期權經濟的誕生。然而，巴施利耶并沒有獲得同時代人的認可和重視。巴施利耶的悲劇在于他研究的內容并不屬于他所處的時代，而是屬于過去和未來。屬于過去，是因為他研究的概率論起源于賭博，他通過考察賭博的延續形式——交易所，引進連續隨機過程。屬于未來，是因為不論是從概率論上還是從經濟學上，他都被稱為“鞅”這一概率概念的締造者。在理解有關經濟學的不確定性方面，他的思想遠遠超越當時的社會與文化背景[2]。

第三個嘗試則來自物理學家愛因斯坦（A Einstein，1879—1955）。1905年愛因斯坦發表了論文《關于熱分子運動所要求的靜止液體中懸浮小粒子的運動》（On the movement of small particles suspended in stationary liquid demanded by the molecular-kinetic theory of heat），他試圖根據分子的運動來解釋所觀測到的物質的宏觀熱性質，即從物質的微觀結構和微觀運動來說明物質的宏觀性質。至于這些微觀假設正確與否，還需要實驗的驗證，因此他更側重說明該假設是否符合實際，此外，在文章最后他還給出了阿伏伽德羅（Amedeo Avogadro，1776—1856）常數的第一個準確測定公式[3]。這一公式在1908年被佩蘭（J Perrin，1870—1942）的實驗所驗證。

用數學語言來說，巴施利耶和愛因斯坦給出布朗運動為：隨著時間t的改變，某個質點的位置B(t)連續變化；但是對于t時刻之后的s時刻而言，質點的位移B(s)-B(t)是一個在原點附近游動的正態隨機變量，其方差與時間間隔的長度成正比；而對于多個不相交的時間間隔，這些位移隨機變量相互獨立。因此，對于布朗運動，根據它當前的位置，我們并不能確切地知道它下一時刻的位置，而只能了解該位置的概率分布。愛因斯坦認為原來意義下的布朗運動就是這樣的運動，同樣，巴施利耶認為股票價格變動也應屬于此類運動[4]。

2 隨機積分理論基礎的奠定

其實，巴施利耶和愛因斯坦對布朗運動的數學描述都不太嚴格。巴施利耶沒能得到布朗運動的清晰圖景，其思想沒有得到當時人的理解，這主要是因為布朗運動的精確定義需要路徑空間上的測度，而這一點直到博雷爾關于伯努利實驗的經典論文1909年發表才實現。只有博雷爾、勒貝格和丹尼爾的思想出現，布朗運動才有可能建立在牢固的數學基礎之上。1923年，維納（N Wiener，1894—1964）的《微分空間》（The differential space）一文問世，布朗運動有了真正的數學描述，因此，作為一個隨機過程，數學上的布朗運動也常常稱為“維納過程”。

1913年，維納到劍橋大學訪問期間追隨羅素（Bertrand Russell,1872—1970）學習。羅素意識到愛因斯坦相對論對科學哲學的重要意義，建議維納仔細研讀愛因斯坦1905年發表的3篇論文，其中包括論述布朗運動的那一篇。1923年，維納的論文“微分空間”發表，其中不僅構造了布朗運動的數學模型，而且它堪稱布朗運動研究史上的一個里程碑。

愛因斯坦研究的是布朗運動的統計性態，選擇的對象實際上屬于可測的物理量：一個或多個顆粒的位移以及一定層面顆粒的密度。維納則是把單個粒子的軌道看作一個集合中的一點，他選擇的對象是一個（或多個）布朗顆粒所有可能運動的路線，并假定這些路線服從概率規律，進而考察這些路線或函數的空間。他從愛因斯坦物理模型的基礎上抽去與實際相聯系的具體內容，使之成為一個形式的軀殼，這樣布朗運動就拋去了觀測對象的外衣，成為一個純粹的數學對象，由此得到了一種一般的隨機過程，而不再是一個特殊現象。這樣，維納就實現了布朗運動從物理研究到數學研究的轉變。

由于布朗運動的軌道樣本幾乎都是連續而處處不可微的，所以隨機微分方程更合適的記法是積分形式的方程。隨機微分方程中含有布朗運動的積分，被稱為隨機積分。知道了隨機積分，就相當于掌握了隨機微分方程的解?！拔⒎挚臻g”在隨機過程理論中占有舉足輕重的地位，是此方面最重要的著述之一,維納把隨機積分理解為所有連續軌道所在的“無限維空間”上的一種積分。為了討論隨機過程，需要函數空間上的測度和積分理論。20世紀20年代，除了維納，其他數學家只討論有限聯合分布。在討論依賴一個隨機過程的整體軌道的泛函平均值時，他們不加證明地將其定義為依賴有限個時間點的一列近似泛函的平均值。盡管布朗運動的軌道處處不可微，維納還是定義了平方可積函數關于布朗運動的積分，設（Bt）為一維標準布朗運動，f為(0，T)上的階梯函數，即

其中0=t0＜t1＜...＜tn=T，則令

于是E(f.B)T=0，。從而映射f?(f.B)T可以等距擴張為L2((0,T])到L2(Ω,F,P)中的線性映射。我們稱(f.B)T為維納積分，記為。這是一均值為零、方差為的高斯隨機變量。如果T變動，則我們得到隨機過程f.B，它是維納不定積分[5]。維納通過把平均值定義成丹尼爾積分，進而把布朗運動理論建立在一個牢固的基礎之上。雖然他在文中研究了布朗運動，但是他的方法成為現代隨機過程理論的一個典范。

隨機積分的基礎工作的下一步是由柯爾莫戈洛夫（A N Kolmogorov，1903—1987）完成的。隨機積分理論研究的起點與馬爾科夫過程理論交織在一起，并且受到其推動，柯爾莫戈洛夫在其中起到了重要作用。1931年，柯爾莫戈洛夫發表了《論概率論中的分析方法》（On analytic methods in probability theory）一文，提到并簡要解釋了巴施利耶對布朗運動的構造。在這篇論文中，他研究了一類連續馬爾科夫過程，后來稱之為擴散過程，給出了大部分他的有關馬爾科夫過程的理論。值得注意的是，柯爾莫戈洛夫在文中證明了擴散過程本質上只依賴兩個參數：一個是漂移速度，另一個是純粹隨機部分（擴散部分）的大小。然后，他就可以把過程的概率分布與偏微分方程的解聯系起來，現在稱作“柯爾莫戈洛夫方程”?？聽柲曷宸蛲茖в玫氖前肴杭捌錈o窮小生成元，以及由此生成的偏微分方程。

柯爾莫戈洛夫研究的擴散過程滿足如下條件（以一維為例）：

其中b(t,x)為漂移系數，a(t,x)為擴散系數。假定擴散過程的轉移概率P(s,x,t,?)有密度函數p(s,x,t,y)，并假定p(s,x,t,y)有適當的光滑性，柯爾莫戈洛夫證明了p(s,x,t,y)滿足如下兩個方程[5]（分別稱為“柯爾莫戈洛夫后向方程”和“柯爾莫戈洛夫前向方程”）：

3 隨機積分的創立

隨機分析學研究的最初動機為通過布朗運動直接構造出擴散過程，伊藤清就是通過定義布朗運動的隨機積分，進而發展出一套理論。

通常的質點運動可以用下列微分形式的微分方程來描述：

方程的左端表示質點的（微分）位移，右端表示這個位移依賴于時刻t，質點在時刻t的位置X(t)以及時間本身的（微分）流動dt。

如果質點的運動受到一個布朗運動B(t)的干擾，那么這個微分方程就演變為下列形式：

這就是伊藤清嘗試在給擴散過程建造模型時構造的隨機微分方程。其中后一項就代表干擾，σ(t,X(t))為干擾強度，通常也與t和X(t)有關。這個隨機微分方程可改寫為隨機積分方程：

伊藤清在1944年的“隨機積分”（Stochastic integral）一文中，對如何使隨機微分σ(t,X(t))dB(t)有意義進行了解釋。①伊藤清提到了之前S.Bernstein、柯爾莫戈洛夫、費勒的工作。伊藤清解釋的關鍵之一在于對“標準布朗運動”來說，把“隨機微分方程”dB(t)理解成均值為零、方差為dt的正態隨機變量。這樣在一個適當的框架下，“隨機微分”dx(t)就相當于均值為b(t,x(t))dt、方差為σ2(t,x(t))dt的隨機變量。

伊藤清嘗試把柯爾莫哥洛夫在馬爾可夫過程上的工作與自己的詮釋聯系起來。特別地，他想把X(t)的路徑與擴散過程的轉移函數聯系起來。這實際上等同證明了X(t)的分布解決了柯爾莫哥洛夫的前向方程。這種嘗試促成了他1951年的論文“關于隨機微分的一個公式”（On a formula concerning stochastic differentials）。伊藤采用Picard逐次逼近法證明了：如果對任給T＞0，b(t,x)及在 [0,T]×R上關于x滿足一致Lipschitz條件及線性增長條件，則上述隨機微分方程有唯一解，其中初值X0是任意給定的與布朗運動(Bt)獨立的平方可積隨機變量。這樣，伊藤清實現了通過布朗運動構造擴散過程的設想。從此，一門嶄新的概率論分支——隨機分析學誕生了。

布朗運動的樣本函數雖然連續，但幾乎所有的都非有界變差，甚至處處不可微，因而無法按樣本函數定義通常的勒貝格-斯蒂爾切斯積分或黎曼-斯蒂爾切斯積分。一般而言，黎曼-斯蒂爾切斯積分定義中的達布和不會以概率1收斂到一定的極限，但在適當要求下，達布和的均方極限存在。正是利用這一性質伊藤清定義了布朗運動的隨機積分。而伊藤積分最重要的性質為著名伊藤公式，表示如下：

其中f是二次連續可微實函數，B(t)（t≥0）是布朗運動。該公式及其各種推廣是隨機分析的一個重要工具，在理論上和實踐上都有廣泛應用。

1987年，伊藤因此項工作榮獲沃爾夫獎。在對獲獎工作的評價中寫道：“他的隨機分析可以看作隨機王國中的牛頓定律，它提供了支配自然現象的偏微分方程和隱藏著的概率機制之間的直接翻譯過程，其主要成分是對布朗運動函數的微分和積分運算，由此產生的理論是近代純粹與應用概率論的基石?！?/p>

由于伊藤清在隨機分析這一新的分支所取得的開創性的杰出成就，以及隨機分析在微分幾何、調和分析、變分學、偏微分方程、復分析、位勢論等數學分支中的應用，特別是隨機分析在非數學領域，如化學、量子物理學、生物學等的廣泛應用，從而使他于2006年榮獲了國際數學聯合會首次頒發的高斯獎。

4 結論

人們在研究隨機過程理論時，可以定性地討論一般隨機過程的性質，但很難取得定量的結果。布朗運動則不然，人們可以根據布朗運動特殊的性質定量地計算出許多結果。由于布朗運動既是馬爾可夫過程，又是鞅、正態過程、萊維過程與獨立增量過程，人們自然想到，關于布朗運動的結果對過程是否也正確呢？因此布朗運動是隨機過程理論的一個特殊而重要的隨機過程。

布朗運動獨立誕生于天文學、股票市場和物理學等領域，隨后在數學家的手中實現了嚴格的數學定義、并展開了一系列的研究。為了解決有關布朗運動的一個主要問題，隨著數學家研究的深入，隨機積分理論由此逐步成型，并且這一理論的發展與布朗運動的深入研究密不可分。并且，隨機積分在隨機過程與隨機微分方程的研究和應用中有著重要的作用。從這個層面上來看，隨機積分理論的廣闊而重要的應用愈發凸顯了布朗運動的重要地位和作用。

[1]LAURITZEN S L.Aspects of T N Thiele’s contributions to statistics[J].Proceedings of the Biennial Sessions,1999，58：27-30.

[2]楊靜，徐傳勝，王朝旺.試析巴夏里埃的《投機理論》對數學的影響[J].自然科學史研究，2008，27（1）：94-104.

[3]楊靜，王麗霞.愛因斯坦與布朗運動的數學理論[J].西北大學學報：自然科學版，2006，36（1）：169-172.

[4]彭實戈.倒向隨機微分方程和金融數學[J].科學，1997，49（5）：30-33.

[5]程民德.中國數學發展的若干主攻方向[M].南京：江蘇教育出版社，1994.

Brownian Motion and the Origin of Stochastic Integration

YANG Jing1，HU Junmei2
（1.Department of Foundation Courses,Beijing Union University,Beijing 100101,China；2.Department of Mathematics and Physics,Shijiazhuang Tiedao University,Shijiazhuang 050043，Hebei,China)

Brownian motion is a special and important stochastic process in the theory of stochastic processes.This paper reviews the historical development of the theory of stochastic integration and finds out that the mathematical research on Brownian motion is the origin of stochastic integration.And this theory’s development is closely related to the profound study of Brownian motion.This aspect shows again the importance of Brownian motion.

Brownian motion;stochastic calculus;stochastic integration.

N09

A

1672-2914（2015）02-0007-04

2014-12-03

國家自然科學基金項目（11101034）。

楊靜(1977-)，女，河北石家莊市人，北京聯合大學基礎部副教授，理學博士，研究方向為近現代數學史。