考慮附加質量的旋轉柔性梁的隨機動力學分析

靳紅玲， 陳建軍， 郭康權

(1.西北農林科技大學機電工程學院， 陜西 楊凌 712100；2.西安電子科技大學電子裝備結構設計教育部重點實驗室， 陜西 西安 710071)

考慮附加質量的旋轉柔性梁的隨機動力學分析

靳紅玲1,2， 陳建軍2， 郭康權1

(1.西北農林科技大學機電工程學院， 陜西 楊凌 712100；2.西安電子科技大學電子裝備結構設計教育部重點實驗室， 陜西 西安 710071)

研究了帶有附加質量的旋轉柔性梁系統在參數具有隨機性時的動力響應問題?；诩僭O模態法和Lagrange方程建立了帶有附加質量的柔性懸臂梁系統的一次近似耦合隨機動力學方程，利用混沌多項式結合高效回歸法將其轉化為完全隱式純微分方程，求解方程得到柔性懸臂梁變形響應的數字特征。最后，通過數值仿真對物理參數和幾何參數具有隨機性的系統進行動力特性研究。仿真結果表明：利用隨機參數的動力學模型能客觀地反映出系統的動力學行為；部分隨機參數的分散性對柔性體動力響應的影響不可忽視。

柔性懸臂梁； 隨機參數； 混沌多項式； 動力響應； 附加質量

引 言

隨著航天器、機器人、機械系統等向高速化、輕質化、大型化和高精度方向發展，許多學者對進行大范圍運動柔性懸臂梁的動力學問題進行了深入研究[1-4]。文獻[5]考慮剛體作大范圍平面運動時柔性梁的橫向彎曲引起的縱向縮短，運用Lagrange方程推導出系統的剛柔耦合動力學方程，建立了較零次近似模型更精確的一次近似模型。文獻[6]通過全物理仿真實驗驗證了動力剛化現象的存在以及一次近似耦合模型的合理性和正確性。

在傳統的柔體動力學研究中，通常認為研究對象的所有物理參數和幾何參數均是確定的或可精確測量的。事實上，由于多種隨機因素的存在，使得基于確定性參數的動力學建模和分析結果無法反映出隨機因素對系統動力特性的影響。因此，研究隨機參數柔體動力學問題將具有重要的理論意義和現實的工程背景。目前，關于含有不確定性參數的柔性懸臂梁系統，尤其對末端附有集中質量的柔性懸臂梁系統的研究鮮有報道。文獻[7]利用蒙特卡洛模擬法(Monte Carlo Simulation, MCS)對計及參數不確定性的柔性空間梁的動力學建模問題進行了研究，但該法需要樣本量大，計算效率較低。文獻[8]采用攝動法分析不確定的多體系統，該方法僅適合于小參數的情況。

混沌多項式(Polynomial Chaos，PC) 是一種非常嚴密的不確定分析方法，具有很強的數學基礎，該方法采用正交多項式對不確定變量進行展開，通過正交多項式的特性，將隨機變量的隨機特性轉移到多項式系數上。近年來，PC方法逐漸在復雜問題分析中取得了廣泛的應用[9-11]，該方法與MCS相比，在保證計算精度的前提下，可以顯著減少模擬次數，提高計算效率。在PC的應用過程中，首要的工作是如何選取配點以求解混沌多項式展開式中的待定系數?，F在常用的配點法是Isukapalli提出的高效回歸法(Regression Method with Improved Sampling, RIS)[12]，RIS建議配點數目取為待定系數的2倍以獲得比其它配點法更為穩健和準確的解。

本文在文獻[13]建立的考慮附加質量的柔性懸臂梁系統的一次近似剛柔耦合模型的基礎上，利用高效回歸法作為混沌多項式的配點求解展開式的待定系數，在系統大范圍運動已知的條件下，對參數具有隨機性的、考慮附加質量的柔性懸臂梁系統的動力特性進行了研究，重點通過仿真計算揭示系統參數的隨機性及其分散性對動力特性的影響。

1 一次近似耦合動力學模型

文獻[13]采用假設模態法和第二類Lagrange方程建立了帶有附加質量的柔性懸臂梁的一次近似剛柔耦合動力學方程

(1)

本文在文獻[13]給出的一次近似剛柔耦合動力學方程的基礎上，建立了大范圍運動規律為已知的系統動力學方程

(2)

為后續表述方便，式(2)可表示為

(6)

由文獻[13]可知，公式(6)中各變量M,G,K,Q均是系統幾何參數和物理參數的函數，若假設系統中的幾何參數和物理參數構成了變量矢量，并用x=(x1,…,xn)表示，其中n表示系統中參數的個數，則式(6)可表示為

(7)

式中M(x)，G(x)，K(x)，Q(x)分別為廣義質量陣、廣義陀螺陣、廣義剛度陣和廣義力陣。

2 隨機動力學模型

2.1 混沌多項式

混沌多項式的基本思想是用含獨立隨機變量的正交混沌多項式之和近似表示隨機過程?？紤]一個隨機過程Y(θ)，其中θ為隨機事件，為了進行數值計算，取有限項來近似表示輸出響應量。精度達到p階的PC可簡化表示為

(8)

式中ξ=(ξ1,…,ξn)是服從標準正態分布的隨機變量矢量，n為隨機變量個數；H(ξ)=(H0(ξ),…,HN-1(ξ))是Hermite多項式；y=[y0,y1,…,yN-1]是混沌多項式展開式的待定系數矢量，待定系數個數N的表達式為

(9)

研究顯示[12]，混沌多項式展開的階數越高，作為替代模型的PC將越接近原模型，但求解系數所需的方程個數也將隨之快速增加，計算成本顯著增加。通常情況下，取2階的PC即可獲得對Y較理想的近似，只有當2階的PC不能滿足精度要求時才考慮更高階的混沌多項式展開。

2.2 隨機參數動力響應分析

(10)

式中s為隨機解的維數。

將式(11)～(13)代入方程(10)中，則有

(i=1,…,s；k=0,…,N-1)

(14)

由于H已知，式(14)中M(H)，G(H)，K(H)，Q(H)為確定性矩陣。

利用Galerkin法對式(14)映射得

(15)

在得到混沌多項式系數yt之后，根據Hermite多項式的正交性，隨機變量響應q的均值可通過下式求得[9]：

(16)

由式(16)可以看出，響應函數q的均值為其多項式混沌展開式的0階項。歸納以上求解過程，給出求解隨機參數空間柔性梁動力響應的流程如圖1，其中k為時間節點總數。

圖1 柔性梁動力響應的求解流程圖Fig.1 Flowchart of solving the dynamic response of flexible beam

3 動力學仿真

對于帶有附加質量的柔性懸臂梁結構進行研究，如圖2所示[14]，取中心剛體半徑rA=0，梁長L=8 m。梁的橫截面寬度y、高度z、體積密度ρ、彈性模量E和附加質量m均為服從正態分布的隨機變量，它們的均值分別為μ(y)=3.6×10-2m，μ(z)=2.0×10-3m，μ(ρ)=2.766 7×103kg/m3，μ(E)=6.895 2×1010N/m2，μ(m)=0.085 kg。

圖2 考慮附加質量的柔性懸臂梁系統Fig.2 Flexible beam with tip mass

柔性懸臂梁由靜止開始作大范圍旋轉運動，角速度規律為

式中T為達到恒定轉速之前的加速時間，取T=15 s，ω0為t>T時的恒定轉速，分別取ω0=2,4和10 rad/s。

文中分別采用循環42次的二階PC(簡寫為PC-2nd)和循環112次的三階PC(簡寫為PC-3rd)求解該柔性懸臂梁末端的變形響應。圖3給出了角速度ω0=4 rad/s，所有變異系數γall=0.05時，通過Matlab編程分別模擬42次PC-2nd和112次PC-3rd與模擬105次的MCS獲得梁端變形位移響應的均值和標準差隨時間變化的時程曲線。圖4給出了ω0=4 rad/s，變異系數分別為γall=0.05和γall=0.1時PC-3rd獲得梁端變形位移響應的均值和標準差隨時間變化的時程曲線。圖5給出了γall=0.05，角速度分別為ω0=2，4和10 rad/s時PC-3rd獲得梁端變形位移響應的均值和標準差隨時間變化的時程曲線。圖6給出了γall=0.05，角速度分別為

圖3 梁末端的位移響應(ω0=4 rad/s,γall=0.05)Fig.3 Tip displacement response of flexible beam (ω0=4 rad/s,γall=0.05)

圖4 不同變異系數下梁末端的位移響應(ω0=4 rad/s)Fig.4 Tip displacement response of flexible beam with different coefficient of variation (ω0=4 rad/s)

圖5 不同ω0下梁末端的位移響應(γall=0.05)Fig.5 Tip displacement response of flexible beam with different ω0 (γall=0.05)

圖6 不同ω0下梁末端的速度響應 (γall=0.05)Fig.6 Tip velocity response of flexible beam with different ω0 (γall=0.05)

圖7 不同隨機參數時位移響應的標準差(ω0=10 rad/s)Fig.7 Tip standard deviation of displacement with different probabilistic parameters (ω0=10 rad/s)

ω0=2，4和10 rad/s時PC-3rd獲得梁端變形速度響應的均值和標準差隨時間變化的時程曲線。圖7(a)給出了ω0=10 rad/s時，變異系數γall,γy,γz,γρ,γE,γm分別為0.05時梁端變形位移響應標準差的時程曲線，其中圖7(b)為圖7(a)在t=14 s附近位移響應的局部放大圖。同時，表1給出了前20 s內，不同隨機參數組合和不同角速度ω0時的隨機模型梁端變形位移響應的絕對值的最大值。由圖3～7和表1可見：(1)角速度ω0和變異系數γall相同的前提下，本文PC-2nd和PC-3rd與MCS得到位移響應的均值和標準差高度一致，說明本文方法的正確性和有效性；(2)角速度ω0相同的前提下，變異系數γall越大，響應的標準差越大，但響應的均值基本不變；(3)變異系數γall相同的前提下，角速度ω0越大，柔性懸臂梁的變形位移響應的均值的絕對值越大，位移響應的標準差也越大；(4)變異系數γall相同的前提下，角速度ω0越大，柔性懸臂梁的變形速度響應的均值的絕對值越大，速度響應的標準差也越大；(5)幾何參數y的分散性對柔性梁變形位移響應的分散性影響較大，而體積密度ρ和附加質量m的分散性對變形位移響應的分散性影響很小，可以忽略不計。

表1 不同隨機變量對柔性梁位移響應數字特征的影響

4 結 論

本文對大范圍運動規律為已知和參數具有隨機性時的考慮附加質量的柔性懸臂梁系統的動力學問題進行了分析研究，獲得了較好的效果，并得到以下結論：(1)混沌多項式可以應用于含有多個隨機參數的帶有附加質量的柔性懸臂梁系統動力響應分析，與MCS相比，在隨機參數比較多時只需要很少次數的分析即可獲得系統變形響應的主要數字特征，計算效率明顯提高；(2)在相同角速度ω0前提下，不同的變異系數γall僅對位移響應的標準差有影響；在相同變異系數γall的前提下，不同的角速度ω0則對位移響應和速度響應的均值和標準差均有影響；(3)各參數的隨機性對末端具有附加質量的柔性懸臂梁系統的動力響應的影響不可忽略，故欲增強系統動力響應的平穩性，應首先降低對系統動力響應影響較大參數的分散性；(4)通過MCS的驗證表明，在考慮參數隨機性時，文中建立的帶有附加質量的柔性懸臂梁系統模型是合理的，且該模型能客觀反映出實際工程中剛柔耦合體的動力學行為。

[1] Schiehlen W. Research trends in multibody system dynamics[J]. Multibody System Dynamics, 2007,18(1):3—13.

[2] 劉錦陽,崔麟.熱載荷作用下大變形柔性梁剛柔耦合動力學分析[J].振動工程學報,2009,22(1):48—53.

LIU Jinyang, CUI Lin. Rigid-flexible coupling dynamics analysis for flexible beam with large deformation and applied with thermal load[J]. Journal of Vibration Engineering, 2009,22(1):48—53.

[3] 和興鎖,鄧峰巖,王睿.具有大范圍運動和非線性變形的空間柔性梁的精確動力學建模[J].物理學報,2010,59(3):1 428—1 436.

HE Xingsuo, DENG Fengyan, WANG Rui. Exact dynamic modeling of a spatial flexible beam with large overall motion and nonlinear deformation[J]. Acta Physica Sinica, 2010,59(3):1 428—1 436.

[4] 戎保,芮筱亭,王國平,等.多體系統動力學研究進展[J].振動與沖擊,2011,30(7):178—187.

RONG Bao, RUI Xiaoting, WANG Guoping, et al. Developments of studies on multibody system dynamics[J]. Jounal of Vibration and Shock, 2011,30(7):178—187.

[5] 吳勝寶,章定國.大范圍運動剛體-柔性梁剛柔耦合動力學分析[J].振動工程學報,2011,24(1):1—7.

WU Shengbao, ZHANG Dingguo. Rigid-flexible coupling dynamic analysis of hub-flexible beam with large overall motion[J]. Journal of Vibration Engineering, 2011,24(1):1—7.

[6] 楊輝,洪嘉振,余征躍.動力剛化問題的實驗研究[J].力學學報,2004,36(1):118—124.

YANG Hui, HONG Jiazhen, YU Zhengyue. Exprimental investigation on dynamic stiffening phenomenon[J]. Acta Mechanica Sinica, 2004,36(1):118—124.

[7] 張海根,何柏巖,王樹新,等.計及參數不確定性的柔性空間曲線梁動力學建模方法[J].天津大學學報,2003,36(1):37—40.

ZHANG Haigen, HE Baiyan, WANG Shuxin, et al. Dynamic model of flexible spatial camber beam with uncertainty parameters[J]. Journal of Tianjin University, 2003,36(1):37—40.

[8] Wang S X, Wang Y H, He B Y. Dynamic modeling of flexible multibody systems with parameter uncertainty[J]. Chaos, Solitons & Fractals, 2008,36(3):605—611.

[9] Sandu A, Sandu C, Ahmadian M. Modeling multibody systems with uncertainties. Part I: Theoretical and computational aspects[J]. Multibody System Dynamics, 2006,15(4):369—391.

[10]Wei D, Cui Z, Chen J. Robust optimization based on a polynomial expansion of chaos constructed with integration point rules[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C: Journal of Mechanical Engineering Science, 2009,223(5):1 263—1 272.

[11]趙軻,高正紅,黃江濤,等.基于PCE方法的翼型不確定性分析及穩健設計[J].力學學報,2014,46(1):10—19.

ZHAO Ke, GAO Zhenghong, HUANG Jiangtao, et al. Uncertainty quantification and robust design of airfoil based on polynomial chaos technique[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2014,46(1):10—19.

[12]Isukapalli S S. Uncertainty analysis of transport-transformation models[D]. Rutgers: The State University of New Jersey, 1999.

[13]陳思佳.剛-柔耦合問題與空間多桿柔性機械臂的動力學建模理論研究[D].南京:南京理工大學,2012.

CHEN Sijia. Researches on the rigid-flexible coupling problem and the dynamic modeling theory of multi-link spatial flexible manipulator arms[D]. Nanjing: Nanjing University of Science & Technology, 2012.

[14]Cai G P, Hong J Z, Yang S X. Dynamic analysis of a flexible hub-beam system with tip mass[J]. Mechanics Research Communications, 2005,32(2):173—190.

Stochastic dynamic analysis of rotating flexible beam with tip mass

JINHong-ling1,2，CHENJian-jun2，GUOKang-quan1

(1. School of Mechano-electronic Engineering, Northwest A & F University, Yangling 712100, China; 2. Key Laboratory of Electronic Equipment Structure Design, Ministry of Education, Xidian University, Xi′an 710071, China)

Dynamic response of rotating flexible beam with tip mass and uncertain parameters is investigated. Based on assumed modes method and Lagrange′s equations, the first-order approximation coupling stochastic dynamic equations are derived．The polynomial chaos method and a regression-based collocation method are applied to derive system of completely implicit differential equations. The resulting system of equations is then used to find the numerical characteristics of the response. As an illustrating example, dynamic modeling of flexible hub-beam system considering probabilistic geometric and physical parameters is presented. Simulation results demonstrate that probabilistic parameters have effect on the dynamic response of the flexible beam, and the dynamic modeling with probabilistic parameters can objectively reflect the actual dynamic response of flexible system.

flexible cantilever beam; probabilistic parameters; polynomial chaos; dynamic response; tip mass

2014-07-03；

2015-05-12

國家自然科學基金資助項目(51375401)；中央高?；究蒲袠I務費專項基金資助項目(2452015058)；中國博士后科學基金資助項目(2015M582709)

O326; O324

A

1004-4523(2015)06-0960-06

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.06.014

靳紅玲(1975—), 女, 講師。電話:15991270635；E-mail:jhl@nwsuaf.edu.cn

郭康權(1955—),男,教授。電話:15929317953；E-mail: jdgkq@nwsuaf.edu.cn