基于模型不確定性的響應曲面建模

歐陽林寒，馬義中，汪建均，劉 健

（南京理工大學經濟管理學院，江蘇南京210094）

基于模型不確定性的響應曲面建模

歐陽林寒，馬義中，汪建均，劉 健

（南京理工大學經濟管理學院，江蘇南京210094）

針對響應曲面構建中模型不確定性問題，在組合建模方法的基礎上，通過引入包容性檢驗，提出了基于包容性檢驗的穩健性組合建模方法（ensemble of surrogates based on encompassing test，ET-EOS）。首先，根據實際問題及各模型的特點確定子模型集，進而構建各子模型；其次，采用包容性檢驗篩選子模型，以消除子模型間存在的冗余信息；然后對篩選出的子模型進行加權組合，以構建ET-EOS模型?；诎菪詸z驗，提出了穩健的組合模型，解決了模型不確定下的響應曲面構建問題。最后，結合實際案例和仿真試驗驗證提出方法的有效性，結果表明此方法不僅改善了模型的預測性能及其穩健性能，而且通過篩選子模型減少了建模所需的工作量。

模型不確定性；包容性檢驗；響應曲面；組合模型

0 引 言

穩健參數設計是由日本著名質量工程專家Taguchi博士于20世紀80年代提出，該方法的基本原理是選擇最佳的輸入參數，以減少和控制噪聲因素對產品／工藝過程的影響［1－3］。盡管Taguchi方法的質量哲學思想已經被學術界、工業界所廣泛地接受，但對于Taguchi所提出的方法與技術等方面仍存在較大的爭議［4］。如文獻［5］指出信噪比作為一個度量過程波動的指標，無法有效地區分輸入參數對響應均值與方差的影響。針對Taguchi方法的不足之處，文獻［6－7］提出將Taguchi的穩健參數設計問題轉化為具有約束的響應曲面優化設計問題。

由于在實際的生產過程中，儀器、測量等因素將在一定程度上影響試驗數據的準確性或影響產品／工藝過程的顯著性變量無法準確地獲知，因此考慮模型不確定下的響應曲面構建在質量改進活動中顯示出越來越重要的作用。特別是在高質量、高可靠性的產品設計中，若無法精確地獲得過程輸入與輸出之間的函數關系，將難以有效地確定最優的輸入參數［1，8］。因此，在實現產品的質量設計中，應充分考慮模型不確定性，并精確地刻畫產品／工藝過程中輸入與輸出之間的函數關系，從而獲得有效的參數設計。

近年來，一些研究者開始運用組合模型的方法解決模型不確定下的穩健參數設計問題。組合模型的基本原理是采用兩種以上不同的建模工具對同一個產品／工藝過程進行建模并預測，其本質是解決模型不確定的重要手段之一。當前，利用組合建模方法考慮模型不確定的研究已引起一些研究人員的關注和重視。

文獻［9］提出將貝葉斯組合模型用于響應曲面建模，該組合模型以各子模型的后驗概率作為權重，并分析了模型不確定性對過程優化的影響。文獻［10］采用貝葉斯組合模型構建多響應曲面，并以二次損失函數為優化指標來解決多響應的穩健優化問題。同時，其在貝葉斯組合模型的基礎上進行了追隨試驗，研究了追隨樣本點位置及數量的選擇問題。文獻［11］采用調節因子法將模型不確定性傳播到系統響應的預測中，然后結合貝葉斯組合模型量化響應預測中的模型不確定性。文獻［12］針對穩健參數設計中存在的不確定性問題，將因子效應原則引入貝葉斯組合模型中，所提的組合模型不僅遵循了試驗設計的三大效應原則，而且改善了其預測性能。然而，由于貝葉斯組合模型中的各子集模型都是多項式模型，故在高度非線性的建模問題上，該模型并不能準確地刻畫產品／工藝過程中輸入與輸出之間的函數關系。文獻［13］從非貝葉斯角度研究了組合模型的構建問題，比較了組合模型與單一模型的預測性能，并分析了組合模型的預測性能在不同類型的工程問題（低階線性，低階非線性，高階線性和高階非線性）都表現較佳；同時，驗證了其預測性能對樣本點及試驗設計的選擇更具穩健性。文獻［14］提出了自適應的組合建模方法，該方法的子模型不僅包括多項式模型，而且增加了能夠較好擬合非線性問題的回歸模型，如Kriging模型、支持向量機等。由于Kriging模型的優點主要在于其能較好地擬合高度非線性過程，文獻［15］針對輸入輸出過程為非線性情形下的響應曲面建模問題，提出將不同類型的Kriging模型進行加權組合。文獻［16］采用傳統的組合模型策略與協同進化方法分析了汽車的防撞性能試驗，相應的最佳輸入設置大大提高了汽車的防撞性能。文獻［17］從遞歸權重的角度研究了組合模型的構建問題，并比較了組合模型下穩健參數設計與單一模型優化結果的異同。

雖然上述文獻已分別從不同角度研究了模型不確定下的響應曲面構建問題，但是在穩健參數設計中，現有的組合建模方法忽視了各模型間存在預測信息的冗余現象，直接加權構建組合模型的方法并不能改善模型的預測性能或穩健性能。因此本文擬在組合模型的框架下，結合包容性檢驗以確定子模型集，提出了解決模型不確定下響應曲面構建的新方法。本文與現有的響應曲面建模方法相比，將包容性檢驗引入穩健參數設計中的響應曲面建模階段，構建了穩健的響應曲面模型，解決了模型不確定下的響應曲面構建問題，以提高穩健參數設計的有效性。

1 包容性檢驗

包容性檢驗最早由文獻［18］提出，該方法用于確定某一預測模型是否包含其他預測模型中所提供的信息。包容性檢驗的基本思想［19－21］是：

式中，β1與β2分別為模型的回歸系數；ε為隨機擾動。

在β1＋β2＝1的約束條件下，回歸系數的取值將會出現以下3種情形：若（β1，β2）＝（1，0），則回歸模型1包容回歸模型2；若（β1，β2）＝（0，1），則回歸模型2包容回歸模型1；若（β1，β2）取其他參數組合時，則回歸模型互不包容，即兩個模型在預測時都包含了真實值y0的信息。在式（1）左右兩邊同時減去和，可以得出如下兩個式子：

式中，ei，0＝y0－表示第i個模型在x0處的預測殘差值。包容性檢驗可以采用式（2）或式（3）分別檢驗β2＝0或β1＝0來判斷模型的包容性。另外，文獻［21］提出了與式（2）或式（3）包容性檢驗相類似的檢驗方法：e1，0＝δ1（e1，0－e2，0）＋ε，其通過t統計量檢驗δ1的顯著性，以實現包容性檢驗。

2 ET-EOS模型構建

2.1 子模型集及超參數的確定

在產品的設計建模中，以往的研究重點往往在組合模型中各子模型的權重求解上，而子模型集的篩選研究較少。如第1節所述，當某一模型被包容于另一模型時，則無須將該模型納入組合模型中，因為增加該模型并不會改善組合模型的預測性能。在穩健參數設計中，常用的響應曲面模型有：參數、非參與半參模型、Kriging模型、徑向基函數（radial basis function，RBF）模型等。在子模型集的選取上，試驗者應根據實際問題與各模型的特點選擇模型集。

針對各子模型中的超參數確定問題，通常采用“留一”交叉驗證法。使用“留一”交叉驗證法有兩個優點：一是每一次進行模型擬合時幾乎所有的樣本都用于訓練模型，因此最接近原始樣本的分布，這樣評估所得的結果比較可靠；二是實驗過程中沒有隨機因素影響試驗數據，確保試驗過程是可以被復制的。該方法的基本思想是最小化預測誤差以求解最佳的超參數值。

式中，yi為驗證點i處的真實值為由n－1個樣本點構建的模型在驗證點i處的預測值；E表示以交叉預測平方和的某一函數作為優化指標；Ω為輸入變量的可行域。

2.2 組合模型的包容性檢驗

由于不同模型適用的情景不同，故即使在同一組數據下，各模型所反應出的有用信息也各不相同。組合模型的最終目的是組合不同模型提供的有用且不相同的信息以改進預測效果。如果某個模型加入組合模型中，并不能改善新模型的預測性能，甚至降低其預測性能，則該模型不應包含在組合模型中，反之亦然。第1節主要以兩個模型的包含性檢驗來闡述其思想，然而，在實際建模中，往往存在多個模型的組合。因此，建立多模型的包容性檢驗是十分有必要的。

相應的假設檢驗為：H0∶δi＝0，i＝1，2，…，m。通過t統計量檢驗δi的顯著性，如果δi的p值小于顯著性水平，即拒絕原假設，則第i個模型改善了組合模型的預測性能。反之，如果p值大于顯著性水平，即接收原假設，則在模型組合前，將第i個模型從子模型集中剔除。雖然目前有不少文獻研究如何選取各子模型的權重，但文獻［22－23］提出簡單的加權準則得到的預測性能往往優于復雜的加權準則。故本文選取等權重的方法對各子模型進行加權組合。關于如何利用各模型提供的不同信息確定相應的權重，需要未來進一步的研究。

2.3 ET-EOS模型構建步驟

ET-EOS模型構建的具體步驟如下：

步驟1 設計試驗方案及收集試驗數據。

步驟2 確定子模型集。根據產品／工藝過程特性，選擇潛在的子模型集。

步驟3 確定超參數。以預測殘差平方和為指標，采用交叉驗證法，求解出各子模型的最佳超參數。

步驟4 構建子模型?；诓襟E3中的最優超參數，并根據各子模型的建模方法分別構建各子模型。

步驟5 組合模型的包容性檢驗。采用式（5）對所有子模型進行包容性檢驗，以判斷子模型對組合模型的預測性能是否有顯著改善；若該子模型對組合模型的預測性能有顯著改善，則將該模型加入組合模型中，反之，則剔除該子模型。

步驟6 構建ET-EOS模型。若各子模型都接受原假設，則比較各子模型的預測性能，選擇最佳的子模型構建響應曲面；反之，若存在至少兩個模型拒絕原假設，則通過線性加權的方法組合各模型，從而構建ET-EOS模型。

步驟7 評價預測性能。采用不同的預測性能指標，綜合評價ET-EOS模型的預測性能，以驗證經過篩選后組合模型的預測性能表現優越。相應的流程圖如圖1所示。

圖1 ET-EOS模型建模流程

3 案例研究

打印墨水試驗來源于文獻［17］，主要研究彩色墨水在包裹標簽上書寫性能的問題。在該打印墨水試驗中，研究人員選擇一個33的全因子試驗設計方案，并且每輪試驗重復進行3次。研究人員認為影響書寫性能的主要因素為：速度x1、壓力x2、距離x3。具體的試驗數據如表1所示。

3.1 子模型及超參數的確定

案例中的擬合對象分別為均值響應與標準差響應。文獻［24］指出標準差響應不同于均值響應，其常表現為高度非線性的特征，故多項式模型不能較好地擬合標準差響應。同時，由于物理試驗時間長且成本高的特性，故試驗者往往只能收集小樣本的試驗數據。針對上述問題，本文以多項式回歸模型（文獻［6，25］均采用二階多項式模型）、非參模型、半參模型、RBF模型與Kriging模型作為初始子模型集。

選用以上模型作為子模型集的理論依據是：

（1）多項式回歸模型能較好地擬合低階線性問題；

（2）非參模型對于非線性問題有較好的擬合能力，在響應曲面構建中，常見的即標準差響應模型；

（3）半參模型綜合了參數與非參模型的性能，其顯著特點是其在小樣本情形下，對非線性過程具有較好的擬合能力；

（4）Kriging模型與RBF模型都屬于插值模型，但Kriging模型不僅考慮待估點位置與訓練樣本位置的相互關系，而且還考慮變量的空間相關性；而RBF模型的優點主要在解決小樣本情形下的建模問題。

表1 打印墨水試驗的結果

針對不同的子模型，相應的超參數如下：Kriging模型：參數θ、θ的上下界upb和lob、多項式階數和核函數類型；半參模型：窗寬b和加權系數λ；非參模型：窗寬b；RBF模型：中心參數c。

針對非參與半參模型，文獻［26］建議采用懲罰的預測殘差平和（apenalized predicted residual sums of squares，PRESS）；而對于Kriging模型與RBF模型，目前研究大多采用均方預測平方和（mean squared prediction error，MSPE）。對于PRESS和MSPE的計算公式及各模型的構建方法可見參考文獻［26］。根據第2.1節中的交叉驗證法和PRESS與MSPE確定相應子模型的超參數，其結果見表2。

3.2 包容性檢驗

基于表2中各超參數的數值，分別構建均值響應與標準差響應的子模型，需要指出的是，在構建多項式模型時，本文構建了兩種多項式模型：一階多項式模型和二階多項式模型。然后按照第2.3節中的穩健性建模步驟對各模型進行包容性檢驗，相應的檢驗結果見表3。

表2 各子模型的超參數

表3 包容性檢驗的p值

根據表3中包容性檢驗的結果可知：針對均值響應，以一階多項式模型為例，其p值為0.096，大于臨界值0.05，故接受原假設，即若將一階多項式加入組合模型中，并沒有改善模型的預測性能。故在組合前，可將一階多項式模型從子模型集中刪除。在構建均值響應的ET-EOS模型時，經過篩選后的模型為二階多項式模型、非參模型和RBF模型；而針對標準差響應，各子模型都接受原假設，按照步驟4從各子模型中選擇最佳的子模型來構建響應曲面。

3.3 ET-EOS模型構建

由于文獻［13］指出組合模型的預測性能對試驗樣本的選擇呈穩健特性，故本文僅采用文獻［17］的樣本選擇方法：以前面的20個試驗樣本點作為訓練樣本集，且將后面的7個試驗樣本點作為測試樣本集。同時，采取均方根誤差（root-mean-square error，RMSE）、最大絕對誤差（maximum absolute error，MAE）和平均絕對誤差（average absolute error，AAE）3個常見的定量指標來評價不同組合模型的預測性能（文獻［17，26］）。其中，各指標的計算如下：

式中，n是測試點的個數；yi和分別為第i個試驗點的真實值與預測值。

針對均值響應，ET-EOS的子模型集為二階多項式模型、非參模型和RBF模型。而針對標準差響應，ET-EOS的子模型集應為最佳的單一模型。表4給出了不同子模型在標準差響應下的RMSE、MAE與AAE指標下的數值。

表4 標準差響應下各子模型的預測性能比較

從3個預測性能指標可以看出，半參模型在RMSE和AAE預測性能指標下都是最佳的。故針對標準差響應，選擇半參模型來構建標準差響應曲面。同時，這也充分驗證了半參模型在小樣本及非線性問題的擬合優勢。

本文同樣采用上述3個預測性能指標，比較ET-EOS模型和貝葉斯組合模型與未經包容性檢驗的組合模型的預測性能，比較結果如表5和表6所示。

表5 均值響應下各組合模型的預測性能比較

表6 標準差響應下各組合模型的預測性能比較

根據表5和表6的試驗結果可知，在以RMSE、MAE和AAE 3個指標度量預測性能的準則下，本文提出的ETEOS模型相比傳統的組合模型（即貝葉斯組合模型與未經檢驗的組合模型）在均值響應的預測性能上均表現優越。雖然在標準差響應中，MAE指標的最佳模型為未經檢驗的組合模型，但是在其他兩個指標的比較上，ET-EOS模型仍然表現較好的預測性能。在均值響應模型的構建中，以RMSE為評價對象，與貝葉斯組合模型和未經檢驗的組合模型相比，ET-EOS模型在RMSE上的改善幅度分別達到19%和14%；在標準差響應中，RMSE上的改善幅度也分別達到27%和12%。這說明在建立組合模型前，首先采用包容性檢驗消除模型間存在的冗余信息，然后構建組合模型，可以有效地提升模型的組合效率，進而改善模型的預測性能。

4 仿真試驗

為了進一步測試所提模型的有效性，本節采用蒙特卡羅（Monte Carlo，MC）方法對上述案例的試驗數據進行仿真抽樣。由于在原始數據中，每一輪次下的樣本均值與標準差是可知的，因此可采用MC方法對原始數據進行重新抽樣以實現仿真試驗分析。同時，為了研究不同的系統波動對ET-EOS模型預測性能的影響，在抽樣時以k倍的樣本標準差抽取試驗數據以進行仿真分析，相應的抽樣方法為選擇10個波動系數k，以表示系統處于不同程度的波動狀態，其數值分別為0.25，0.5，0.75，1，1.5，2，2.5，3，3.5，4。采取這10組數據的目的是研究：在不同系統波動下，比較ET-EOS模型與其他組合模型的預測性能，以分析所提ET-EOS模型在不同系統波動下，其預測性能是否穩健。為了簡化仿真分析的比較，在此僅對預測性能指標RMSE進行比較，其他指標的比較可參見此。相應的比較結果見表7與表8。

表7 不同波動系數下均值響應組合模型的性能比較

表8 不同波動系數下標準差響應組合模型的性能比較

根據表7和表8的比較結果可知，當波動系數由0.25逐漸增加到4時，ET-EOS模型預測性能均優于其他組合模型。這說明當系統波動不斷增加時，ET-EOS模型預測性能優于其他兩種組合模型的性能是穩健的。針對均值響應的情形，當k＝0.25時，相比貝葉斯組合模型，ET-EOS模型大大降低了RMSE值，其最大改善幅度接近41%；當k＝0.25時，相比未經檢驗的組合模型，ET-EOS在RMSE指標的最大改善幅度達25%。針對標準差響應的情形，當k＝3時，相比貝葉斯組合模型，ET-EOS在RMSE指標的最大改善幅度達47%；當k＝0.75時，相比未經檢驗的組合模型，ET-EOS在RMSE指標的最大改善幅度達15%。

從比較分析中可以發現，隨著波動系數的增加，貝葉斯組合模型預測性能降低的幅度大于其他兩種組合模型。這也充分驗證了貝葉斯組合模型在擬合輸入輸出關系的局限性，即無法準確擬合過程波動較大的輸入輸出關系。以波動系數k從2.5增加到3為例，在標準差響應中，貝葉斯組合模型、未經檢驗的組合模型和ET-EOS模型在RMSE指標上增加的幅度分別為102%，50%，44%。該數值表明，隨著系統波動的增加，ET-EOS模型的預測性能更加穩健。上述分析結果進一步說明了在建立組合模型時，采用包容性檢驗消除模型間存在的冗余信息，不僅可改善組合模型的預測性能，而且該性能是穩健的。圖2同樣展示了不同組合模型的預測結果。

從圖2（a）中可知，當系統的波動增加時，在RMSE預測性能評價指標下，均值響應的ET-EOS模型預測性能曲線低于其他兩種組合模型方法的預測性能曲線。故對于不同系統的波動，ET-EOS模型的預測性能均優于其他兩種組合模型。特別是當系統的波動較大時，采用ET-EOS模型將比用貝葉斯組合模型和未經檢驗的組合模型去刻畫系統的輸入輸出關系將更加合理可靠。同樣圖2（b）展示了標準差響應下各組合模型預測性能的比較結果：ET-EOS模型的預測性能同樣均優于貝葉斯組合模型和未經檢驗的組合模型。

圖2 預測性能比較

綜上分析，從仿真試驗中可以看出無論是在均值響應還是標準差響應中，ET-EOS模型均優于貝葉斯組合模型和未經檢驗的組合模型。主要表現在：

（1）隨著過程波動的不斷增加，貝葉斯組合模型的預測性能急劇下降；

（2）相比貝葉斯組合模型和未經檢驗的組合模型而言，ET-EOS模型的預測性能均表現優越；

（3）相比貝葉斯組合模型和未經檢驗的組合模型而言，ET-EOS模型的預測性能對過程的波動更加穩健。

5 結 論

針對響應曲面構建中模型不確定性的問題，在組合模型的框架下，將包容性檢驗引入到組合建模中，提出了ETEOS的穩健性建模方法。首先，根據試驗數據，確定并構建各子模型；然后采用包容性檢驗，消除各模型間存在的冗余信息，篩選出子模型集；最后構建穩健的響應曲面模型。

為了驗證ET-EOS模型預測的準確性與穩健性，從實際案例和仿真試驗兩個角度出發，并以RMSE、MAE及AAE評價指標為基準，分析比較了不同組合模型的預測性能。從分析結果可得出：

（1）在非線性的產品／工藝過程中，貝葉斯組合模型并不能較好地擬合過程中輸入與輸出間的關系；

（2）不存在某單一模型在所有響應的擬合中都表現優越；如均值響應下的最佳單一模型是非參模型，而在標準差響應下的最佳單一模型是半參模型；

（3）在過程的隨機波動不斷增加的情形下，ET-EOS模型的預測性能均優于其他兩種組合模型，同時，ET-EOS模型的穩健性能也要優于其他兩種組合模型。

需要指出的是，本研究采用的加權準則都是假設各模型的重要性是相同的，沒有在加權時考慮各模型間的差異。如何從模型本身的預測性能或預測樣本與試驗樣本間的距離等因素考慮各模型的權重，將是未來需要進一步研究的課題。

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Response surface modeling based on model uncertainty

OUYANG Lin-han，MA Yi-zhong，WANG Jian-jun，LIU Jian
（School of Economics and Management，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing 210094，China）

In most engineering problems，model uncertainty is inevitably involved in the robust parameter design.Ensemble of surrogates based on the encompassing test（ET-EOS）is proposed to consider model uncertainty for response surface modeling.Firstly，sub-surrogates are assured according to the practical problem and characteristics of models，then different surrogates are constructed.Secondly，encompassing tests are used to eliminate the redundant information among surrogates and reduce the number of surrogates contained in the ensemble of surrogates，and then the effective sub-surrogates are identified.Weighted average for all models is carried out to obtain a robust ensemble model.Finally，the effectiveness of the proposed method is verified through a practical industrial example combined with a simulation example.The results reveal that the proposed method not only improves the prediction and the robustness of model prediction，but also reduce the computing cost for constructing models.

model uncertainty；encompassing test；response surface；ensemble of surrogates

F 273.2

A

10.3969／j.issn.1001-506X.2015.08.16

歐陽林寒（1987－），男，博士研究生，主要研究方向為質量設計與統計建模。

E-mail：oylh871109＠163.com

馬義中（1964－），男，教授，博士，主要研究方向為質量工程與質量管理。

E-mail：yzma-2004＠163.com

汪建均（1977－），男，副教授，博士，主要研究方向為質量工程與應用統計學。

E-mail：wangjj0818＠163.com

劉 ?。?982－），男，講師，博士，主要研究方向為供應鏈質量管理與決策分析。

E-mail：jianlau＠njust.edu.cn

1001－506X201508－1818－07

網址：www.sys－ele.com

2014－09－05；

2014－11－22；網絡優先出版日期：2015－03－09。

網絡優先出版地址：http：／／www.cnki.net／kcms／detail／11.2422.TN.20150309.1154.002.html

國家自然科學基金（71301075，71371099，71471088）；中國博士后基金（2013M531366，2014T70527）資助課題