機床溫度測點優化方法研究及試驗驗證

叢 明，李泳耀，孫宗余，李宏坤

（1.大連新宇理工科技開發中心有限公司，遼寧 大連 116024；2.大連理工大學 機械工程學院，遼寧 大連 116024；3.一汽解放汽車有限公司無錫柴油機廠，江蘇 無錫 214026）

0 引 言

機床的熱誤差是由其零部件間因溫升變化而導致不同程度的熱變形引起的，這種誤差最終會累積到刀具和工件上，引起其相對位置的偏移，影響機床的加工精度［1］.研究表明，熱誤差占機床總誤差的比例往往在40%～80%，越是精密的機床，所占比例越大［2－3］.目前，熱誤差建模與補償技術是一種有效減小熱誤差，提高機床加工精度的手段［4］，而實現熱誤差建模與補償的前提是進行機床溫度測點的優化，它直接決定了熱誤差模型的精確性和魯棒性.

近年來，國內外學者對溫度測點優化問題進行了大量的研究，提出了許多相關理論和方法，如灰色關聯度法［5］、有限元法［6］、逐步多元回歸法［7］等.每種理論都各有優缺點，如灰色關聯度法雖然很好地解決了溫度測點相對于整機溫度場具有的小樣本、貧信息的問題，但僅以測點與熱誤差間的緊密程度來優化測點，指標單一，容易誤判；有限元法是基于機床溫度場和熱變形場的，該方法雖然簡單，但機床各零部件間結合面的邊界條件及熱荷載很難準確獲得，因此實際結果并不理想；逐步多元回歸法只考慮了溫度變量與熱誤差間的相關性，忽視了溫度變量間的耦合現象，雖然能獲得較高的預測精度，但模型魯棒性較低.結合每種理論的優點，也有學者提出了多種理論相結合的方法，如模糊聚類與相關分析法［8］、灰色關聯與模糊聚類法［9］等，這些方法同時考慮了各溫度測點間及測點與熱誤差間的相關性，收到了很好的優化效果.

本文采用多種理論相結合的方法來實現機床溫度測點的優化.采用簡單相關分析，剔除掉與熱誤差明顯不相關的溫度測點.對篩選出的測點進行模糊聚類，消除各測點間相關性的影響.同時對篩選出的測點進行灰色綜合關聯度分析，判斷各測點對熱誤差的影響程度.分別建立多個不同測點的熱誤差模型，并對模型參數進行統計分析，最終得到用于建立熱誤差模型的關鍵溫度測點.

1 溫度測點優化相關理論

1.1 簡單相關分析

簡單相關分析是用來研究變量間關聯程度的一種統計方法，采用相關系數來表征.這里采用Pearson相關系數來研究各溫度測點與熱誤差間的相關程度，公式如下：

具體判斷規則如表1所示.同時，采用t統計量對Pearson相關系數檢驗，t統計量服從n－2個自由度的t分布.

表1 簡單分析的基本原理Tab.1 Basic principle of simple analysis

1.2 模糊聚類分析

模糊聚類分析主要是通過建立模糊關系，來對各變量進行聚類［9］.分析步驟如下：

（1）標準化樣本數據

對溫度變量數據進行標準化處理，以簡化矩陣運算過程，亦可避免出現奇異陣，中斷分析過程.這里采用極差變換法，公式如下：

（2）建立模糊相似矩陣

模糊相似矩陣R＝（rij）p×p的構造有多種方法，這里采用相關系數法.設p個溫度變量的集合X＝（x1x2…xp），其中xi＝（xi1xi2…xim）（i＝1，2，…，p）為第i個變量的m個觀測值，則定義rij為描述變量x、y間關聯程度的相關系數，其計算公式為

（3）建立模糊等價矩陣

建立的模糊相似矩陣雖然滿足自反性、對稱性，但不一定滿足傳遞性，實現合理聚類的前提是模糊矩陣要同時滿足這3個條件.這里采用平方法將模糊相似矩陣R變換出一個模糊等價矩陣（傳遞閉包t（R）），經過有限次運算后，存在k使得R2k＝R2（k＋1），令t（R）＝R2k，t（R）即為所求的模糊等價矩陣.

（4）聚類分析

從t（R）中提取閾值λ（λ∈［0，1］），不同的λ對應不同的溫度變量分類結果，最終形成動態聚類圖.

1.3 灰色綜合關聯度分析

所采集的溫度測點數據相對于整機溫度場來講，具有小樣本、貧信息等特點［10］，采用灰色系統分析能較好地解決這一問題，主要分為灰色絕對關聯度分析、灰色相對關聯度分析及灰色綜合關聯度分析.

（1）灰色絕對關聯度

設Xi＝（xi（1）xi（2） …xi（n））為系統行為序列，令

則XiD＝X0i＝（x0i（1）x0i（2） …x0i（n））為Xi的始點零化像，D稱為始點零化算子.

記熱誤差序列為X0，溫度測點i的序列為Xi，其始點零化像分別為

則定義

為Xi相對X0的灰色絕對關聯度.其中

（2）灰色相對關聯度

設Xi＝（xi（1）xi（2） …xi（n））為系統行為序列，令

則XiC＝X′i＝（xi（1）cxi（2）c…xi（n）c）為Xi的初值像，C為初值化算子.

記熱誤差序列為X0，溫度測點i的序列為Xi，其初值像分別為

根據式（4），計算得到X′0和X′i的始點零化像

分別稱為X0和Xi的初值始點零化像.定義

為Xi相對X0的灰色相對關聯度.其中

（3）灰色綜合關聯度

記ε0，i和r0，i分別為兩序列X0和Xi的灰色絕對關聯度和灰色相對關聯度，定義

為X0和Xi的灰色綜合關聯度.其中θ∈［0，1］，用來調整絕對關聯度與相對關聯度相對于綜合關聯度的影響程度，一般取θ＝0.5.

2 試驗分析和結果驗證

2.1 試驗方案

以某型號臥式加工中心為研究對象，在各熱源位置處布置20個溫度傳感器（圖1），具體安裝位置如表2所示.采用電渦流位移傳感器測量機床主軸Z向熱誤差，如圖2所示.試驗采用空切削方式，為盡量模擬實際加工情況，工況設置如表3所示.

圖1 溫度傳感器布置圖Fig.1 Arrangement plan of temperature sensors

表2 溫度傳感器安裝位置Tab.2 Installation position of temperature sensors

圖2 Z 向位移傳感器布置圖Fig.2 Arrangement plan of displacement sensors at Z－direction

表3 試驗工況設置Tab.3 Setting of test conditions

2.2 測點優化結果

根據簡單相關分析理論，首先計算出主軸Z向熱誤差與各溫度測點間的相關系數，并采用t統計量對Pearson相關系數進行檢驗，結果如表4所示.然后依據表1規則，篩選掉非顯著性相關及未通過假設檢驗的溫度測點，初步得到優化后的15個溫度測點（ΔTi，i＝1，2，…，15，表示相對于初始溫度值的變化量，下同）：ΔT1、ΔT2、ΔT3、ΔT4、ΔT5、ΔT6、ΔT7、ΔT8、ΔT9、ΔT10、ΔT11、ΔT12、ΔT13、ΔT14、ΔT15.

根據模糊聚類方法，對篩選出的15個溫度變量進行聚類分析，聚類結果如圖3所示.

表4 簡單相關分析結果Tab.4 Results of simple correlation analysis

同時，采用灰色綜合關聯度分析法，以主軸Z向熱誤差為母序列x0，15個溫度測點變量為子序列xi（i＝1，2，…，15），計算各子序列與母序列間的灰色關聯度，計算結果如下：

圖3 動態聚類圖Fig.3 Dynamic clustering map

根據模糊聚類分析及灰色關聯度計算結果，將15個溫度變量分為2類、3類、4類、5類、6類，相對應地分別建立2測點、3測點、4測點、5測點及6測點（若多個測點屬于同一類，則取灰色關聯度值大的測點用于建模，例如：若分兩類，則ΔT3、ΔT8、ΔT10、ΔT14屬于同一類別，取灰色關聯度值最大的ΔT10作為建模用測點）的基于多元線性回歸的熱誤差模型.對模型進行基于統計學理論的分析，結果如表5所示.

對表5進行分析，可以得出如下結果：

（1）對回歸模型的方差分析采用F檢驗，每個模型的概率P（即顯著性Sig.）均小于顯著性水平0.05，故所建立的模型是具有統計學意義的，即熱誤差與各測點之間的線性關系是顯著的［11］.

（2）R∈［0，1］為復相關系數，表征自變量和因變量間線性回歸關系的密切程度，其值越大回歸關系越密切.調整R2反映模型的擬合效果，其值越大說明擬合效果越好.剩余標準差（殘差的標準差）表征了模型預測結果的精確度，其值越小預測效果越好.從表中可以看出，采用越多測點建立的模型的R及調整R2越大，剩余標準差越小，但其變化率是逐漸減小的，也就是說測點越多，雖然建立的模型精度越高，但精度的提高卻越來越不明顯.

（3）采用越多測點建立的模型的最大殘差越小，但采用6測點建立的模型的最大殘差卻有增大趨勢，說明此時模型精度已經很難得到明顯的提高.即使采用6個以上的測點建立的模型精度高，但由于測點過多，用來建模亦是不可取的.

（4）5測點模型中的ΔT1沒有通過t檢驗，且通過偏相關系數可以看出，ΔT1對模型的貢獻率很小.

通過以上分析，以5測點的模型為依據，剔除掉ΔT1，最終選擇ΔT4、ΔT6、ΔT10、ΔT12為關鍵溫度測點（圖4），重新建立模型，并對回歸模型進行分析，結果如表6所示.模型均通過了t和F檢驗，且最大殘差達到了最小.

2.3 結果驗證

根據溫度測點優化結果，采用多元線性回歸法建立的熱誤差模型為

式中：ΔZ為機床主軸Z向熱誤差.

表5 多元線性回歸模型分析Tab.5 Analysis of multiple linear regression model

圖4 關鍵溫度測點數據Fig.4 Data of key temperature measuring points

該模型（記為模型1）的熱誤差預測曲線如圖5所示.

若依舊采用本文思路，但未進行回歸模型分析，根據模糊聚類和灰色綜合關聯度結果，直接選取4個關鍵溫度測點（ΔT1、ΔT4、ΔT6、ΔT10）建立熱誤差模型（記為模型2），預測曲線如圖6所示.

若直接采用灰色綜合關聯度法，選取4個關鍵溫度測點（ΔT1、ΔT4、ΔT6、ΔT7）建立熱誤差模型（記為模型3），預測曲線如圖7所示.

表6 優化后的回歸模型分析Tab.6 Analysis of regression model optimized

圖5 模型1的熱誤差預測圖Fig.5 Thermal error prediction map in model 1

圖6 模型2的熱誤差預測圖Fig.6 Thermal error prediction map in model 2

圖7 模型3的熱誤差預測圖Fig.7 Thermal error prediction map in model 3

對比3種方法的熱誤差模型預測精度，結果如表7所示.

表7 熱誤差模型預測結果Tab.7 Prediction results of thermal error models

從表7可以看出，采用本文方法建立的熱誤差模型，最大殘差僅有1.850μm，平均殘差亦只有0.644μm，且調整R2和剩余標準差也達到了較理想的效果，說明采用本文方法優化出的溫度測點能較為全面地反映出溫升變化對主軸Z向熱誤差的影響程度，模型預測精度較好.

3 結 論

（1）采用本文方法對臥式加工中心進行了溫度測點優化及模型預測精度的試驗驗證，使用于建模的測點由20個降至4個，主軸Z向熱誤差從17.903μm 減小到1.850μm.

（2）對比3種不同的溫度測點優化方法，并對建立的熱誤差模型進行分析，得出：采用本文方法優化得到的溫度測點所建立的熱誤差預測模型，其平均殘差只有0.644μm，最大殘差亦僅為1.850μm，預測效果優于另外兩種方法.

（3）利用統計學理論，在對回歸模型全面分析的基礎上篩選出關鍵測點，有效避免了多溫度變量在熱誤差模型中的復共線性問題，大大提高了模型的精確性和魯棒性.

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