科學選題，有效訓練——藝術生有效復習三角函數專題探究

朱華仙

（浦江職業技術學校）

縱觀近幾年的高考命題特點，結合《2015年浙江考試說明》，根據我校藝術生的實際，我們高三備課組經過仔細討論研究近五年的高考試題，確定了三角函數專題的重點和難點.

專題重點：三角函數的小題重點在基礎知識：三角函數的概念、運用三角函數的關系化簡與求值、三角函數的圖象和性質、和差角公式、三角函數符號規律、二倍角公式等；大題重點主要是三角函數的圖象和性質、三角恒等變換、解三角形等.

專題難點：小題難點是三角函數圖像變換、性質（即單調性、對稱性、奇偶性、周期性）的綜合應用、靈活應用正余弦定理，三角形內角和定理和面積公式等解三角形.

突破考點：因三角函數內容難度不是很大，方法靈活多樣，基礎較好的藝術生都會有解題思路，所以上課講例題時我盡量先讓學生自己動手解，再和全班同學一起討論總結部分能解出題目的學生的解法，再一起找出最簡解法，并加以適當補充，師生共同歸納出一種最美解法。本專題主要給藝術生確定的熱點問題有以下幾個方面.

熱點一：運用三角函數的關系化簡或求值

考點剖析：本題考查了誘導公式、三角函數的符號規律、同角三角函數的關系式，對數基本運算法則.先利用誘導公式和對數運算法則求出sinα，再由α 的范圍、誘導公式和平方關系求出cos（2π-α）.

考點剖析：本題考查同角三角函數關系、三角函數的符號規律、兩角和與差的三角函數。注意觀察找出關系，根據題中所給的范圍得所以由平方關系并注意符號規律就可求出再利用差角公式求得答案.

考點剖析：本題主要考查同角三角函數關系，三角函數符號，特殊角三角函數值等.

把原式平方得（sinα-cosα）2=2，所以sin2α=-1，根據題中α 的范圍，可得

總結規律：

1.利用同角關系和誘導公式解題時特別要注意象限角對三角函數符號的影響；

2.在三角函數式求值化簡時，注意平方關系和弦切互化公式的變形應用；

3.靈活運用和積轉換法進行變形、化簡，如：（sinα±cosα）2=1±2sinαcosα 等；

【課堂跟蹤訓練】

熱點二：三角函數的圖象和性質

例2.（1）（2012·浙江）把函數y＝cos2x＋1的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），然后向左平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到的圖象是 （ ）

考點剖析：三角變換是三角函數圖象內容的一個重要考點。把函數y＝cos2x＋1的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）得y1＝cosx＋1，向左平移1個單位長度得y2＝cos（x+1）+1，再向下平移1個單位長度得y3＝cos（x+1），觀察圖象即得答案A．

（2）（2013·浙江）函數f（x）=sinxcosx+的最小正周期和振幅分別是 （ ）

考點剖析：本題考查三角函數的圖象與性質、二倍角公式、和差角公式等。熟練掌握公式是解本題的關鍵.先利用二倍角公式化簡f（x）解析式，再利用和差角公式化為一個角的正弦函數，根據解析式確定出振幅，找出ω 的值，再由求出函數的最小正周期。即f（x，∵-1≤sin（2x+≤1，∴振幅為1，∵ω=2，∴T=π．

（3）（2014·浙江）為了得到函數y=sin3x+cos3x的圖象，可以將函數的圖象 （ ）

考點剖析：本題考查三角函數圖象的平移變換性質，和差角公式化簡等.平移變換中注意x的系數.先化簡，再由“左加右減”法則得到答案C.

規律總結：

1.求三角函數的最小正周期時，一定要先化簡解析式為只含一個三角函數的式子，即化為“y=Asin（ωx+ψ），y=Acos（ωx+ψ）,y=Atan（ωx+ψ）”的形式，再利用周期公式求解；

2.求三角函數的最值時，一定要注意自變量的取值范圍，最大和最小值不一定在自變量區間的端點處取得,一定要結合三角函數圖象；

3.三角函數圖象進行平移變換時一定要注意提取x的系數，周期變換的時候要將x的系數變為原來的ω 倍.

【課堂跟蹤訓練】

2.（2013·四川卷）已知函數f（x）＝2sin（ωx＋Φ）的部分圖象如圖所示，則ω，Φ 的值分別是（ ）

3.（2014·鎮海）設函數f（x）=sin（-2x+ψ）（0<ψ<π），y=f（x）的一條對稱軸是直線，（1）求ψ；（2）求函數y=f（x）的單調區間.

熱點三：解三角形

例3.（1）（2013·浙江）在銳角△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且

（Ⅰ）求角A的大??；

（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面積．

考點剖析：本題考查三角函數求值，解三角形，正余弦定理的靈活應用等，熟練掌握三角形的面積公式是本題的關鍵.（Ⅰ）先利用正弦定理化簡原式得

（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2-2bc·cosA，即36=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc=64-3bc

（2）（2013·重慶）在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且

（Ⅰ）求A的值；

考點剖析：本題主要考查正余弦定理，面積公式，三角恒等變換等.

（3）（2011·浙江）18.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c．已知sinA+sinC=psinB（p∈R）且

（Ⅱ）若角B為銳角，求p的取值范圍.

考點剖析：（Ⅰ）本題主要考查三角變換、正弦定理、余弦定理等基礎知識，同時考查基本運算求解能力。由題設并利用正弦定理，得

（Ⅱ）由余弦定理，b2=a2+c2-2accosB

因為B為銳角，0＜cosB＜1，得由題設知p＞0，所以

規律總結：考查三角函數求值，解三角形，是近幾年高考解答題最常見題型.

1.在解三角形問題中，三角形內角和定理起著重要作用，要注意確定角的限制范圍及三角函數值的符號，防止出現增解或漏解；

2.正余弦定理應用時，應注意靈活性，尤其邊角的互化，一般全部化為角的關系，或全部化為變的關系，可提醒學生一般題中若出現邊的一次式采用正弦定理，出現邊的二次式采用余弦定理；

3.碰到面積問題時要根據題意靈活選用面積公式.

【課堂跟蹤訓練】

1.（2014·浙江）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知

（I）求角C的大??；

（II）若b=4，△ABC的面積為6，求邊長c的值.

2.（2014·全國）已知a，b，c分別為△ABC的三個內角A，B，C的對邊，a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，則△ABC面積的最大值為________.

3（.2013·山東卷）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若B=2A，a=1，b=，則c= （ ）

三角函數專題是近些年高考試題中的熱點,因藝術生基礎較差，計算能力較弱，因此，課堂上要非常關注每個學生解題的易錯點，并及時指出，再跟蹤訓練類型相似的試題，再總結此類題型的基本數學思想方法及解題應試技巧等.本專題的復習，例題的選取很關鍵，我給藝術生練的每個題目都有明確的針對性和目的性，通過疏密有度的訓練，提高藝術生的應試技巧，全面提高藝術生綜合運用所學知識和方法分析問題和解決問題的基本能力，逐步培養他們的自主學習能力.