基于瞬時故障特征頻率趨勢線和故障特征階比模板的變轉速滾動軸承故障診斷

王天楊， 李建勇， 程衛東

(1.清華大學機械工程系，北京 100084；2.北京交通大學機械與電子控制工程學院， 北京 100044)

基于瞬時故障特征頻率趨勢線和故障特征階比模板的變轉速滾動軸承故障診斷

王天楊1， 李建勇2， 程衛東2

(1.清華大學機械工程系，北京 100084；2.北京交通大學機械與電子控制工程學院， 北京 100044)

針對難以從滾動軸承的時頻分布中提取瞬時轉頻分量的問題，本文利用由軸承包絡時頻譜中提取的瞬時故障特征頻率替代傳統瞬時轉頻實現重采樣，進而基于故障特征因子與轉頻階比邊帶構造故障特征階比模板以實現變轉速運行模式下滾動軸承故障診斷。其具體算法由以下四個部分組成：首先，聯合應用譜峭度濾波算法與短時傅里葉變換得到能夠突出瞬時故障特征頻率的包絡時頻譜；其次，提出基于幅值重調的峰值搜索算法對瞬時故障特征趨勢線進行提??；再次，以瞬時故障特征頻率趨勢線為基礎對原信號進行故障相角域重采樣并得到故障特征階比譜；最后，根據被監測軸承的故障特征因子構造故障特征階比模板對滾動軸承的運行狀態與故障類別進行判斷。仿真算例和應用實例證明了該算法的有效性。

故障診斷；滾動軸承; 故障相角域； 故障特征階比譜； 轉頻階比邊帶

引 言

若滾動軸承存在故障，故障點與其配合部件之間將因碰撞產生的短時、快速衰減沖擊并激勵其他部件產生高頻共振。如果轉速恒定，該類沖擊將以等間隔形式出現，相應的重復頻率則為故障特征頻率。該故障特征頻率通常會被共振高頻所調制，共振解調技術[1]即利用該特性實現對滾動軸承的故障診斷。但在工程實際中，滾動軸承并非均以勻轉速運行，例如：設備的啟停階段，風力發電機、直升機螺旋槳、礦用電鏟等。在變轉速下，由故障引起的沖擊將不再以周期形式出現。這將導致以共振解調為代表的以轉速恒定為前提條件的傳統軸承故障診斷方法失效[2]。

實際上，對變轉速運行設備中的滾動軸承進行故障診斷已成為領域內的熱點之一[3-5]。階比分析技術[6]則是其中應用最廣且效果最好的。其算法本質是以等角間隔對時域非平穩信號進行重采樣，再將其轉化為角域平穩信號的同時恢復傳統故障診斷算法的功效；其成功的關鍵在于對設備即時轉速的獲取。根據即時轉速獲取方法的不同，可將階比跟蹤算法分為兩類：第一類是利用輔助設備獲取轉速信息[7-9]；第二類則是根據信號本身對轉速進行估計[10]。第一類算法首先利用轉速計測得的即時轉速信息并對變轉速滾動軸承振動信號進行角域重采樣；其次結合希爾伯特變換和快速傅立葉變換求得相應的階比包絡譜；最后，利用階比包絡譜對滾動軸承的運行狀態及故障位置進行判別。該算法雖然能實現變轉速滾動軸承的故障診斷，但對轉速輔助設備的依賴也將制約該類算法的廣泛使用[11]。

第二類算法僅依靠振動信號本身即可對瞬時轉頻進行估計：Urbanek J等[12]利用齒輪信號時頻分析中突出的嚙合頻率成分間接地對其轉速進行估計，進而解決齒輪的故障診斷問題；趙曉平等[13]則提出短時傅里葉變換與Viterbi擬合算法相結合的算法對渦輪離心機升速階段振動信號的瞬時頻率進行估計。但是，滾動軸承的時頻分析結果中卻缺乏與其轉頻直接相關的、突出的、可直接提取的時頻分量，這將給應用該類算法解決變轉速模式下的滾動軸承故障診斷問題提出挑戰：首先，在滾動軸承振動信號的時頻表達中，轉頻對應的時頻成分往往因其幅值小于由故障引起的高頻共振成分而難以被提??；其次，與轉頻相關的趨勢成分往往也因幅值較小而并不連貫；最后，即使能夠解決上述問題，從時頻圖中提取到的趨勢分量也極有可能是與轉頻成分同步但比例未知的倍頻成分。而此未知比例關系將使相應的重采樣結果及其包絡譜失去明確的物理意義,并影響最終的故障診斷。

針對上述問題，本文提出利用包絡時頻譜，而不是時頻譜對滾動軸承的瞬時故障特征頻率而不是瞬時頻率進行提取。為解決瞬時故障特征頻率給傳統重采樣結果帶來的影響，本文利用被監測軸承的故障特征因子與轉頻階比邊帶構造故障特征階比模板實現最終的故障診斷。

1 算法部分

為解決難以從滾動軸承時頻分析中獲取轉頻分量的問題，本文提出了利用瞬時故障特征頻率(Instantaneous Fault Characteristic Feature, IFCF)替代傳統轉頻的解決策略。下式為內圈、外圈或滾動體存在故障時的故障特征頻率：

(1)

(2)

(3)

式中n為滾動體數；fr為軸承所在軸的轉頻；d為鋼球直徑；D為滾道節徑；φ為接觸角?？梢钥闯?，除轉頻外決定軸承故障特征頻率的其他參數均為被監測軸承的幾何參數。實際上，若軸承存在故障，其故障特征頻率和轉頻的比例關系固定且僅與軸承幾何參數相關。本文將此比例系數稱為故障特征因子(Fault Characteristic Coefficient,FCC)：

FCCo=fo/fr

(4)

FCCi=fi/fr

(5)

FCCb=fb/fr

(6)

因此，若滾動軸承的轉速隨時間變化，其故障特征頻率將隨著轉頻同步變化且比例關系保持不變。該特性將使軸承的故障特征頻率成為能夠替代轉頻的等效參量。然而，能否實際應用還取決于其可提取性。一般的，若故障軸承以勻轉速運行，其包絡譜中的故障特征頻率及其倍頻處會出現明顯的峰值。若能確定由故障引起的共振高頻并構造帶通濾波對其進行提取，響應包絡譜中的故障特征頻率峰值將更為突出。這將使故障特征頻率在與軸承轉頻同步變化的同時也將具備可提取性。

本文將故障特征頻率隨時間的變化形成的趨勢稱為IFCF趨勢線，并以其作為起點提出一套適合變轉速滾動軸承故障診斷策略：

第1步 聯合應用譜峭度濾波與短時傅里葉變換(STFT)獲得包絡時頻譜。

作為峭度的延伸概念，譜峭度能夠衡量沖擊性在頻域中的分布，其表達式為

(7)

式中 符號|·|和<·>分別表示取模和時域平均(取均值)，X(t,f)為分析信號x(t)在頻率f處得到復包絡。本文選擇文獻[14]提出的基于Krtogram的快速算法自適應地確定軸承共振頻帶對應濾波中心、寬及尺度參數。并利用STFT計算濾波結果的包絡時頻譜。由于基于譜峭度濾波能夠最大程度地凸顯軸承的故障特征，對應的包絡時頻譜中應該包含清晰且突出的IFCF趨勢線。

第2步 利用基于幅值重調的峰值搜索算法從包絡時頻譜中提取IFCF趨勢線。

理論上，在譜峭度濾波后的包絡時頻譜中，瞬時故障特征頻率在每個時刻對應的瞬時包絡譜中均應具備幅值優勢。但是，在轉速較低的區域，其二倍頻有可能在幅值上超過瞬時故障特征(如圖1(a)所示)。這將無法確保利用傳統的峰值搜索算法[10]能夠在每一時刻均獲取IFCF。為此，本節提出基于幅值重調的峰值搜索算法如下：

1)調整所有的瞬時包絡譜的幅值：以第i時刻對應的瞬時包絡譜eXi為例，將其中每一根譜線的幅值調整為其本身與二倍頻和三倍頻的幅值和：

eXi(j)*=eXi(j)+eXi(2*j)+eXi(3*j)

(8)

式中eXi(j)*為第i時刻對應的瞬時包絡譜第j根譜線經過調整后的幅值；j為包絡譜中的譜值序號，若3*j超出瞬時包絡時頻譜的長度則保持原幅值。

通過上述調整，瞬時包絡譜中瞬時故障特征頻率的幅值變為其本身與二倍和三倍頻幅值之和。其二倍頻的幅值則變為二倍，四倍與六倍頻幅值的和。這樣，瞬時故障特征頻率處的新幅值就將大于二倍頻對應的新幅值。因為類似四倍和六倍這樣的高階分量的幅值將遠小于二倍和三倍這樣的低階倍頻分量。

2)利用下式在幅值重調后的包絡時頻譜中對IFCF趨勢線進行提取

(9)

圖1(a)為低轉速區下輕微故障軸承瞬時包絡譜：其瞬時故障特征頻率的幅值略小于其二階倍頻。圖1(b)則為幅值重調的瞬時包絡譜結果。其中以FCF指向的一階瞬時故障特征頻率將重新具備幅值優勢，從而保證IFCF趨勢線的提取。

圖1 基于幅值重調的峰值搜索算法效果

第3步 以IFCF趨勢線為基礎，應用傳統算法對原信號進行重采樣。

本文將以IFCF趨勢線為基礎的重采樣過程稱為故障相角域(Fault Phase Angle, FPA)重采樣，其基本算法流程如下：

(1)利用三次多項式對IFCF趨勢線進行擬合，得到其相對時間變化規律為f(t)；

(2)利用下式確定原始采樣點在故障相角域中的坐標值

(10)

式中φ表示在時間t內轉過的故障相角值。

(3)以最低瞬時故障特征頻率為基準，在高于該基準的數據段插入多于原始數據點的數值來實現故障相角域的重采樣。相應的采樣頻率fFPA為

(11)

第4步 利用被監測軸承的故障特征因子構造故障特征階比模板實現滾動軸承的故障診斷。

本文將故障相角域重采樣結果的包絡譜稱為故障特征階比(Fault Characteristic Order,FCO)譜。它實際上是傳統角域階比譜的等比例壓縮版本，相應的壓縮比例為故障特征因子(FCC)。其中，故障特征頻率峰值所對應的橫坐標被統一地壓縮到單位“1”處。如果被監測軸承存在故障，FCO譜中代表故障特征頻率及其倍頻的峰值將會出現在單位階比(“1”)及其倍頻(“2,3,…”)處。該特點為提出統一的模板直接對滾動軸承的運行狀態和故障位置進行判斷提供可能性。

但是，在FCO譜的整數階比處存在峰值只能用于判斷被監測滾動軸承存在故障。而要想確定故障類型則必須確定表征軸承轉頻的故障階比值。與被壓縮到單位“1”處的故障特征頻率類似的是，表征轉頻的階比值將被壓縮到單位“1”以下，其橫坐標值則為對應故障特征頻率因子的倒數(1/FCC)。其倍頻峰值對應的橫坐標值為2/FCC,3/FCC,…。與故障特征頻率不同的是，軸承轉頻以及倍頻峰值往往不突出。這一特性也將為確定表征軸承轉頻的故障階比峰值增加了難度。針對這一問題，本文將利用一個普遍存在卻常常被忽視的現象幫助確定表征滾動軸承轉頻的故障特征階比值。

如前文所述，由故障引起的高頻共振將會調制故障特征頻率。同理，故障特征頻率也會調制較低的軸承轉頻。本文將這一現象稱為雙調制現象，其具體表現為由故障引起的共振高頻調制故障特征頻率，而故障特征頻率又會調制軸承轉頻。該現象在包絡譜中的體現則是在故障特征頻率峰值的兩側將出現以軸承轉頻大小為邊帶的一對峰值。該現象同樣會出現在FCO譜中：在代表軸承故障特征頻率的單位階比兩側將出現與單位故障階比峰值距離相等的邊帶，而這兩個邊帶到單位階比峰值的距離則為代表軸承轉頻的階比坐標值。本文將該邊帶稱為轉頻階比邊帶(Rotational Order Sideband,ROS)。因此，FCO譜應具備以下特點：

(1)表征故障特征頻率及其倍頻的故障特征階比峰值將出現在1階，2階及更高的整數階比處；

(2)代表軸承轉頻及其倍頻的階比值則會出現在1/FCC及其倍頻處(FCC可由式(4)～(6)確定)；

(3)在代表故障特征頻率的整數階比兩側將出現距離為1/FCC的左右邊帶。

利用以上3個特點，本文構造的故障特征階比模板如圖2所示。

圖2 故障特征階比模板Fig.2 Fault characteristic order template

在圖2所示的模板中，fr,2fr和3fr分別表示代表軸承轉頻的階比值及其倍頻；FCO,2×FCO與3×FCO代表故障特征頻率及其倍頻；ROS和2ROS分別表示轉頻階比邊帶及其2倍頻。其中，以虛線紅色箭頭標識的2fr和3fr與2ROS在實際的FCO譜中可能因幅值過小并不明顯。必須說明的是，圖2僅為故障特征階比模板的代表，實際fr與ROS對應的坐標值必須由被監測滾動軸承的幾何參數計算得出。在實際應用中，只需將FCO譜與故障特征階比模板相比較即可確定被監測軸承的運行狀態和故障位置。

上述4個步驟構成了基于IFCF趨勢線和故障特征階比模板的變轉速滾動軸承的故障診斷算法。圖3為對應的算法流程圖。

圖3 算法流程圖Fig.3 Flowchart of algorithm

2 仿真分析

為驗證本文所提出的算法，本節以文獻[15]中建立的故障軸承模型為基礎，考慮變轉速影響與雙調制現象構造仿真信號如下

x(t)=[1+cos(2π×fr(t)×t)]*

(12)

式中 乘號“*”之前的部分模擬的是雙調制現象；之后的部分則為變轉速故障軸承的仿真信號；σ(t)代表噪聲部分。fr(t)表示軸承轉頻隨時間的變化規律；N為由故障引起的沖擊總數；Am為第m個沖擊的幅值(本節將降速模式下軸承故障引起的沖擊幅值與時間的關系簡化為線性關系：λ*tm，λ則為對應的比例系數)；u(t)為單位階躍函數；β為結構衰減系數；ωr為由軸承故障激起的共振頻率；tm為第m個沖擊出現的時間，可由式(13)的遞推公式確定

(13)

式中μ為由滾動體滑移帶來的誤差系數，其取值范圍通常為0.01～0.02。其轉速由25 Hz下降為15 Hz，對應的變化規律為f(t)=-2.5t+25。仿真信號的其他參數如表2所示。圖4為根據預設的故障特征因子(3.7)構造故障特征階比模板。其中，表征故障特征頻率階比值為1，2和3(由1×FCO，2×FCO和3×FCO表示)；表征軸承轉頻的階比值則為0.270 3=1/3.7(由fr表示)；代表轉頻階比邊帶的峰值則為0.729 7(左邊帶)和1.270 3(右邊帶)(由ROS表示)。

表1 滾動軸承仿真信號相關參數

圖4 仿真信號故障特征階比模板 Fig.4 Fault characteristic order template of simulated signal

圖5 仿真信號波形Fig.5 Waveform of simulated signal

圖6 仿真信號的Kurtogram圖Fig.6 Kurtogram of the simulated signal

圖7 濾波后的包絡時頻譜Fig.7 Filtered envelope TFR

圖5為仿真信號波形，其預設轉速在圖8中以下方的直線表示。圖6為原始信號的Kurtogram。其中譜峭度最大值出現在中心頻率為4 166 Hz，帶寬為1 666 Hz，尺度為2.5的位置，與預設的4 000 Hz的共振頻率基本重合。

圖7則為在譜峭度濾波結果基礎上得到的包絡時頻譜。從中可以找出明顯的隨時間下降的IFCF趨勢線，且利用上文提出的基于幅值重調的峰值搜索算法可以對其進行提取。圖8將IFCF趨勢線與預設的轉頻趨勢線進行比較：二者隨時間的變化趨勢相同，相互間的比例也不隨時間變化。利用IFCF趨勢線對原始信號進行故障相角域重采樣，并利用傅里葉變換得到最終用于軸承故障診斷的FCO譜(如圖9所示)。

圖8 IFCF趨勢線vs預設的轉頻趨勢線Fig.8 IFCF trend vs preset IRF trend

圖9 仿真信號的FCO譜Fig.9 The FCO spectrum of the simulated signal

將圖9所示的FCO譜與圖4所示的故障特征階比模板做比較可以看出：在FCO譜的1，2，3階比處(實際為1.002，2.006，3.01)存在明顯的代表故障特征頻率及其倍頻的峰值；在0.270 3階比處(實際為0.271 3)存在明顯的代表軸承轉頻的峰值；在1階故障特征階比兩側的0.729 7和1.270 3階比處(實際為0.730 6，1.273)存在明顯的代表轉頻階比邊帶的左右兩個峰值?？梢钥闯?，FCO譜與故障特征階比模板幾乎一致，據此完成對滾動軸承的故障診斷。

3 實測故障軸承信號分析

圖10 試驗臺結構Fig.10 Experimental set-up of the test rig

本節利用圖10所示的實驗臺測取兩組外圈故障滾動軸承的振動信號(中度故障和輕度故障)驗證本文提出算法的。被測軸承的幾何參數與故障特征因子如表2所示；構造外圈和內圈故障特征階比模板如圖11所示。在外圈故障特征階比模板中，表征轉頻的階比峰值橫坐標為0.39，表征轉頻階比邊帶的峰值分別為0.61和1.29；而在內圈故障特征階比模板中，表征fr的坐標值為0.224，而表征ROS左右邊帶的峰值則分別為0.776和1.224。

表2 滾動軸承及實驗相關參數

圖11 故障特征階比模板Fig.11 Fault characteristic order template

圖12為中度外圈故障滾動軸承升速振動信號。由圖13所示的Kurtogram可以看出，在中心頻率為7 500 Hz，帶寬為3 000 Hz，尺度為2處獲得最大的譜峭度值(2.3)。利用上述濾波參數對原信號進行帶通濾波，濾波結果的包絡時頻譜如圖14所示。

圖12 實際信號波形Fig.12 Waveform of the real vibration signal

圖13 實際信號的Kurtogram圖Fig.13 The Kurtogram of the real vibration signal

圖14 濾波后的包絡時頻譜Fig.14 Filtered envelope TFR

圖15 IFCF趨勢線vs測取的轉頻趨勢線Fig.15 IFCF trend vs Measured IRF trend

利用基于幅值重調的峰值提取算法可提取IFCF趨勢線。圖15將IFCF趨勢線和利用轉速計測取的軸承瞬時轉頻趨勢進行對比?？梢钥闯?，這2個趨勢線將隨時間同步變化，且二者間的比例系數不隨時間變化。利用IFCF趨勢線對原始信號進行故障相角域重采樣，能夠得到最終用于故障診斷的FCO譜(如圖16所示)。

圖16 實際信號的FCO譜Fig.16 FCO spectrum of the real signal

在圖16中，能夠在單位故障特征階比及其倍頻上找到坐標值為0.999 1，1.992和2.985的峰值；在坐標值為0.39處能夠找到表征軸承轉頻的峰值；在單位故障特征階比兩側找到坐標值為0.611和1.389的左右轉頻階比邊帶峰值。通過與圖11中的故障特征模板項對比可以看出,圖16所示的FCO譜與圖11(a)所示的外圈故障特征階比模板幾乎相同。因此，可以判斷出被監測軸承的外圈存在故障。

圖17為外圈存在相對微弱故障的滾動軸承振動信號波形，其轉速變化范圍為44.5～76.9 Hz。由圖18所示的Kurtogram可以看出，在中心頻率為9 500 Hz，帶寬為1 000 Hz，尺度為3.5處獲得最大的譜峭度值(1.34)。其值低于由圖13獲得的最大譜峭度值(2.3)的原因則為相對微弱的故障程度。由圖19所示的包絡時頻譜中能夠找到清晰的隨時間上升的趨勢(IFCF趨勢線)。圖20將提取到的IFCF趨勢線與利用轉速計測取的瞬時轉頻趨勢線進行對比?？梢钥闯?，兩趨勢隨時間的變化趨勢基本相同。

圖17 實際信號波形Fig.17 Waveform of the real vibration signal

圖18 實際信號的Kurtogram圖Fig.18 The Kurtogram of the real vibration signal

圖19 濾波后的包絡時頻譜Fig.19 Filtered envelope TFR

圖20 IFCF趨勢線vs測取的轉頻趨勢線Fig.20 IFCF trend vs Measured IRF trend

圖21 實際信號的FCO譜Fig.21 FCO spectrum of the real signal

圖21為最終的FCO譜。其中，表征故障特征頻率及其倍頻的峰值1×FCO,2×FCO和3×FCO的橫坐標值分別為1.002,2.011和2.996；表征轉頻階比邊帶的峰值坐標則為0.611 7和1.389；表征轉頻的峰值坐標0.39也非常突出。將該FCO譜與預設的故障特征階比模板進行對比仍然能夠判斷軸承的外圈存在故障。

4 結 論

本文提出基于故障特征階比模板的算法以實現不利用輔助設備的變轉速滾動軸承故障診斷。主要工作包括：利用故障特征因子構造故障特征階比模板，確定濾波參數，獲取包含明顯趨勢包絡時頻譜，提取IFCF趨勢線，故障相角域重采樣，求取FCO譜，通過對比確定滾動軸承的運行狀態及故障位置：

(1)變轉速運行模式下，滾動軸承的IFCF趨勢線可以作為轉頻趨勢的等效參量以代替難以獲取的轉頻實現重采樣；

(2)基于譜峭度濾波與基于幅值重調的峰值搜索算法能夠從原信號的包絡時頻譜中對IFCF趨勢線進行提??；

(3)基于IFCF趨勢線的FCO譜中，表征故障特征頻率及其倍頻的階比峰值將出現在單位階比及其倍頻處，表征轉頻的特征階比將出現在1/FCC處，表征轉頻階比邊帶的峰值與單位階比的距離也為1/FCC。

(4)通過將FCO譜與故障特征階比模板做比較,能夠實現不依靠轉速設備的變轉速滾動軸承的故障診斷。

需要說明的是，本文提出的算法并不適合轉速變化速度過快或突變的工況。

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The instantaneous fault characteristic frequency and fault characteristic order template based fault diagnosis algorithm for rolling bearing under time-varying rotational speed

WANGTian-yang1,LIJian-yong2,CHENGWei-dong2

(1.Department of Mechanical Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China; 2.School of Mechanical Electronic and Control Engineering, Beijng Jiaotong University, Beijing 100044, China)

To solve the problem that there exist no clear and prominent components related to rolling bearing rotational frequency in the time-frequency representation, the instantaneous fault characteristic frequency from the envelope TFR is used as the substitute of the traditional rotational frequency to fulfill the resampling process and then a fault diagnosis algorithm for the rolling bearing based on the fault characteristic order template is proposed to accomplish the final bearing diagnosis. In specific, the proposed algorithm can be summarized as four parts: (1) The spectral kurtosis based filtering, together with the short time Fourier transform (STFT) can lead to the envelope TFR, (2) A revised peak searching algorithm is then used to extract the IFCF trend from the envelope TFR, (3) The resampling step is then carried on using the IFCF trend and the fault characteristic order (FCO) spectrum in the fault phase angle domain is obtained, (4) The fault characteristic order template based on the fault characteristic coefficient (FCC) is finally constructed to recognize the operating state of the rolling bearing under time-varying rotational speed and identifying its corresponding fault type. The effectiveness of the proposed method has been validated by both simulated and experimental bearing vibration signals.

fault diagnosis; rolling bearing; fault phase angle domain; fault characteristic order spectrum; rotational order sideband

2014-04-28；

2014-08-25

國家自然科學基金資助項目(面上項目，重點項目，重大項目)(51275030)

TH165+．3;TH133.33

A

1004-4523(2015)06-1006-09

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.06.020

王天楊(1985—)，男，博士研究生。電話： 13581583746； E-mail： wty19850925@126.com