改進的強跟蹤平方根UKF在衛星導航中應用

李 敏，王松艷，張迎春，2，李化義

（1.哈爾濱工業大學航天學院，黑龍江哈爾濱150001；2.深圳航天東方紅海特衛星有限公司，廣東深圳518057）

改進的強跟蹤平方根UKF在衛星導航中應用

李 敏1，王松艷1，張迎春1，2，李化義1

（1.哈爾濱工業大學航天學院，黑龍江哈爾濱150001；2.深圳航天東方紅海特衛星有限公司，廣東深圳518057）

針對應用于受不確定性干擾和噪聲影響的衛星自主導航系統中的無跡卡爾曼濾波（unscented Kalman filter，UKF）存在估計精度低、跟蹤性能差和魯棒性弱等缺陷，提出一種改進的強跟蹤平方根UKF（strong tracking square-root UKF，STSRUKF）導航方法。該方法中利用星敏感器和光學導航相機設計出導航方案，并通過轉換方程將間接量測量轉換為觀測量。針對平方根UKF（square-root UKF，SRUKF）在高階系統中因為sigma點的零權值系數是負的或者數值計算誤差太大時而可能造成濾波器發散問題，采用一種改良的平方根分解方法，改善了濾波器的穩定性。同時，基于強跟蹤濾波器理論（strong tracking filters，STF），引入多重自適應衰減因子調節協方差矩陣，使得濾波器具有強跟蹤能力和克服系統模型不確定的魯棒性，改善了濾波器的估計精度。將該方法應用于衛星自主導航系統中，實驗仿真結果表明，相對于平方根UKF和STF，該方法不僅保證了系統的可靠性，還提高系統的導航精度和改善系統的魯棒性及跟蹤能力。

衛星導航系統；不確定性干擾；改進的強跟蹤平方根無跡卡爾曼濾波；魯棒性

0 引 言

基于光學測量的衛星自主導航是指衛星利用安裝在自身身上的星敏感器及光學導航相機來測量星光信息及天體的邊緣信息，并在軌處理觀測到的光學圖像信息，獲取自身的位置和速度信息的過程。由于其具有自主性強、精度高、實時性好等優點，是當今衛星控制技術發展的趨勢，它在減輕地面測控負擔、降低衛星運行費用、提高衛星的生存能力和擴展衛星的應用潛力等方面具有重要意義。由于衛星導航系統其是非線性的，因此需要用非線性濾波技術來得到其狀態變量的最優估計［1］。展卡爾曼濾波器（extended Kalman filter，EKF）因為其方法簡單容易實現等優點，被廣泛應用于衛星自主導航系統中。但是EKF實質仍然是一種在線線性化的算法，存在自身的理論缺陷性：①EKF在線性化處理時需要計算雅克比（Jacobian）矩陣，其計算過程繁瑣復雜且容易出錯；②在系統非線性較強的時候，線性化誤差容易增大，估計精度會下降，甚至發散；③當初始狀態誤差相對較大時，EKF濾波很不穩定、收斂速度較慢、估計精度較低［2－5］。

為了解決這個問題，文獻［6－8］提出了無跡卡爾曼濾波（unscented Kalman filter，UKF）方法。相對于EKF，UKF采用unscented變換對非線性概率密度分布進行近似，具有不需要計算Jacobian矩陣、估計精度更高等優點，近年來在導航系統濾波問題當中獲得廣泛應用。然而無論是EKF，還是UKF，它們的高精度都是建立在精確的系統模型和精確已知的系統先驗噪聲分布基礎之上，當系統模型和系統噪聲統計特性不準確的情況下，UKF的估計性能會下降，甚至出現濾波發散，也就是說UKF不具備能夠克服系統模型不確定性的魯棒性。針對模型不確定性估計問題，文獻［9－10］提出了強跟蹤濾波器（strong tracking filters，STF）的方法。強跟蹤濾波器通過在狀態預測協方差陣中引入漸消因子，自適應調整增益矩陣，保證輸出殘差序列之間的相互正交，從而使得在系統模型不確定時，仍能保持對系統狀態的跟蹤能力，即STF具有關于模型不確定的魯棒性。但是STF在EKF的基礎上的改進，與EKF存在類似，仍然無法克服EKF自身存在的理論局限性。為此，文獻［11－12］結合STF理論和UKF理論，提出了一種基于強跟蹤的UKF，并應用于導航系統中，獲得了比STF和UKF更好的估計精度，具有比STF和UKF更好的魯棒性和跟蹤能力，改善系統的可靠性。

雖然強跟蹤UKF具有克服系統不確定的魯棒性，但強跟蹤UKF在數值計算的過程中存在舍入誤差，隨著迭代計算的累加，積累的舍入誤差可能會破壞系統估計誤差協方差矩陣的非負定性和對稱性，導致算法的收斂速度慢，甚至造成算法的不穩定。平方根UKF算法采用誤差協方差矩陣的平方根矩陣進行迭代運算，解決了常規UKF算法中由于累積舍入誤差引起誤差協方差矩陣負定性而導致的濾波結果發散的問題，提高了濾波的精度和穩定性［13－14］。但是，標準平方根UKF是基于QR分解和Cholesky分解來進行的，當sigma點的零權值系數是負的或者數值計算誤差太大時有可能造成cholesky分解失敗，造成濾波器發散。

針對以上問題描述，為了使得濾波器即具有能夠克服系統不確定的魯棒性、較好的跟蹤能力和估計精度，又具有較好的數值計算穩定性以及較快的收斂速度，本文以受不確定性因素影響的星敏感器／光學導航相機衛星自主導航系統為背景，提出了一種改進的強跟蹤平方根UKF的衛星自主導航方法。該方法中，根據強跟蹤濾波器原理，引入時變漸消自適應衰減因子，自適應調整濾波增益矩陣和預測誤差協方差平方根矩陣，保證殘差序列正交，改善濾波器的跟蹤能力和魯棒性。同時，在現有的基礎上，改進了平方根UKF的分解操作，有效地避免了因為sigma點的零權值系數是負的或者數值計算累積誤差太大時有可能造成濾波器發散問題，保證了濾波器的穩定性。另外，相對于標準的平方根UKF，改進的平方根分解縮短了計算量，實時性更好。在衛星自主導航系統中的仿真結果表明，該方法是有效的。

1 改進的平方根強跟蹤UKF

1.1 平方根UKF

針對一類非線性系統：

式中，X為狀態變量；Z為觀測量；f（uk，Xk，k）為系統的非線性狀態方程，具有一階連續偏導數；H為線性測量方程；過程噪聲wk和測量噪聲Vk均為均值為零的高斯白噪聲；其協方差矩陣分別為Qk和Rk。假設系統的初始狀態為X0，X0與wk及Vk相互獨立，基于標準平方根UKF的狀態估計方法［15］如下：

（1）初始化狀態＾X0，狀態誤差協方差矩陣平方根S0：

（2）對于k＝1，2，…，n實現步驟如下：

①計算sigma點

②時間更新

式中，qr和cholupdate分別表示QR分解和Cholesky一階更新，為標準的matlab指令。

③測量更新

上述過程中用到的參數計算如下：

1.2 改進的平方根UKF

平方根UKF（square-root UKF，SRUKF）相對于UKF具有更好的魯棒性、穩定性及估計精度［16］。在SRUKF的分解過程中，矩陣｛S±OUUT｝的Cholesky分解是用cholupdate｛S，U，±O｝表示，它要求矩陣必須是半正定的。但是在SRUKF中，按式（7）和式（13）更新協方差矩陣，實際如下：

式中，sgn為符號函數，sgn（X）＝X／abs（X），X為變量，abs為Matlab當中的絕對值函數。

在高階系統中，當系統噪聲為高斯白噪聲的時候，為了獲得較好的估計精度，一般取n＋λ＝3，因此λ是遠小于零的。根據式（21）和式（22）可知Wc0是負的，且｜Wc0｜?Wci，這使得按式（8）和式（13）更新的矩陣很可能是負定的［6］。

另外，在SRUKF中，按照式（17）更新狀態誤差協方差矩陣，實際為

它要求等式右邊必須是正定的，但是在數值計算過程中，等式右邊很容易因為舍入誤差的累積而破壞協方差矩陣的正定性。

針對上述問題，為了改善SRUKF的穩定性，同時又能夠保持SRUKF的估計精度和魯棒性，對SRUKF作如下改進。

（1）采用改進的狀態誤差一步預測協方差矩陣計算方法，文獻［6］給出了一種改進的狀態誤差一步預測協方差矩陣的計算方法，如下：

根據式（20）可知，所有的Wmi都是正的，因此按式（24）計算的協方差矩陣Pk＋1｜k至少是半正定的，針對式（24）可直接采用QR分解即可得到狀態誤差一步預測協方差矩陣的平方根Sk＋1｜k，如式（25）所述，從而避免因為Wc0而造成矩陣負定的。

（2）針對線性測量方程，其測量估計值、輸出誤差協方差陣及互誤差協方差矩陣可以直接利用Kalman遞推公式來計算，而不必采用UT變換和加權擬合來進行計算，減少計算量，提高計算效率，即

利用式（28）和式（29）來計算SZ，k＋1，需要進行兩次矩陣乘法和一次Cholesky分解，根據文獻［17］對于矩陣A進行QR分解的上三角部分等于矩陣AAT的Cholesky因子，因此可以采用計算量更小的式（30）和式（31）替換式（28）和式（29）。

式（31）實際描述為

很容易證明上述等式的右邊是正定的。

（3）根據式（14）、式（23）、式（27）和式（28），Pk＋1可被重

寫為

文獻［18］給出了式（33）的平方根分解方法，具體如下：

采用式（34）更新狀態誤差協方差矩陣，避免了數值計算過程中因誤差累積而破壞Pk＋1正定性的問題。

按照上述描述，利用式（25）代替式（7）和式（8），利用式（30）、式（31）和式（12）、式（13），利用式（34）代替式（16）和式（17）即得到改進的SRUKF算法，相對于SRUKF，該方法在保持估計精度的同時，不僅改善了濾波器的穩定性和魯棒性，還可以改善濾波器的計算效率，提高實時性。

1.3 改進的強跟蹤平方根UKF

在系統模型精確的情況下，相對于UKF和SRUKF，采用改進SRUKF可以提高系統的可靠性和實時性，同時也具有很好的估計精度。但是，針對具有不確定性因素干擾和噪聲統計特性的系統仍存在魯棒性差、估計精度低及對突變狀態的跟蹤能力差和收斂速度慢等缺陷，而強跟蹤濾波器通過引入自適應調節因子，可以在線調整濾波增益，具有極強的模型失配魯棒性，獨特的強跟蹤能力，可以有效地改善系統對突變狀態的跟蹤性能［9－10］。因此，結合強跟蹤濾波器理論（strong tracking filters，STF），在改進的SRUKF基礎上，提出改進的強跟蹤SRUKF（strong tracking square-root UKF，STSRUKF）。

濾波器成為強跟蹤濾波器的充分條件是通過在狀態誤差一步預測協方差矩陣Pk＋1｜k引入自適應調節因子的方法，在線實時調整增益矩陣Κk＋1，使得

①E［（Xk－＾Xk）（Xk－＾Xk）］＝min

②E［εk＋jεTk］＝0，k＝0，1，2，…；j＝1，2，…

其中，εk為殘差序列，εk＝Zk－＾Zk。條件①是實現濾波器的估計性能指標最優，條件②是要求任意時刻輸出信息殘差序列保持正交。當模型與實際模型相匹配的時候，改進的SRUKF的輸出殘差序列是高斯白噪聲序列，因此條件①和條件②是滿足的。當模型存在不確定性的時候，改進的SRUKF的狀態估計值偏離系統的實際狀態，而這些信息必然會被輸出殘差序列的均值和幅值表現出來。此時通過引入自適應漸消因子dk＋1在線調整增益狀態Kk＋1，強迫條件②成立，使得殘差序列仍然保持相互正交，則就可使得濾波器保持對實際系統狀態的跟蹤，即改進的強跟蹤SRUKF。

采用自適應漸消因子dk＋1調節狀態誤差一步預測協方差矩陣Pk＋1｜k，其具體形式［19］如下：

自適應漸消因子dk＋1的計算方法如下：

式中，l是一個調節因子；ρ是遺忘因子；dk＋1＝diag（dk＋1，1，dk＋1，2，…，dk＋1，n）是一個多重因子；是狀態方程的Jacobian矩陣。

從式（39）可以看出，Fk＋1的求取將增加計算復雜度，為此，采用基于UKF與KF之間的等價描述來進行計算，設未引入自適應漸消因子前的狀態誤差協方差矩陣為因而有

將式（42）代入式（39），有

利用式（36）、式（37）、式（38）、式（42）、式（43）、式（40）和式（41）計算得到自適應漸消因子后，按式（35）計算狀態誤差協方差矩陣Pk＋1｜k，對其進行平方根分解得到Sk＋1｜k具體計算方式如下：

根據上述描述及改進的平方根UKF，由此得到基于改進的強跟蹤平方根UKF狀態估計方法如下：

（2）對于k＝1，2，3，…，n實現步驟如下：

步驟1 按照式（4）計算sigma點；

步驟3 按式（36）、式（37）、式（38）、式（40）、式（41）、式（42）和式（43）計算自適應衰減調節因子dk＋1；

步驟4 按式（44）計算狀態預測協方差矩陣的平方根Sk＋1｜k，利用代替Pk＋1｜k，按式（27）計算Pxz，k＋1，按式（30）和式（31）計算Gk＋1及輸出協方差矩陣的平方根Sz，k＋1，按式（14）和式（15）計算狀態估計，按式（34）計算狀態協方差矩陣的平方根Sk＋1。

2 衛星自主導航系統模型

2.1 系統狀態方程

在J2000.0地心慣性赤道坐標系下，衛星自主導航系統模型（即軌道動力學模型）［20－21］如下：為航天器位置參數矢量的模；J2為地球引力系數；Re是地球的平均赤道半徑；ΔFx、ΔFy和ΔFz為地球非球形高階攝動項和日月攝動、太陽光壓攝動以及大氣壓攝動等其他攝動力的影響；w為高斯白噪聲。

2.2 間接量測量方程

衛星導航原理如圖1所示，圖中A1，A2為地心與衛星及兩恒星平星光方向的夾角，A3是衛星相對于地球的張角。根據文獻［22－23］，這3個角度可由星敏感器和星光相機測得，它們分別為

式（45）可簡寫為

式中，X＝［x y z vxvyvz］T為衛星在地心慣性坐標系下3個方向的位置和速度；μ為引力常數；r＝

式中，θ為已知的兩恒星平行光的夾角。通過測量到的A1，A2則可以確定以地球為頂點的兩個圓錐面，再利用已知的兩恒星平行光的單位矢量i1，i2則可確定衛星相對于地心的矢量r的方向，最后結合測量到的衛星相對于地球的張角A3及地球半徑Re即可確定位置矢量r，其數學描述如下：

圖1 衛星導航原理圖

根據以上描述，完全可以由幾何關系得到衛星關于地球的相對位置。根據式（47）和式（48）有

將x，y，z作為間接量觀測，可得觀測方程為

式中，Z＝［x y z］T；V為高斯白噪聲；

3 實驗結果及仿真分析

為了驗證本文提出的改進的強跟蹤UKF方法的有效性，分別將改進的STSRUKF、STF和SRUKF對由式（42）和式（47）組成的導航系統，將其離散化，然后進行仿真。仿真環境為Matlab R2010a，仿真參數設置如下［24］：坐標系為J2000.0地心赤道慣性坐標系，半軸長為a＝7 136.635km，偏心率e＝0.001，軌道傾角i＝65°，升交點赤經Ω＝30°，近地點角距為ω＝30°，光學導航相機精度為0.005°，星敏感器精度為3″，測量噪聲均為白噪聲，采樣時間間隔為T＝1s，系統的初始誤差為X＝［4.5 4.3 3.2－0.46 0.056 0.59］T。仿真分別在理想情況、系統受到干擾的情況和系統存在模型不確定型3種環境下進行，在理想情況下，仿真時長為t＝100s，主要是為了驗證改進的強跟蹤平方根UKF的估計精度；在系統受到干擾的情況下，仿真時長為t＝600s，在系統存在模型不確定性的情況下，仿真時長為t＝400s，這兩種情況下主要是為了驗證改進的強跟蹤平方根的強跟蹤能力和魯棒性。

（1）理想環境下的仿真

在理想情況下的仿真結果如圖2和圖3所示，從圖2和圖3可以看出，在理想情況下，3種方法都能很好地跟蹤系統的狀態變化，3種方法的收斂速度和估計精度差不多。

圖2 位置估計絕對誤差

圖3 速度估計絕對誤差

（2）系統受到干擾的情況下仿真

在實際的空間環境中，系統受到的干擾及測量機構發生故障是不確定的范圍，為了驗證改進的強跟蹤平方根UKF對系統不確定性的跟蹤能力、估計精度及魯棒性。假設系統存在以下幾種不確定性，設

仿真實驗結果如圖4和圖5所示，從圖4和圖5可以看出，SRUKF的估計性能很差，受系統的不確定性因素影響很大，即不具有對系統不確定性的魯棒性和強跟蹤能力。而STF針對系統受到常值干擾、有界正弦時變干擾和有界周期性方波干擾等不確定性因素影響時具有較好的魯棒性和強跟蹤能力，估計性能幾乎不受影響，但是當系統受到隨機無規律有界干擾不確定性因素影響時，STF的魯棒性和跟蹤能力變差，估計誤差變大。但是，在上述4種的任何一種干擾不確定性因素的影響下，本文提出的STSRUKF的估計性能都幾乎不受影響，具有良好的估計性能，表現出優良的魯棒性和強跟蹤能力。

圖4 位置估計絕對誤差

圖5 速度估計絕對誤差

（3）系統存在模型不確定性的情況下仿真

在實際航天器導航系統中，大多數時候，由于外界復雜多變的環境，在系統建模的時候存在未知的建模動態特性，即建立的系統模型存在不確定性，為了進一步驗證改進的強跟蹤平方根UKF的魯棒性、強跟蹤能力和穩定性。假設，系統模型存在如下的不確定性：

仿真實驗結果如圖6和圖7所示，從圖6和圖7可以看出，無論是位置曲線還是速度曲線，SRUKF的估計性能都很差，嚴重偏離真實的狀態，跟蹤能力弱，對系統模型存在的不確定性很敏感，即不具備克服系統不確定性的魯棒性。STF估計精度明顯要好于SRUKF，但是當系統模型的不確定性變大的時候，STF的估計性能也開始變差，不過變化范圍不是很大。而本文提出的改進的強跟蹤平方根UKF，相對于上述兩種方法，估計精度是最好的，而且針對兩種假設的系統模型不確定性的情況下，其估計性能也幾乎不受影響，即具有很好的克服系統模型不確定的魯棒性。

圖6 位置估計絕對誤差

圖7 速度估計絕對誤差

式中，N為蒙特卡羅仿真次數；j表示第j次仿真；X（k）及分別表示第k時刻狀態真實值及濾波估計值。

為了更好地比較3種算法在穩態的估計性能，評價算法的有效性，采用均方根誤差（root-mean-square-error，RMSE）來描述估計質量，分別針對兩種情況下，進行100次蒙特卡羅仿真。仿真結果如表1～表3所示，RMSE的表達式如下：

表1 理想情況下的均方根誤差

表2 系統受干擾影響下的均方根誤差

表3 系統存在模型不確定情況下的均方根誤差

從表1中可以看出，在理想情況下，3種估計方法得到的均方根誤差相差不大，說明3種方法的的估計精度差不多，在同一個數量級上。從表2和表3可以看出，在系統受到干擾不確定性因素影響或者系統存在模型不確定的時候，SRUKF得到的均方根誤差最大，與STF和STSRUKF相比較，要高出一個數量級以上，其次是STF得到的，最好的是STSRUKF，這說明STSRUKF估計的結果的精度是最好的。比較表1～表3中的數據，也可知系統存在的模型不確定情況下，3種方法的估計結果的精度最差。另外，根據表1～表3中的數據還可知，在系統受到不確定因素影響和系統存在模型不確定兩種情況下，SRUKF的估計精度變差了很多，而STF和STSRUKF則變化相對較小，這說明通過引入自適應調節因子可以很好地改善濾波器對系統不確定性的魯棒性，克服干擾的影響。

4 結 論

本文針對衛星導航系統，設計了基于星敏感器和光學導航相機的導航方案，針對標準平方根UKF存在的缺陷，給出了一種改進的平方根UKF方法，改善了平方根UKF的數值穩定性，針對衛星導航系統受不確定性干擾因素影響，采用強跟蹤濾波方法，提出了改進的強跟蹤平方根UKF方法。將改進的STSRUKF、STF和SRUKF分別用于衛星導航系統中進行實驗仿真驗證，仿真時分別將4種不同的干擾信號引入系統中，仿真實驗結果表明，相對于SRUKF和STF，STSRUKF對系統受不確定性干擾因素影響所具有的魯棒性和強跟蹤能力都是最好的，能夠準確的估計和跟蹤系統的狀態變化，提高估計精度。

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Satellite autonomous navigation filtering algorithm based on improved strong tracking square-root UKF

LI Min1，WANG Song－yan1，ZHANG Ying-chun1，2，LI Hua-yi1
（1.College of Astronautics，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China；2.Aerospace Dongfanghong Development Ltd，Shenzhen 518057，China）

For the satellite autonomous navigation system subjects to model uncertainties，external disturbances and noises，the unscented Kalman filter（UKF）method has low accuracy，poor tracking ability and poor robustness.An improved strong tracking square-root unscented Kalman filter（STSRUKF）-based autonomous navigation method is proposed.For the navigation purpose，star sensors and optical navigation cameras are used in this method，and the indirect measurement vector is transformed to observables through a transition equation.To avoid the problem that negative zero weights of sigma points and great calculation errors in square-root UKF（SRUKF）design for high-order systems，a modified square-root decomposition method is applied for the SRUKF design to improve the stability of the SRUKF.In addition，based on strong tracking filters（STF），multiple adaptive fading factors in adjustment covariance matrix are adopted so that the STSRUKF has better tracking ability，better robustness against model uncertainties and better estimation accuracy.Finally，the STSRUKF-based method is applied to the satellite autonomous navigation systems，and simulation results are provided to verify the effectiveness and practicability of the proposed approach.

satellite autonomous navigation system；uncertain disturbance；improved strong tracking square-root unscented Kalman filter（STSRUKF）；robustness

V 19

A

10.3969／j.issn.1001-506X.2015.08.22

李 敏（1989－），男，碩士研究生，主要研究方向為衛星姿態估計及控制、非線性濾波方法在導航當中的應用。

E-mail：liminhit＠126.com

王松艷（1976－），女，副教授，博士，主要研究方向為飛行器控制。

E-mail：wangsy＠hit.edu.cn

張迎春（1961－），男，教授，博士研究生導師，主要研究方向為衛星控制系統設計、衛星總體設計、衛星導航。

E-mail：zhang＠hit.edu.cn

李化義（1978－），男，講師，博士，主要研究方向為衛星編隊。

E-mail：lihuayi＠hit.edu.cn

1001－506X201508－1858－08

網址：www.sys－ele.com

2014－07－01；

2014－10－23；網絡優先出版日期：2015－01－06。

網絡優先出版地址：http：／／www.cnki.net／kcms／detail／11.2422.TN.20150106.1201.005.html

國家自然科學基金（61304237）；國防重點實驗室微小型航天器技術開放基金（20090450126）資助課題