Maple軟件在阻尼振動和受迫振動教學中的應用

劉 萍，曾葆青，高玉梅

(電子科技大學 a.中山學院，廣東 中山 528402； b.物理電子學院,成都 610054)

Maple軟件在阻尼振動和受迫振動教學中的應用

劉 萍a,b，曾葆青a,b，高玉梅a

(電子科技大學 a.中山學院，廣東 中山 528402； b.物理電子學院,成都 610054)

文中以阻尼振動和受迫振動作為應用舉例，討論了Maple軟件在大學物理教學中的應用。由阻尼振動和受迫振動運動方程，運用Maple軟件強大的計算功能，可以在課堂中現場計算出阻尼振動和受迫振動的位移表達式；運用Maple軟件便捷的輔助畫圖功能，可以非常方便地畫出各種參數下振動位移隨時間的演化曲線，起到隨堂演示的效果。Maple軟件在教學中的運用，可以提高學生對阻尼振動和受迫振動兩種運動形態的理性理解和直觀印象，提高教學質量。

大學物理；阻尼振動；受迫振動；Maple軟件

物理學是探討物質結構和物質運動基本規律的科學。由于研究對象非常廣泛，研究方法必須突出主要矛盾，才能極好地鍛煉大學生的理性思維。大學物理是理工科低年級大學生必修的基礎課程之一。阻尼振動和受迫振動又是大學物理中基本而重要的教學內容。研究振動問題時，運動方程的求解是教學的一個難點，很多教科書中沒有給出詳細的求解過程，而是直接列出了方程的解。在阻尼振動和受迫振動的教學中，我們在教會學生對運動方程進行手算的同時，也會教學生如何用Maple軟件來計算，讓學生的“手算”和“腦算”兩手都要硬。同時，用計算機輔助做出阻尼振動和受迫振動的位移時間演化圖，加深學生對這兩種振動在各種不同參數條件下的位移演化的直觀印象。

Maple軟件是通用的數學和工程軟件，提供了強大的符號計算和數值計算功能。從簡單的數字計算到高度復雜的非線性問題，Maple都可以快速、高效地解決。它的畫圖功能也非常齊全。Maple軟件以其便捷的人機交互方式，強大的數值計算能力和符號計算功能，成為眾多數學軟件中的佼佼者[1-2]。

本文分別介紹Maple軟件在阻尼振動和受迫振動教學中的應用。

1 阻尼振動

阻尼振動的運動方程為[3-4]

(1)

式中：γ為阻力系數。

(2)

式中：δ稱為阻尼系數；ω0為無阻尼時振子的固有角頻率。

我們在課堂上用Maple軟件演示了此運動方程的求解。運用Maple軟件的符號計算功能，可在Maple軟件界面中輸入以下命令“dsolve(diff(x(t),t,t)+2*delta*diff(x(t),t)+omega[0]^2*x(t));”系統反饋計算結果是

式中：C1和C2是任意的積分常數。為了避免出現復數，我們根據δ與ω0的三種大小關系δ<ω0，δ=ω0，δ>ω0分別運算式(2)的結果。

1.1 準周期阻尼振動：δ<ω0

x=A0e-δtcos(ω1t+φ0)

(4)

運用Maple軟件的畫圖功能，可以對式(4)用如下命令畫出準周期阻尼振蕩圖形：“plot(dsubs(A[0]=0.2,phi[0]=0,delta=0.2,omega[1]=1,A[0]*exp(-delta*t)*cos(omega[1]*t+phi[0])),t=0.30);”準周期振動的特點是振幅不斷衰減，我們可用軟件畫出體現振幅衰減特性的曲線。從式(4)，學生可以很理性地了解當阻尼系數較小時位移的演化趨勢。而通過圖形的展示，可以幫助學生直觀地了解位移的演化曲線。

1.2 臨界阻尼振動和過阻尼振動

準周期阻尼振動、臨界阻尼振動和過阻尼振動的位移隨時間的演化圖形如圖1所示。其中，曲線a對應準周期阻尼振動，曲線對應過阻尼振動，曲線c對應臨界阻尼振動。

圖1 三種阻尼振動圖形

運用Maple軟件的符號計算功能和畫圖功能，可很方便地得到臨界阻尼振動和過阻尼振動的表達式和演化曲線。為了比較不同δ下的演化曲線，可用display命令將所畫的準周期振動、臨界阻尼振動和過阻尼振動的三個圖形列在一張圖上，如圖1所示。從圖1可知，臨界阻尼振動中振子運動到平衡位置的時間比過阻尼中振子運動到平衡位置的時間要長。這三種狀態的位移演化曲線顯示出，臨界阻尼情況下，振子最先從運動狀態過渡到靜止狀態。在課堂中，我們一方面從物理學受力分析的角度，定性分析這種現象；同時，借助計算軟件現場推導本文中所列的公式和展示圖形，對這種現象進行理性說明，加強學生對阻尼振動的理解。

2 受迫振動

物體的運動總是受到阻尼的作用。受到阻尼的物體在周期性外力的持續作用下發生的振動稱為阻尼受迫振動，有時也簡稱受迫振動。其運動方程為[4]

(5)

(6)

當振子剛開始運動時，振子的運動不穩定，這個過程稱為暫態過程。暫態過程的位移曲線非常復雜。固有頻率和外力頻率的大小，阻尼振動和受迫振動的初始相位和初始振幅的大小，都會影響暫態過程的時間演化曲線。我們在教學中討論了固有頻率和驅動力頻率相同，阻尼振動和受迫振動初始振幅相等的典型情況。即使在頻率和位移的雙重限制條件下，不同的相位關系仍可以畫出形態完全不同的暫態振動曲線。通過典型例子的討論，讓學生體會暫態過程的位移演化曲線的多樣性。

第一種情況：固有頻率和外力頻率相等，阻尼振動和受迫振動的初始振幅相等，初始相位相反。這種情況下的阻尼受迫振動在教材中有非常廣泛的介紹。

第二種情況：固有頻率和外力頻率相等，阻尼振動和受迫振動的初始振幅相等，相位相等。此時，我們可對式(6)運用Maple軟件畫出如圖2所示的演化圖。阻尼振動和受迫振動的初始相位相等所畫出的演化圖形在教材中介紹得較少。我們只是討論了固有頻率和外力的驅動頻率相等條件下的圖形，如果頻率大小關系變化，或者阻尼振動和受迫振動的初始振幅的大小不可比擬，圖形又會發生很大的變化。從我們舉的兩個例子，已經可以讓學生體會這種演化的多樣性。

圖2 受迫阻尼振動的位移隨時間的演化曲線二

3 結束語

阻尼振動和受迫振動是大學物理的重要教學內容。阻尼振動和受迫振動的表達式和演化曲線相對較為復雜，如果簡單羅列表達式，學生對這兩種振動的印象不會深刻。運用Maple軟件，在課堂中現場計算、現場畫圖演示，可加深學生對這兩種振動的理解。對參數稍加調整，便可馬上畫出不同的圖形，這種便捷性使得我們在課堂上可以大量展示各種參數下阻尼振動和受迫振動的演化曲線。運用Maple軟件輔助阻尼振動和受迫振動的教學，不僅鍛煉了學生的物理思維,也鍛煉了學生借助計算機軟件對物理情景進行計算和分析的能力，提高了教學效果。

作者衷心感謝電子科技大學王世璠教授的有益討論和熱情幫助。

[1]劉萍，譚朝陽.數學物理方法中“行波法”教學方法改革探索[J].衡陽師范學院學報,2013,34(3):149-150.

[2] 王悅悅，戴朝卿，趙麗華.用Maple軟件輔助大學物理實驗教學[J].實驗科學與技術, 2012,10(1):56-57.

[3]王曉勇.利用受迫振動儀直接觀察“拍”現象[J].實驗科學與技術, 2004,2(1):85-86.

[4]張小丹,洪小達.簡明大學物理[M].2版.北京：科學出版社,2008.

Application of Maple Software in Teaching of College Physics

LIU Pinga,b,ZENG Baoqinga,b,GAO Yumeia

(a.Zhongshan Institute, Zhongshan 528402, China;b. School of Physical Electronics, University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu 610054, China)

The application of Maple software in the teaching of college physics is discussed in this paper, where damped vibration and forced vibration are taken as the examples. Using the powerful computing capabilities of Maple software, one can obtain the formulas of the displacements. The vibration displacement curve evolutions with different parameters can be obtained with the help of drawing function of Maple software, which can play the effect of demonstration in class. The application of Maple software in the teaching of damped vibration and forced vibration can enhance the rational understanding of the two movement patterns and improve teaching quality.

college physics; damped vibration; forced vibration; Maple software

2014-02-28；修改日期: 2014-04-19

國家自然科學基金資助項目(11305031)；廣東省自然科學基金資助項目(S2013010011546)；廣東省高等學校優秀青年教師培養計劃資助項目(Yq2013205)；中山市科技計劃資助項目(2013A3FC0334)；廣東省教學質量工程基金資助項目(ZYGX201401)。

劉 萍(1980-)，女，博士，副教授，主要從事物理學教學與研究工作。

TP319;O4-39

A

10.3969/j.issn.1672-4550.2015.02.014