W(0，1)的李雙代數結構

邵霞，付佳媛，祁杰

(中國傳媒大學理工學部，北京 100024)

1 引言

Drinfeld于1983年基于量子群的基礎首次引入李雙代數的概念。量子群理論的核心部分是研究那些既非交換又非余交換的Hopf代數。

本文擬先研究W(0，1)的李雙代數結構，確定其三角性與上邊緣性。從而更易于我們對W(a，b)的李雙代數結構的研究。

2 預備知識

首先，我們回顧一些與李雙代數相關的一些基本定義及結果。

R 為復數域C 上的向量空間，ξ是 R?R?R 上的循環映射，即 ξ(x1?x2?x3)=x2?x3?x1，?x1，x2，x3∈R，τ為 R?R 上的扭映射，即 τ(x?y)=y?x，?x，y∈R。

R為復數域C上的向量空間，若存在線性映射σ:R?R→R滿足:

稱(R，σ)是一個李代數。

R為復數域C上的向量空間，若存在線性映射:△R→R?R:滿足:

稱(R，△)是李余代數。

對于李代數R，我們記［x，y］=σ(x，y)，用·表示伴隨對角作用:

定義2.1 若(R，σ)是李代數，(R，△)是李余代數，且滿足相容性條件:

稱三元對(R，σ，△)為李雙代數。

U(R)是 R 中的普遍包絡代數，1 是 U 中的單位元，對，定義 rij，c(r)，i，j=1，2，3

為U?U?U中的元素。

定義2.2 (1)四元對(R，σ，△，r)稱作是一個上邊緣的李雙代數，如果(R，σ，△)是一個李雙代數，r∈Im(1-τ)∈R?R使得△是r的一個三角上邊緣，即:△=△r，且

(2)上邊緣李雙代數(R，σ，△，r)稱作是上三角的，如果r滿足經典Yang-Batex方程(CYBE):

3 W(0，1)主要結果及其證明

首先，我們給出李代數W(0，1)的定義，復數域C上無限維李代數W(0，1)滿足李括號積:

其中 i，j∈? .為方便起見，以下均記 W(0，1).為 W

(1)三元對(R，［·，·］，△)是一個李雙代數，當且僅當 r滿足 CYBE.

(2)(1+ ξ+ ξ2)·(1? △)·△(x)=x·c(r)，?x∈ R (2.3)引理3.2 令W?n表示n個W的張量積，在W的伴隨對角作用下，W?n稱為一個R-模，假設r∈W?n滿足x·r=0，?x∈W.則 r∈C c?n。

元素r∈Im(1-τ)?W?W稱為滿足修正Yang-Batex方程(MYBE)，若

推論3.3 元素r∈Im(1-τ)?W?W 滿足CYBE，當且僅當它滿足MYBE.

V=W?W為在伴隨對角作用下的W-模.記Der(W，V)為W到V的所有導子的集合，d:W→V，d是一個線性映射，滿足:

對?v∈V，定義內導子vinn如下:

記Inn(W，V)為所有內導子的集合.我們知道

H1(W，V)為的系數在V中的一階上同調群。

若d(Wn)?Wσ+n，n∈?，稱導子d∈Der(W，V)是一個次數為α的齊次導子，則

其中

在下面意義下成立，對所有 u∈W，僅有有限多個 dα(u)≠0，d∈Der(W，V).(稱 d=∑α∈?dα是可加的).

命題3.4Der(W，V)=Inn(W，V)，相應地，H1(W，V)=0。

只需證明每一個d∈Der(W，V)，d=∑α∈?dα是可加的，且這有限個dα均是W到V的內導子即可。

斷言1 若0≠α∈?則dα∈Inn(W，V)。

即 dα(xn)=uinn(xn).因此 dα=uinn是一個內導子。

以下，用“≡”表示一個等式在模C(c?c)作用下恒成立。

斷言2 對 d0∈Der(W，V)0，有 d0∈Inn(W，V)。

下面我們分幾個子斷言來證明。

子斷言1 d0(L0)≡d0(c)≡0

對?xn∈Wn，n∈? ，將 d0分別作用在［L0，xn］=-nxn，［xn，c］=0 的兩邊，有 xn·d0(L0)=xn·d0(c)=0。由引理3.2 得，d0(L0)≡d0(c)≡0。

子斷言2 存在u∈V0，使得將d0用d0-uinn替換后有d0(W)≡0。

對?0≠m∈?，n∈?設

注意，對?p∈?，下面作用成立

記

因此d0(L1)可以簡化為

將 d0作用在等式［L-1，L1］=2L0兩邊，比較的系數推出

因此

將 d0作用在等式［L2，L-1］=3L1兩邊，對?p∈? ，比較的系數有

因此

將 d0作用在等式［L1，L－2］ =3L－1的兩邊，對 ?p ∈ ? ，比較的系數有

因此

將d0作用在等式［L2，L-2］=4L0的兩邊，比較系數可得

故

記 Vir是 W 的 Virasoro 子代數，即 Vir=spanC{Ln|n∈? }可由基{L-2，L-1，L1，L2}生成.又由于(2.13)、(2.14)，可得

將 d0作用在等式［L0，［L0，H2］］=2H2的兩邊，比較系數可知

故

又由于 W 由{L-2，L-1，L2，H2}生成，由(2.15)、(2.16)可知

斷言2得證。

斷言3 d0≡0。

斷言4 僅有有限多個n∈?使dn≠0。

引理3.4 假設 ?v∈V使對 ?x∈W，x·v∈Im(1?1-τ)，則v∈Im(1?1-τ)。

上述等式中的系數均在域C中，且每個求和符號對應的和式均為有限項求和，記元素都是 Im(1- τ)中的元素.用 v-u 代替 v，u 可以表示成 u1，p，u2，p，u3，p，u1，u2的線性組合，我們可以假設

則

假設存在 p ＞0，使 ap≠0，取 q ＞0，使 q≠p，則 Lp+q?L-p是在 Lp·v中的項，然而，由(2.20)可知，L-p?Lp+q不是 Lq·v中的項，與 Lq·v∈Im(1-τ)矛盾;進一步假設 qp=0，?p∈?*(這里?*表示非零整數)，類似地，同樣可以假設dp=0，?p∈?*，因此(2.22)可表示為

由Im(1-τ)?ker(1-τ)及我們的假設W·v?Im(1-τ)可以推出a0=d0=a'0=c'0=bp=0 ?p∈?，且我們有

注意到{p|bp≠0}是有限項，比較各項系數，則

故(2.23)為

觀察等式

顯然，b1=0.引理得證。

定理3.1 上的李雙代數結構都是三角上邊緣的。

設(W，［·，·］，△)是 W 上的一個李超雙代數結構，由(1.6)、(2.5)及命題 3.4 可知，存在 r∈W?W，使得△ =△r，由于 Im△?Im(1-τ)及引理3.4 知，r∈Im(1-τ)，又由(1.4)、(2.3)及推論3.3，可知 c(r)=0.根據定義可知，(W，［·，·］，△)是一個上邊緣的并且三角的李雙代數。

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